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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie - Corrigé}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{13 mai  2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}~\decofourright\\[5pt]Polynésie - 13 mai 2019}}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{{\large Exercice 1} \hfill 9 points}

\bigskip

%\begin{center}\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes}\end{center}

La société \og RADIALTOP\fg{} fabrique des pneus de deux catégories, la catégorie \og pneu hiver\fg{} et la catégorie \og pneu 4 saisons \fg.

Pour améliorer la sécurité, le fabriquant effectue des tests de qualité:

Parmi les pneus hiver, 96\,\% ont réussi les tests de qualité. 

Parmi les pneus 4 saisons, 97\,\% ont réussi les tests de qualité.

Le site de vente en ligne de pneumatiques \og PNEUTOP\fg{} dispose de pneus venant de ce fabriquant. 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

Le responsable du site \og PNEUTOP\fg{} commande en début de mois $150$ pneus hiver afin de reconstituer son stock.

On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de $150$ pneus hiver chez le fabriquant associe le nombre de pneus hiver n'ayant pas réussi le test qualité.

Le stock de la société \og RADIALTOP\fg{} est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
La probabilité qu'un pneu hiver ne réussisse pas son contrôle de qualité est $p=1-0,96=0,04$.

Le stock de la société \og RADIALTOP\fg{} est assez important pour assimiler le prélèvement de 150 pneus à un tirage avec remise; on a donc une répétition de $n=150$ épreuves identiques qui n'ont que 2 issues.

Donc  la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de pneus n'ayant pas réussi le test de contrôle suit une loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,04$.

\item La probabilité pour que, dans le lot reçu par le responsable du site, il y ait exactement cinq pneus hiver n'ayant pas réussi le contrôle qualité est:%. Arrondir le résultat au millième.

$P(X=5)=\displaystyle\binom{150}{5}\, 0,04^{5} \, (1-0,04)^{150-5} \approx 0,163$.

\item La probabilité pour que le lot reçu par le responsable du site contienne au moins dix pneus hiver n'ayant pas réussi le contrôle qualité est: %. Arrondir le résultat au millième.
$P(X\geqslant 10) \approx 0,080$.

\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

Un client commande un pneu sur le site \og PNEUTOP\fg.

On dispose de l'information supplémentaire suivante sur le stock de pneus du site:

\hfill{}25\,\% des commandes concernent les pneus hiver.\hfill{}

\medskip

\begin{tabular}{@{} l l}
On rappelle que: & -- parmi les pneus hiver, 96\,\% ont réussi les tests de qualité;\\
 & -- parmi les pneus 4 saisons, 97\,\% ont réussi les tests de qualité.
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{@{} l l}
On note: & -- $H$ l'évènement: \og Le pneu commandé par le client est un pneu hiver\fg{} ;\\
& -- $Q$ l'évènement: \og Le pneu commandé par le client a réussi les tests de qualité \fg.
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la valeur des probabilités $P(H)$, \:$P_H(Q)$.
On sait que 25\,\% des commandes concernent les pneus hiver donc $P(H)=0,25$.

Parmi les pneus hiver, 96\,\% ont réussi les tests de qualité donc $P_H(Q)=0,96$.
			
		\item On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré de probabilité.

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=4cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$H$}\naput{\blue$0,25$}}
	{\TR{$Q$} \naput{\blue$0,96$}
	\TR{$\overline{Q}$} \nbput{\blue$1-0,96=0,04$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{H}$}\nbput{\blue$1-0,25=0,75$}}
	{\TR{$Q$} \naput{\blue$0,97$}
	\TR{$\overline{Q}$} \nbput{\blue$1-0,97=0,03$}
	}	
}
\bigskip
\end{center}

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité de l'évènement $H \cap Q$ est
		
$P(H\cap Q)=P(H)\times P_{H}(Q) = 0,25 \times 0,96 = 0,24$.		
		
		\item %Interpréter ce résultat par une phrase.
Il y a une probabilité de $0,24$ que le pneu commandé par le client soit un pneu hiver ET qu'il ait réussi le test de qualité. 		
		
