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% Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion},
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion -- corrigé}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur --  Métropole~\decofourright\\[7pt]14 mai 2024 - Comptabilité et gestion
%\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}
}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

Une usine spécialisée dans la fabrication d'une pièce mécanique pour automobile utilise,
dans sa chaîne de production, trois machines qu'on notera $M_1$, $M_2$, et $M_3$. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{Une étude statistique a montré que:}
\item la machine $M_1$ produit 41\,\% des pièces dont 2,5\,\% sont défectueuses,
\item la machine $M_2$ produit 30\,\% des pièces dont 1,9\,\% sont défectueuses,
\item la machine $M_3$ produit le reste des pièces dont 1,5\,\% sont défectueuses
\end{list}

%\medskip

On choisit au hasard une pièce dans cette chaîne de production et on suppose que toutes
les pièces ont la même probabilité d'être choisies.

\begin{list}{\textbullet}{On note les évènements :}
\item $M_1$ : \og La pièce choisie est produite par la machine $M_1$ \fg.
\item $M_2$ : \og La pièce choisie est produite par la machine $M_2$ \fg.
\item $M_3$ : \og La pièce choisie est produite par la machine $M_3$ \fg.
\item $D$ : \og La pièce choisie est défectueuse \fg.
\end{list}

.On notera $\overline{D}$ l'évènement contraire de l'évènement $D$.
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $P_{M_1}(D)$.
La machine $M_1$ produit 41\,\% des pièces dont 2,5\,\% sont défectueuses, donc\\
 $P_{M_1}(D)=0,025$.

\item On complète l'arbre de probabilités.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_1$}\naput{$0,41$}}
	{
	\TR{$D$}\naput{$0,025$}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,975$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_2$}\naput{$0,30$}}
	{
	\TR{$D$}\naput{$0,019$}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,981$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_3$}\nbput{$0,29$}}
	{
	\TR{$D$}\naput{$0,015$}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,985$}
	}	
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'évènement $M_1 \cap D$ correspond à  \og La pièce choisie est produite par la machine $M_1$ et est défectueuse. \fg{} 
		\item %Calculer la valeur exacte de sa probabilité.
$P(M_1 \cap D) = P(M_1) \times P(_{M_1}(D) = 0,41\times 0,025 = \np{0,01025}$		
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier, en détaillant les calculs, que $P(D) = \np{0,0203}$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(D) 
= P(M_1 \cap D) + P(M_2 \cap D)+ P(M_3 \cap D)\\
\phantom{P(D)}
= \np{0,01025} + 0,30\times 0,019 + 0,29\times 0,015\\
\phantom{P(D)}
= \np{0,01025} +  \np{0,0057}  + \np{0,00435}\\
\phantom{P(D)}
= \np{0,0203}$		
		
		\item% Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Il y a donc $2,03\;\%$ de risque que la pièce choisie soit défectueuse.		
		
	\end{enumerate}
\item La pièce choisie au hasard est défectueuse,  la probabilité qu'elle soit produite par la machine $M_3$ est:
$P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{\np{0,01025}}{\np{0,0203}} \approx 0,505$.

%Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose dans cette partie que $P(D) = 0,02$.

On prélève au hasard $600$ pièces. On suppose que le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement associe le nombre de pièces défectueuses.

%Les résultats seront arrondis à $0,001$ près.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item % Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Pour une pièce, il n'y a que deux issues: elle est défectueuse (avec une probabilité de $p=0,02$), ou elle ne l'est pas.

On prélève au hasard $600$ pièces et on suppose que le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On est dans le cas d'une répétition de 600 tirages qui s'effectuent de manière indépendante et identique.

Donc la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement associe le nombre de pièces défectueuses, suit la loi binomiale de paramètres $n=600$ et $p=0,02$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P(X = 12) = \ds\binom{600}{12} \times 0,02^{12} \times (1-0,02)^{600-12} \approx 0,116$
		\item% Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice
L'arrondi au millième de la probabilité que dans l'échantillon de 600 pièces, il y en ait exactement 12 de défectueuses est de $0,116$.		

