\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès %%% Corrigé : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 13 mai 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Métropole - corrigé} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{16 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole~\decofourright\\[7pt]16 mai 2022 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points} %\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A : Internautes en France} \medskip L'évolution de la proportion d'internautes (utilisateurs d'Internet) en France est donnée par le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{4.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2015 &2016 &2017 &2018 &2019\\ \hline Rang de l'année: $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Proportion : $y_i$ (en pourcentage de la population) &78,0 &79,3 &80,5 &82,0 &83,3\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\small (\emph{source: Banque Mondiale})} \end{tabularx} \end{center} %Par exemple, en 2015, $78,0$\,\% des Français ont utilisé Internet. % %\medskip \begin{enumerate} \item À la calculatrice, on trouve $0,999$ comme coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$, arrondi à $0,001$ près. Ce coefficient de corrélation linéaire est très voisin de 1 donc ce résultat permet d'envisager un ajustement affine. \item L'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y= ax + b$, est $y=1,33x + 77,96$. \item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ par la droite d'équation: $y = 1,3x + 78$. On utilise ce modèle pour répondre aux questions suivantes. \begin{enumerate} \item L'année 2023 correspond au rang $x=8$; pour $x=8$, on a $y = 1,3\times 8 + 78 = 88,4$. Donc la proportion d'internautes en France en 2023 peut être estimée à $88,4$\,\%. \item La proportion d'internautes dépassera 90\,\% pour un rang $x$ tel que $y>90$. $y>90 \iff 1,3x+78 > 90 \iff 1,3x > 12 \iff x>\dfrac{12}{1,3}$; or $\dfrac{12}{1,3}\approx 9,2$, donc c'est à partir du rang $x=10$, soit en 2025, que la proportion d'internautes dépassera 90\,\% en France. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Internautes dans le monde} \medskip L'évolution du nombre d'internautes dans le monde est donnée par le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2015 &2016 &2017 &2018 &2019\\ \hline Nombre d'internautes dans le monde (en millions) &\np{3170} &\np{3417} &\np{3650} &\np{3896} &\np{4390}\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\small (\emph{source: Statista} 2021)} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item En 2015, la population mondiale était estimée à environ \np{7400} millions de personnes.% Calculer la proportion d'internautes dans le monde en 2015. Arrondir à $0,1$\,\% près. La proportion d'internautes dans le monde en 2015 est $\dfrac{\np{3170}}{\np{7400}}\times 100$ soit environ $42,8\,\%$. \item %Justifier que, sur la période 2015 à 2019, le nombre d'internautes dans le monde a augmenté d'environ 38,5\,\%. En 2015 il y avait $\np{3170}$ millions d'internautes, et $\np{4390}$ millions en 2019; cela fait une augmentation de $\dfrac{\np{4390}-\np{3170}}{\np{3170}}\times 100$ soit environ $38,5$\,\%. \item Entre 2015 et 2019 il y a 4 ans. Le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'internautes dans le monde entre 2015 et 2019 %. Arrondir à 0,1\,\% près. est donc le nombre $t$ tel que $(1+t)^{4} = \dfrac{\np{4390}}{\np{3170}}$. Ou encore $1+t= \left (\dfrac{\np{4390}}{\np{3170}}\right )^{\frac{1}{4}}$ et donc $t=\left (\dfrac{\np{4390}}{\np{3170}}\right )^{\frac{1}{4}} - 1$; on arrive à $t\approx 0,0848$ ce qui correspond à un pourcentage d'environ $8,5$\,\%. \item La suite $\left(u_n\right)$ modélise le nombre de millions d'internautes dans le monde pour l'année $(2019 + n)$. On a ainsi: $u_0 = \np{4390}$. On estime, qu'à partir de l'année 2019, le nombre $u_n$ d'internautes dans le monde augmente