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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 12 mai  2016 Groupement C }}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans les trois cas il y a respect de la température initiale.

Au cours des trois premières secondes il ne faut pas perdre plus de  20\,\% de la température initiale, soit  

\[ 0,20 \times 240 = 48~(\degres \text{C})\]

240 - 48 = 192. Or la droite d'équation $y = 192$ coupe la courbe de $T_3$ en un point d'abscisse supérieure à 3, donc elle ne satisfait aux conditions souhaitées.
\item Pour les deux courbes restantes c'est $T_2$ qui atteint le plus rapidement la température de 100~\degres C : elle permettre donc de fabriquer plus rapidement une hélice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que la solution générale de l'équation est :

\[y = C\text{e}^{- 0,1t}, \quad C \in \R \:\text{quelconque}).\]
\item $g(t) = a$, \: donc $g'(t) = 0$. $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si :

$0 + 0,1a = 8 \iff a = 80$. $g(t) = 80$ est une solution particulière de $(E)$.
\item Les solutions de $(E)$ sont donc de la forme :

\[y = 80 + C\text{e}^{- 0,1t}, \quad C \in \R \:\text{quelconque}).\]
\item La fonction $f$ solution de $(E)$ et vérifiant les conditions de température est telle que :

$f(0) = 240 \iff 80 + C\text{e}^{- 0,1\times 0} = 240  \iff 80 + C = 240 \iff C = 160$.

On a donc pour $t \in [0~;~+ \infty[$, \: $f(t) = 80 + 160\text{e}^{- 0,1t}$.

\emph{Remarque} : on peut vérifier que $f(3) = 80 + 160\text{e}^{- 0,3}\approx 198,5$~\degres C. La température est donc supérieure à 192 comme exigé dans la partie 1.
\end{enumerate}

Comme quel que soit $t \in \R$, \: $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,1t} = 0$, on a 

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On voit que $f$ est la fonction trouvée à la question 4. de la partie précédente, puisque $f(t) = 80 + 80 \times 2\text{e}^{- 0,1t} = 80 + 160\text{e}^{- 0,1t}$.
		
		On a donc $f'(t) = 0,1y = 0 \iff f'(t) = - 0,1y = - 0,1\times 80\left(1 + 2\text{e}^{- 0,1t}\right)$.
		
		Or on sait que quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{- 0,1t} > 0$, donc $0,1\times 80\left(1 + 2\text{e}^{- 0,1t}\right) > 0$ et enfin $f'(t) < 0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$
		\item On sait que $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,1t} = 0$, donc $\displaystyle \lim_{t \to + \infty}f(t) = 80$.
		\item Les résultats précédents vérifient que la température est décroissante et qu'à long terme la température va se stabiliser à 80~\degres C.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $f(t) = 100 \iff 80\left(1 + 2\text{e}^{- 0,1t}\right) = 100 \iff 1 + 2\text{e}^{- 0,1t} = \dfrac{100}{80} = 1,25 \iff 2\text{e}^{- 0,1t} = 0,25 \iff \text{e}^{- 0,1t} = 0,125 \iff -0,1t = \ln 0,125 \iff t = \dfrac{\ln 0,125}{-0,1} \approx 20,79$, soit 20,8~secondes à 0,1 près par excès.
		\item La température de l'hélice sera descendue à  100~\degres C après 20,8 secondes environ.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\dfrac{1}{3 - 0}\displaystyle\int_0^3 f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{3}\left(80t - \np{1600}\text{e}^{- 0,1t} \right) = \dfrac{1}{3}\left(80\times 3 - \np{1600}\text{e}^{- 0,3}  - 0 + \np{1600}\text{e}^{0}\right) = \dfrac{\np{1600} + 240 - \np{1600}\text{e}^{- 0,3}}{3} = \dfrac{\np{1840} - \np{1600}\text{e}^{- 0,3}}{3}$.
		\item La valeur moyenne est à peu près égale à 218,2~\degres C.  La fonction $f$ satisfait donc à l'exigence de la température moyenne de plus de 210~\degres C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip Une calculatrice fournit $P(X \geqslant 10,5) \approx 0,97$.

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après la loi des probabilités totales, la probabilité d'être conforme est :

$0,6 \times 0,97 + 0,4 \times 0,95 = 0,962$.

La probabilité de ne pas être conforme est donc : $1 - 0,962 = 0,038$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a une expérience de Bernoulli de paramètre $n = 60$, avec une chance de succès (avoir une batterie non conforme) de probabilité $p = 0,038$.
		\item La calculatrice donne $P(Y = 2) \approx \np{0,2702}$ soit 0,27 au centième.
		\item De même la probabilité qu'il y ait plus de quatre batteries non conformes est :
		
		$P(Y \geqslant 5) \approx 0,078$.
		\item L'espérance de la variable $Y$ est donnée par la formule :
		
		$E(Y) = n \times p  = 60 \times 0,038 = 2,28$.
		
Ceci signifie que sur un lot de 60 batteries un peu plus de 2 seront non conformes (ou sur 600, 23 seront non non conformes).						
	\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'hypothèse nulle est $H_0$ : \og $m \geqslant 11,5$\fg.
\item Par lecture du tableau $a \approx 11,412$.
\item Le résultat précédent ne valide pas l'hypothèse nulle, c'est-à-dire que l'autonomie n'a pas baissé de 5\,\%. On ne peut pourtant pas dire que cette autonomie a baissé.
\item L'intervalle de confiance au seuil de 5\,\% est : $\left[11,4 - \frac{1,96\sigma}{10}~;~11,4 + \frac{1,96\sigma}{10}\right] \approx [11,389~;~11,411]$.

Comme 11,5 n'appartient pas à cet intervalle, on peut donc dire que l'autonomie a baissé au risque d'erreur de 5\,\%.
\item  L'intervalle de confiance au seuil de 1\,\% est : $\left[11,4 - \frac{2,58\sigma}{10}~;~11,4 + \frac{2,58\sigma}{10}\right] \approx [11,386~;~11,414]$.

Comme 11,5 n'appartient toujours pas à cet intervalle, on peut donc dire que l'autonomie a baissé au risque d'erreur de 1\,\%.
\end{enumerate}

\end{document}