	\end{enumerate}
\item À la calculatrice, on trouve que l'arrondi au millième de la probabilité de l'évènement \og cinq pièces ou moins sont défectueuses \fg{} est $P(X\leqslant 5) \approx 0,019$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P(X \geqslant 6) = 1-P(X<6)=1-P(X\leqslant 5) \approx 0,981$
		
		\item %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
L'arrondi au millième de la probabilité de l'évènement \og six pièces ou plus sont défectueuses \fg{} est de $0,981$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre des pièces qui sont de format cylindrique.
On prélève au hasard une pièce dans le stock.
On suppose que la variable aléatoire $Y$ qui associe à chaque pièce son diamètre (en
centimètre), suit la loi normale de paramètres $\mu = 5$ et $\sigma = 0,04$.

%Les résultats seront arrondis à 0,01 près.

\medskip


\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\mu = 5$ et $\sigma = 0,04$ donc 
$P(4,92 \leqslant Y \leqslant 5,08)
= P(\mu-2\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,95$ d'après le cours.
		
		\item% Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Il y a donc environ $95\;\%$ de chances que le diamètre d'une pièce choisie au hasard soit compris entre $4,92$~mm et $5,08$~mm.		
		
	\end{enumerate}
\item À la calculatrice, on trouve que la probabilité que le diamètre de cette pièce soit au minimum de 4,96 centimètres est: $P(Y\geqslant 4,96)\approx 0,84$.

\emph{Remarque} - On aurait pu trouver cette réponse sans la calculatrice.

En effet, on sait d'après le cours que $P(\mu - \sigma \leqslant Y \leqslant \mu+\sigma)\approx 0,68$, donc \\
$P(4,96 \leqslant Y \leqslant 5,04)\approx 0,68$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.05} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}

\def\inf{3} \def\sup{5}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\inf}{\sup}
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$5$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$4,96$}
\uput[d](\sup,0){$5,04$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(4.2,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}
\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

Pour des raisons de symétrie, on a: $P(Y\leqslant 4,96) = P(Y\geqslant 5,04) \approx \dfrac{1-0,68}{2} = 0,16$.

Donc $P(Y\geqslant 4,96) = P(4,96 \leqslant Y \leqslant 5,04) + P(Y\geqslant 5,04) \approx 0,68+0,16 = 0,84$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

%\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne le bénéfice (en milliers d'euros) réalisé par une entreprise spécialisée dans la vente à distance.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					& 2017	&2018	&2019	&2020	&2021	&2022\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	& 1 	&2 		&3 		&4 		&5		&6\\ \hline
Bénéfice en milliers 
d'euros : $y_i$			&9 9 	&11,3	& 12,5	& 13,4	&14,4	&15,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%\emph{La calculatrice est nécessaire pour la plupart des calculs demandés.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine à la calculatrice un ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ selon la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième:\\
$y=1,08 x + 9,05$.

%Les coefficients de l'équation de la droite seront arrondis à $0,01$ près.
\item Dans cette question, on décide d'ajuster le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la droite d'équation : $y = 1,1x + 9$.

Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item L'année 2025 correspond à $x=9$.
		
Une estimation, en milliers d'euros, du bénéfice en 2025 est donc:\\
$1,1\times 9 + 9 = 18,9$.

		\item Pour déterminer l'année à partir de laquelle le bénéfice dépassera \np{22000}~euros pour la première fois, on cherche $x$ entier tel que $1,1 x+9 > 22$; \\
		ce qui fait: $1,1x >13$ soit $x>\dfrac{13}{1,1}$.
		