chaque année de $8,5$\,\%. \begin{enumerate} \item% Calculer $u_1$ puis $u_2$. Arrondir à l'unité. $u_0+ u_0\times \dfrac{8,5}{100}= \np{4390} + \np{4390}\times \dfrac{8,5}{100} = \np{4763,15}$; donc $u_1=\np{4763}$. $u_1+ u_1\times \dfrac{8,5}{100}= \np{4763} + \np{4763}\times \dfrac{8,5}{100} = \np{5167,855}$; donc $u_2=\np{5168}$. On peut donc estimer le nombre d'internautes dans le monde en 2020 à \np{4763} millions, et à \np{5168} millions en 2021. %Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice. \item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison. Justifier. Augmenter de $8,5$\,\%, c'est multiplier par $\left ( 1+\dfrac{8,5}{100} \right )$ soit $1,085$. Donc la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,085$ et de premier terme $u_0=\np{4390}$. \item Pour tout entier naturel $n$, %exprimer $u_n$ en fonction de $n$. on a donc: $u_n=u_0\times q^n = \np{4390}\times 1,085^{n}$. \item $2023 = 2019+4$ donc l'année 2023 correspond à $n=4$. $\np{4390}\times 1,085^{4} \approx \np{6083,92}$ donc $u_4 = \np{6084}$. D'après ce modèle, le nombre d'internautes dans le monde en 2023 serait de $\np{6084}$ millions. \item On estime que la population mondiale sera de $8$ milliards d'habitants en 2023, c'est-à-dire \np{8000} millions. La proportion d'internautes dans le monde en 2023 peut être estimée à $\dfrac{\np{6084}}{\np{8000}}\times 100$ soit environ 76\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 10 points} %\medskip % %Les trois parties de cet exercice sont indépendantes \bigskip \textbf{Partie A : Probabilités conditionnelles} \medskip Dans le stock d'un revendeur informatique, 30\,\% des ordinateurs sont des ordinateurs fixes, 45\,\% sont des ordinateurs portables et le reste sont des ordinateurs-tablettes. 38\,\% des ordinateurs fixes, 10\,\% des ordinateurs portables et 2\,\% des ordinateurs-tablettes sont du matériel reconditionné. On choisit au hasard un ordinateur dans le stock de ce revendeur. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. On considère alors les évènements suivants: \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item $F$: l'ordinateur est un ordinateur fixe ; \item $B$: l'ordinateur est un ordinateur portable; \item $T$ : l'ordinateur est un ordinateur-tablette; \item $R$ : l'ordinateur est un ordinateur reconditionné ; $\overline{R}$ est l'évènement contraire de $R$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item On établit l'arbre de probabilité suivant résumant la situation. \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=4cm,treesep=1cm,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,nrot=:U]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$F$}\naput{0,30}} {\TR{$R$}\naput{0,38} \TR{$\overline{R}$}\nbput{$\blue 1-0,38=0,62$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\naput{$\blue 0,45$}} {\TR{$R$}\naput{$\blue 0,10$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{$\blue 1-0,10=0,90$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$T$}\nbput{$\blue 1-0,3-0,45=0,25$}} {\TR{$R$}\naput{$\blue 0,02$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{$\blue 1-0,02=0,98$} } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que l'ordinateur soit un ordinateur fixe reconditionné est\\ $P(F\cap R) = 0,30\times 0,38 = 0,114$. \item% Montrer que $P(R) = 0,164$. D'après la formule des probabilités totales: $P(R)= P(F\cap R) + P(B\cap R) + P(T\cap R) = 0,114 + 0,45\times 0,10 + 0,25\times 0,02 = 0,164$ \item L'ordinateur choisi n'est pas un ordinateur reconditionné. La probabilité qu'il s'agisse d'un ordinateur-tablette est %? Arrondir le résultat à $0,001$ près. $P_{\overline{R}}(T) = \dfrac{P\left ( T\cap \overline R \right )}{P\left (\overline{R}\right )} = \dfrac{0,25\times 0,98}{1-0,164}\approx 0,293$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Loi normale} \medskip Un client achète un ordinateur chez ce revendeur. La durée en jours entre la vente de cet ordinateur et sa première panne est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\np{1000}$ et d'écart-type $270$. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité $P(X \geqslant 730)$. Arrondir à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat. À la calculatrice, on trouve: $P(X\geqslant 730) \approx 0,841$. Donc la probabilité que l'ordinateur tombe en panne à partir du 730\ieme{} jour est de $0,841$. \item L'ordinateur est garanti un an. %Que penser de cette garantie ? Justifier. $P(X\leqslant 365)\approx 0,009$, il y a donc environ $0,9$\,\% de \og chance \fg{} que l'ordinateur tombe en panne la 1\iere{} année. Le constructeur ne prend pas beaucoup de risque en proposant une garantie de un an. \item %emph{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte}. Pour chacune des quatre courbes suivantes, on indique si elle peut être la courbe représentative de fonction densité de la variable aléatoire $X$.% L'aire sous la courbe peut donner une indication. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &\\ %%%%%%%% courbe 1 \psset{xunit=0.004cm,yunit=0.8cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-200,-0.7)(1300,5.2) %\multido{\n=0+200}{7}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.0025)} %\multido{\n=0.0000+0.0005}{6}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(1300,\n)} \psgrid[unit=0.8cm, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgriddiv=1](0,0)(7,6) \multido{\n=0.0005+0.0005,\na=1+1}{5}{\uput[l](0,\na){\tiny \np{\n}}} \psaxes[linewidth=1.1pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=200,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1300,5) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](0,0)(250,0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](250,0)(250,2.8) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](250,2.8)(1000,2.8) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1000,2.8)(1000,0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](1000,0)(1300,0) \rput(1100,3.7){\scriptsize \blue Courbe 1} \end{pspicture*} & %%%%%%%% courbe 2 \scalebox{0.52}{ \psset{xunit=0.005cm, yunit=500cm,algebraic} \def\xmin{-300} \def\xmax{2300} \def\ymin{-0.001} \def\ymax{0.018} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \multido{\n=200+200}{11}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) \uput[d](\n,0){\np{\n}} }%fin multido \multido{\n=0.002+0.002,\na=0.0002+0.0002}{8}{ \psline[linecolor=lightgray](0,\n)(\xmax,\n) \uput[l](0,\n){\np{\na}} }% fin multido \rput(2000,.015){\Large \blue Courbe 2} \uput[l](0,0){0} \uput[d](0,0){0} \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,labels=none,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) %\psGauss[mue=1000,sigma=10]{0}{2000} \def\m{1000}% moyenne \def\s{270}% écart type \def\f{10/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} \end{pspicture} }\\ &\\ \hline &\\ %%%%%%%% courbe 3 \scalebox{0.52}{ \psset{xunit=0.005cm, yunit=500cm,algebraic} \def\xmin{0} \def\xmax{2300} \def\ymin{-0.001} \def\ymax{0.018} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \multido{\n=200+200}{11}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) \uput[d](\n,0){\np{\n}} }%fin multido \multido{\n=0.0025+0.0025,\na=0.05+0.05}{7}{ \psline[linecolor=lightgray](0,\n)(\xmax,\n) \uput[l](0,\n){\np{\na}} }% fin multido \rput(2000,.014){\Large \blue Courbe 3} \uput[l](0,0){0} \uput[d](0,0){0} \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,labels=none]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) \def\m{1000}% moyenne \def\s{270}% écart type \def\f{10/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} \psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](800,0)(1200,0.01) \end{pspicture} }& %%%%%%%% courbe 4 \scalebox{0.52}{ \psset{xunit=0.0015cm, yunit=500cm,algebraic} \def\xmin{-3500} \def\xmax{3750} \def\ymin{-0.0008} \def\ymax{0.018} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \multido{\n=-3000+1000}{7}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) \uput[d](\n,0){\np{\n}} } \multido{\n=-2500+1000}{7}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) %\uput[d](\n,0){\np{\n}} } \multido{\n=0.004+0.004,\na=0.0001+0.0001}{4}{ \psline[linecolor=lightgray](\xmin,\n)(\xmax,\n) \uput[l](0,\n){\np{\na}} }% fin multido \rput(3000,.015){\Large \blue Courbe 4} \uput[l](0,0){0} \uput[d](0,0){0} \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,labels=none]{->}(0,0)(-3500,0)(3750,\ymax) \def\m{250}% moyenne \def\s{1000}% écart type \def\f{40/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} \end{pspicture} }\\ &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{list}{\textbullet}{} \item La courbe représentative de la fonction densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale est une courbe \og en cloche \fg{}. On peut donc éliminer la courbe 1. \item La courbe 4 n'est pas symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\np{1000}$; donc elle ne peut pas être la courbe représentative de la fonction densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne \np{1000}. On peut donc éliminer la courbe 4. \item L'aire sous la courbe d'une fonction densité doit être égale à 1. Sous la courbe 3, l'aire du rectangle hachuré est égale à 80, donc l'aire sous la courbe ne vaut pas 1. On peut donc éliminer la courbe 3. \item Il reste la courbe 2 qui est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\np{1000}$. C'est la seule des 4 qui est susceptible d'être la courbe représentative de la fonction densité de la variable aléatoire $X$. \end{list} \newpage \textbf{Partie C : Mathématiques financières} \medskip Pour l'achat de son futur ordinateur, le client contracte un prêt à la consommation de \np{1500}~\euro{} remboursable en 12 mensualités constantes au taux mensuel de 0,5\,\%. On rappelle que si $C$ désigne le capital emprunté, $t$ désigne le taux mensuel de l'emprunt et $n$ désigne le nombre de mensualités, alors le montant d'une mensualité constante $m$ est égal à : $m = C \times \dfrac{t}{1- (1 + t)^{-n}}$. %\smallskip \begin{enumerate} \item On calcule $m=C \times \dfrac{t}{1- (1 + t)^{-n}}$ pour $C=\np{1500}$, $t=0,5\,\%$ donc $t=0,005$, et $n=12$: $m= \np{1500}\times \dfrac{0,005}{1-(1+0,005)^{-12}}\approx \np{129,09964}$ Donc le montant de la mensualité constante $m$ correspondant à cette situation est d'environ $129,10$~\euro. \item On donne ci-dessous un extrait incomplet du tableau d'amortissement correspondant à cet emprunt. %Donner sur votre copie la valeur des nombres contenus dans les trois cases grisées \textcircled{1}, \textcircled{2} et \textcircled{3}. Si des calculs sont nécessaires, les écrire sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &Capital restant dû en début de mois&Intérêts dus& Amortissement du capital&Mensualité constante\\ \hline 1 & \np{1500,00}~\euro&\textcircled{1} &\textcircled{2}&129,10 ~\euro\\ \hline 2 &\textcircled{3} &\ldots &\ldots &129,10 ~\euro\\ \hline 3 &\np{1256,19}~\euro & & &129,10 ~\euro\\ \hline \ldots & \ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\ \hline 12 &128,45~\euro &\ldots &\ldots &129,10~\euro\\ \hline \end{tabularx} \end{center} {\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textcircled{\theenumii}} \begin{enumerate} \item Les intérêts sur \np{1500}~\euro{} sont de $\np{1500}\times \dfrac{0,5}{100}$ soit $7,50$~\euro. \item La mensualité est de $129,10$~\euro{} dont $7,50$~\euro{} d'intérêts. L'amortissement du capital est donc de $129,10-7,50$ soit $121,60$~\euro. \item Le capital restant dû est alors de $\np{1500}-121,60$ soit $1378,40$~\euro. \end{enumerate} } \item% Quelle est la somme totale remboursée ? En déduire le coût de cet emprunt. La somme totale remboursée est de $12\times 129,10$ soit $\np{1549,20}$~\euro. Le coût de cet emprunt de $\np{1500}$~\euro{} est donc de $49,20$~\euro. \end{enumerate} \end{document}