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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Corrigé du brevet de technicien supérieur 13 mai 2014\\ Conception de produits industriels}}

\vspace{0,25cm}

{\large Le sujet comporte  3 exercices  indépendants qui seront traités sur des copies séparées}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le produit d'une matrice  $2 \times 3$ par  une matrice $3 \times 2$ est une matrice 

$2 \times 2$. Réponse A 

\item  On a $\vect{\text{AB}}(- 2~;~1~;~- 1)$ et $\vect{\text{AC}}(1~;~1~;~- 2)$. Le vecteur $\vect{u} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$ a pour coordonnées $(- 1~;~- 5~;~- 3)$.

Ce vecteur étant orthogonal par définition aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ est normal au plan (ABC)Si le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (ABC) lui aussi il doit être colinéaire 
au vecteur $\vect{u}$ ; on a un coefficient de colinéarité évident : $- 1$. Donc $a = 5$ et $b = 3$. Réponse C.
\item On a $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = \|\vect{\text{AB}}\| \times \|\vect{\text{AB}}\|\times \cos \widehat{\text{BAC}}$, soit $\cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}}{\|\vect{\text{AB}}\| \times \|\vect{\text{AB}}\|} = \dfrac{12 \times 3}{12 \times 6} = \dfrac{1}{2}$.

Donc une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$. Réponse C.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation sont les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ qui s'écrivent :

\[f(t) = K\text{e}^{- 3t},\:\: \text{avec}\:\ K \in \R.\]

\item Soit la fonction constante définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = K$ ; on a donc 

$f'(t) = 0$.

$f$ est solution de $(E)$ signifie : $0 + 3K = 51$ soit $K = 17$.

\item Les solutions de (E) s'écrivent comme somme des solutions $(E_0)$ et de la solution particulière 17 de $(E)$, soit :

\[f(t) = 17 + K\text{e}^{- 3t} ,\:\: \text{avec}\:\ K \in \R.\]

\item La solution $f$ vérifiant $f(0) = 220$ est telle que $17 + K = 220$ soit $K = 203$.

La solution est donc définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 17 + 203\text{e}^{- 3t}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 3t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 203\text{e}^{- 3t} = 0$ et enfin $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 17$.
		\item Le résultat précédent montre que la droite dont une équation est $y = 17$ est asymptote horizontale à $C$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item  La fonction $f$ est celle qui a été trouvée à la fin de la partie A : elle est solution de l'équation différentielle $(E)$, donc $f'(t) + 3f(t) = 51$ soit $f'(t) = 51 - 3f(t) = 51 - 3\left(17 + 203\text{e}^{- 3t} \right)= - 609\text{e}^{- 3t}$.
	
Cette dérivée est négative pour tout réel, donc la fonction $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$

On a vu que $f(0) = 220$, donc $f$ décroît de 220 à 17.
\item On a $f(0,5) = 17 + 203\text{e}^{- 3\times 0,5} = 17 + 203\text{e}^{- 1,5} \approx 62,29$ soit 62,3 au dixième près mais supérieure à 40.
\item  Il suffit de résoudre l'inéquation suivante :

$f(t) \leqslant 38 \iff 17 +  203\text{e}^{- 3t} \leqslant 38 \iff 203\text{e}^{- 3t} \leqslant 21 \iff \text{e}^{- 3t} \leqslant \dfrac{21}{203} \iff - 3t \leqslant \ln \left(\dfrac{21}{203} \right) \iff t \geqslant - \dfrac{1}{3}\ln \left(\dfrac{21}{203} \right)$.

La calculatrice donne $- \dfrac{1}{3}\ln \left(\dfrac{21}{203} \right) \approx 0,756$.

0,756~h correspond à $0,756 \times 60 = 45,36$~min.

La pièce pourra être tenue en main à partir de la 46\up{e} minute.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe. Par propriétés d'une courbe de Bézier, la tangente au point A est colinéaire au
vecteur $\vect{\text{AB}}$ et la tangente au point O est colinéaire au vecteur $\vect{\text{CO}}$. (Tracées en pointillés).
\item L'algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau)
permet de construire le point $M(t)$ de la courbe de Bézier. Le schéma de principe est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\rput(0.5,5.8){\tiny Points de définition}
\rput(2.4,5.8){\tiny Barycentres I}
\rput(4.9,5.8){\tiny Barycentres J}
\rput(7.2,5.8){\tiny Point de la courbe}
\rput(0.5,5.5){A}\rput(0.5,3.8){B}\rput(0.5,2.1){C}\rput(0.5,0.4){O}
\rput(2.5,1.25){I$_3$}\rput(2.5,2.95){I$_2$}\rput(2.5,4.65){I$_1$}
\rput(5,3.8){J$_2$}\rput(5,2.1){J$_1$}\rput(7.5,2.95){$M(t)$}
\psline(0.8,5.5)(2.2,4.6)\psline(0.8,3.8)(2.2,4.6)
\psline(0.8,3.8)(2.2,2.9)\psline(0.8,2.1)(2.2,2.9)
\psline(0.8,2.1)(2.2,1.2)\psline(0.8,0.4)(2.2,1.2)
\psline(2.8,4.6)(4.8,3.8)\psline(2.8,2.9)(4.8,3.8)
\psline(2.8,2.9)(4.8,2.1)\psline(2.8,1.2)(4.8,2.1)
\psline(5.2,3.8)(7,2.9)\psline(5.2,2.1)(7,2.9)
\rput(1.5,5.3){$\frac{1}{4}$}\rput(1.5,4.4){$\frac{3}{4}$}
\rput(1.5,3.6){$\frac{1}{4}$}\rput(1.5,2.7){$\frac{3}{4}$}
\rput(1.5,1.8){$\frac{1}{4}$}\rput(1.5,0.9){$\frac{3}{4}$}
\rput(3.6,4.5){$\frac{1}{4}$}\rput(3.6,3.5){$\frac{3}{4}$}
\rput(3.6,2.3){$\frac{1}{4}$}\rput(3.6,1.2){$\frac{3}{4}$}
\rput(6,3.65){$\frac{1}{4}$}\rput(6,2.1){$\frac{3}{4}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Voir l'annexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le point E est le symétrique du point C par rapport à l'origine du repère. D'où C$(-4~;~-5)$ et E(4~;~5). Voir plus bas.
\item  D'après la formule des polynômes de Bernstein :