		
	\end{enumerate}
\item% Montrer que $P(Q) = \np{0,9675}$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(Q)=P(H\cap Q) + P\left ( \overline{H} \cap Q\right ) = 0,24 + 0,75\times 0,97 = \np{0,9675}$

\item Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, la probabilité que ce pneu soit un pneu hiver est: % Arrondir le résultat au millième.
$P_{Q}(H) = \dfrac{P(H\cap Q)}{P(Q)} = \dfrac{0,24}{\np{0,9675}} \approx 0,248$

\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

On admet que le nombre de pneus 4 saisons vendus par mois par le site \og PNEUTOP\fg{} peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 450$ et d'écart type $\sigma = 15$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, on trouve $P(435 \leqslant Y \leqslant 465)\approx 0,68$.% Arrondir le résultat au centième. 
		\item% Interpréter le résultat par une phrase.
On peut en déduire qu'il y a environ 68\,\% de chance de vendre entre 435 et 465 pneux 4 saison par mois.		
	\end{enumerate}
	
\item Le responsable du site veut connaître le nombre $n$ de pneus 4 saisons qu'il doit avoir en stock en début de mois pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à $0,05$.

On cherche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $P(Y>n)<0,05$.

La calculatrice donne la valeur de $P(Y\leqslant n)=1-P(Y>n)$; on va donc chercher la plus petite valeur de $n$ telle que $P(Y\leqslant n)\geqslant 0,95$.

On procède par approximations successives:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*3{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$n$ & $P(Y\leqslant n)$ & conclusion\\
\hline
$470$ & $0,909$ & trop petit\\
\hline
$480$ & $0,977$ & trop grand\\
\hline
$475$ & $0,952$ & trop grand\\
\hline
$474$ & $0,945$ & trop petit\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le responsable du site doit avoir au moins $475$ pneus 4 saisons  en stock en début de mois pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à $0,05$.

%Déterminer la plus petite valeur de $n$ remplissant cette condition. 
%
%Expliquer la démarche. Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\bigskip

%\begin{center}\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}\end{center}

La feuille de calcul ci-dessous donne les prix du m$^2$ des appartements dans le 19\up{e} arrondissement de Paris du 1\up{er} trimestre 2016 au 1\up{er} trimestre 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-11}
\multicolumn{1}{c|}{~}&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J\\ \hline
1&&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2016&\footnotesize 2\up{e} trimestre 2016&\footnotesize 3\up{e} trimestre 2016&\footnotesize 4\up{e} trimestre 2016&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2017&\footnotesize 2\up{e} trimestre 2017&\footnotesize 3\up{e} trimestre 2017&\footnotesize 4\up{e} trimestre 2017&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2018\\ \hline
2& Rang $\left(x_i\right)$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
3& Prix moyen du m$^2$ en euros $\left(y_i\right)$&\np{6280}& \np{6480} &\np{6860} &\np{6720} &\np{6790} &\np{6940} &\np{7050} &\np{7360} &\np{7350} \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{0.5}
\newcolumntype{Y}{>{\raggedleft \arraybackslash}X}
\begin{tabularx}{\linewidth}{Y}
\tiny Source : http://www.notaires.paris-idf.fr/outil /immobilier/prix-et-nombre-de-ventes-paris-idf \\
\tiny  Chiffres de la chambre des notaires de Paris. Prix standardisés au m$^2$.\\
\tiny Appartements anciens, vendus libres, de gré à gré, en pleine propriété, à usage d'habitation.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution global du prix moyen du m$^2$ entre le 1\up{er} trimestre 2016 et le 1\up{er} trimestre 2018 est, arrondi à 0,01\,\%, de
$\left (\dfrac{\np{7350}}{\np{6280}}-1\right )\times 100$ soit $17,04\,\%$.