Or $\dfrac{13}{1,1}\approx 11,8$ donc c'est à partir de $x=12$ soit l'année 2028 que le bénéfice dépassera \np{20000}~\euro{} pour la première fois.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul qui donne l'évolution annuelle
d'une année par rapport à la précédente) du nombre de produits vendus entre 2017 et
2022.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.93\linewidth}{|c|m{3.9cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A			&B		&C		&D		&E		&	F		&G\\ \hline
1	&Année		& 2017 	&2018	&2019 	&2020	&2021 		&2022\\ \hline
2	& Nombre de 
produits\newline vendus	& 620 	&700	&810 	&928	&\np{1095}	&\np{1289}\\ \hline
3	&Évolution 
annuelle en \%	&\cellcolor{gray}	&$12,9$\,\%&$15,7\,\%$& $14,6\,\%$& $\blue 17,7\;\%$&$18\,\%$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item La plage des cellules C3 à G3 est au format pourcentage, arrondie à $0,1$\,\% près.
	\begin{enumerate}
		\item La formule qui, saisie dans la cellule C3, permet d'obtenir par recopie
vers la droite les taux annuels successifs de la ligne 3 est:
\texttt{(C2- B2)/B2*100}
		\item La valeur de la cellule F3, arrondie à $0,1$\,\% près est:
$\dfrac{\np{1092}-928}{928}\times 100 \approx 17,7\;\%$.		
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le taux d'évolution global entre 2017 et 2022, arrondi à 1\,\%, est:\\
$\dfrac{\np{1289}-620}{620}\times 100 \approx 108$.
		
		\item %On calcule le taux d'évolution annuel moyen entre 2017 et 2022, arrondi à 0,1\,\%.
Un taux d'évolution sur 5 années de $108\;\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{108}{100}=2,08$. 

Le coefficient multiplicateur moyen par an est donc de $\ds\sqrt[5]{2,08}\approx 1,158$.

Le taux d'évolution annuel moyen entre 2017 et 2022, arrondi à 0,1\,\% est donc de $15,8$. 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose dans cette partie, qu'à partir de l'année 2022, le nombre de produits vendus augmente chaque année de 16\,\%.
On décide de modéliser ce nombre par une suite $
\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le nombre de produits vendus l'année $(2022 + n)$ .
Ainsi $u_0 = \np{1289}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On arrondit les valeurs à l'unité.

$u_1=u_0+u_0\times \dfrac{16}{100} =\np{1289}+\np{1289}\times \dfrac{16}{100} \approx \np{1495}$

$u_2=u_1+u_1\times \dfrac{16}{100} =\np{1495}+\np{1495}\times \dfrac{16}{100} \approx \np{1734}$
\item Ajouter 16\;\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{16}{100}$ soit $1,16$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=1,16$ et de premier terme $u_0=\np{1289}$.

\item %Donner le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=1,16$ et de premier terme $u_0=\np{1289}$ donc, pour tout $n$, on a:

$u_n=u_0\times q^n=\np{1289}\times 1,16^n$.
\end{enumerate}

L'entreprise prévoit d'investir dans une nouvelle plateforme numérique de vente à distance dès que le nombre de produits vendus dépassera \np{3000}.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète les différentes lignes non renseignées dans l'algorithme 
 pour qu'après exécution, la variable $N$ contienne l'année à partir de laquelle,
le nombre de produits  vendus dépassera pour la première fois \np{3000} produits 
selon ce modèle,

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$N \gets 0$ \\
$U \gets \blue \np{1289}$\\
Tant que $\blue U<\np{3000}$\\
\qquad $N \gets \blue N+1$\\
\qquad $U \gets {\blue 1,16} * U$\hspace*{3cm}\\
Fin Tant que\\
$N \gets 2022 +N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Pour déterminer l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le nombre de produits vendus dépassera pour la première fois  \np{3000}, on cherche le plus petit $n$ tel que $u_n\geqslant \np{3000}$.
		
À la calculatrice on trouve:\\
 $u_5=\np{1289}\times 1,16^5 \approx \np{2707}<\np{3000}$ et $u_6=\np{1289}\times 1,16^6 \approx \np{3141}>\np{3000}$.

$2022+6=2028$ donc c'est à partir de 2028 que, selon ce modèle, le nombre de produits vendus dépassera pour la première fois  \np{3000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}