\item  Il y a 8 trimestres entre le 1\up{er} trimestre 2016 et le 1\up{er} trimestre 2018, donc le taux moyen trimestriel d'évolution du prix du m$^2$ entre le 1\up{er} trimestre 2016 et le 1\up{er} trimestre 2018, arrondi à 0,01\,\%, est égal 
$\left (\left (\dfrac{\np{7350}}{\np{6280}}\right )^\frac{1}{8}-1\right )\times 100$ soit $1,99\,\%$.

\item  Entre le 1\ier{} trimestre 2018 et le 3\ieme{} trimestre de 2019, il y a 6 trimestres.

Augmenter de 1,99\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{1,99}{100} = \np{1,0199}$. 

Augmenter trimestriellement de 1,99\,\% pendant 6 trimestres, c'est multiplier par $\np{1,0199}^6$.

Le prix du m$^2$ arrondi à l'unité au troisième trimestre 2019 sera donc de
$\np{7350}\times  \np{1,0199}^6$ soit \np{8272}~euros.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

Dans le tableau précédent, $x_i$ désigne le rang du trimestre mesuré à partir de l'année 2016 et $y_i$ le prix moyen du m$^2$ en euros correspondant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés:
$y=125,3 x + 6243,3$.

%On arrondira les coefficients au dixième.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 125x + \np{6243}$. On admet que ce modèle reste valable jusqu'en 2020.
	\begin{enumerate}
		\item Le 3\ieme{} trimestre 2019 correspond au rang $x=9+6=15$.
		
Pour $x=15$, on a $y=125\times 15 + \np{6243} = \np{8118}$.
 		
Donc on peut estimer le prix du m$^2$ au troisième trimestre 2019 à \np{8118} euros.

		\item Déterminer le prix du m$^2$ va dépasser \np{8272}~\euro{}, revient à déterminer le rang $x$ pour lequel $y> \np{8272}$.

$y> \np{8272} \iff 125x + \np{6243}> \np{8272} \iff 125 x > \np{2029} \iff x > \dfrac{\np{2029}}{125} \iff x > 16,232 $

Le prix du m$^2$ va dépasser \np{8272}~\euro{} le trimestre de rang 17 donc le 1\ier{} trimestre 2020.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\bigskip
 
%\begin{center}Un formulaire est donné en fin d'exercice.\end{center}

Une entreprise fabrique des cafetières. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l'entreprise fabrique chaque mois $x$ milliers de cafetières (où $x$ est un nombre réel de l'intervalle [0 ; 5]), alors le bénéfice mensuel est donné, en centaine de milliers d'euros, par la fonction $f$ définie par:

\[f(x) = (8x - 2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0~;~5] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$ de [0~;~5], 
$f'(x) = 8\text \e^{-x} +(8x-2)\times (-1)\e^{-x}= (8 - 8x +2)\e^{-x}=(- 8x + 10)\text{e}^{-x}$.

		\item% Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de [0~;~5] et dresser le tableau de variation de $f$ sur [0~;~5].
Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(-8x+10)$ donc s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{10}{8}=1,25$.

$f(0)=-2$; $f(1,25)\approx 2,3$; $f(5)\approx 0,26$

On établit le tableau des variations de $f$ sur [0~;~5]:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1,25 & \esp & 5 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\approx 2,3}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\approx 0,26} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	


	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ admet un maximum pour $x=1,25$, donc l'entreprise doit fabriquer $1,25$ milliers de cafetières, soit $\np{1250}$, afin de réaliser un bénéfice maximal.
		
		\item La valeur de ce bénéfice maximal est alors, en euros, de 
$f(1,25)\times \np{100000} \approx \np{229204}$.
		
%On donnera une valeur approchée du résultat à l'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\medskip
%
%\textbf{Formulaire}
%
%\begin{center}
%%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\fbox{\parbox{\linewidth}{
%Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle, alors la fonction $uv$ est dérivable sur cet intervalle, et on a
%
%\[(uv)' = u'v +uv'.\]
%
%Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur cet intervalle, et on a
%
%\[\left(\text{e}^u \right)' = u'\text{e}^u.\]
%}}
%%\hline
%%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{document}