$B_{2,~3}(t) = \dfrac{3!}{2!(3 - 2)!}t^2 (1 - t)^1 = 3t^2(1 - t) = 3t^2 - 3t^3$.
\item  En utilisant la définition  vectorielle on a :

$\vect{\text{O}M_2(t)}   = B_{1,~3}(t)\vect{\text{OE}} + B_{2,~3}(t)\vect{\text{OA}} + B_{3,~3}(t) \vect{\text{OF}}$ ; on en tire :

$x = f(t) = 4B_{1,~3}(t) - 5B_{2,~3}(t) + 2B_{3,~3}(t) = $

$4\left(3 t^3 - 6t^2 + 3t \right)  - 5\left(3 t^2 - 3 t^3 \right)  + 2t^3 = 29t^3 - 39t^2 + 12t$.

\item  Étude de $f(t)$
	\begin{enumerate}
		\item  Sur [0~;~1], $f$ est dérivable et sur cet intervalle :
		
$f'(t) =  87 t^2 - 78t +  12 = 3\left(29t^2 - 26t +   4 \right)$

		\item $f'(t) = 0 \iff  29t^2 - 26t +   4  = 0$
		
$\Delta = 26^2 -  4\times 4 \times 29 = 676 - 464 = 212 = 4\times 53$.
		
L'équation a deux solutions $t_2 = \dfrac{26 + 2\sqrt{53}}{58} \approx 0,699$ soit 0,70 au centième près et $t_1 = \dfrac{26 - 2\sqrt{53}}{58} \approx 0,197$ soit 0,20 au centième près.
		\item On calcule $f(0,2) \approx 1,07$ et $f(0,7) \approx - 0,76$. Les variations de $g$ étant donnés on peut dresser le tableau conjoint des variations de $f$ et $g$ :
		
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5.5)
\psframe(9,5.5)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(0,4.5)(9,4.5)\psline(0,5)(9,5)
\psline(1,0)(1,5.5)
\uput[u](0.5,4.9){$t$} \uput[u](1.1,4.9){$0$} \uput[u](3,4.9){$t_1\approx 0,2$} \uput[u](5,4.9){$\alpha \approx 0,52$} \uput[u](7,4.9){$t_2\approx 0,7$} \uput[u](8.9,4.9){$1$}
\rput(0.5,4.75){$f'(t)$}\rput(2,4.75){$+$}\rput(3,4.75){$0$}\rput(4,4.75){$-$}
\rput(6,4.75){$-$}\rput(7,4.75){$0$}\rput(8,4.75){$+$}
\rput(0.5,3.5){$f(t)$} \rput(1.1,3.5){0}\uput[d](3,4.5){}\rput(5,3.5){$-0,23$}
\uput[u](7,0){$$} \uput[d](8.85,4.5){2}
\uput[d](3,4.5){1,07} \uput[u](7,2.5){$- 0,76$} 
\psline{->}(1.5,3.5)(2.5,4)\psline{->}(3.5,4)(6.5,3)\psline{->}(7.5,3)(8.5,4) 
\rput(0.5,2.25){$g'(t)$} \rput(2,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6,2.25){$-$} \rput(8,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$g(t)$} \uput[u](1.1,0){$0$} \uput[d](5,2){3,32} \rput(8.8,1){2,5}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(8.5,1) 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item  La tangente est parallèle à l'axe des abscisses au point $M(\alpha)$, car $g'(\alpha) = 0$ et la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées au points $M\left(t_1 \right)$ et $M\left(t_2 \right)$ car $f'\left(t_1 \right) = f'\left(t_2 \right) = 0$.
\item  Voir l'annexe.
\item  Voir l'annexe.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour la courbe $C_1$, la tangente au point O est la droite (CO). Pour la courbe $C_2$, la tangente au point O est la droite (OE). 

Par définition, le point E est le symétrique du point C par rapport à l'origine O, donc les trois points E, C, O sont alignés, les droites (CO) et (OE) sont parallèles et égales.

Au  raccordement entre les deux courbes les tangentes sont les mêmes.
\item Par propriété des courbes de Bézier, pour modifier les tangentes au point O des courbes $C_1$ et
$C_2$, il faut modifier la position des points O , C et (ou)  E. Comme le point E est défini par rapport au point C, la seule modification possible autre que O est la position du point C.

Si le point C est modifié, le point E reste le symétrique de C par rapport à O, les droites (CO) et
(EO) resteront confondues et par conséquent le raccordement sera tangent.
\item Avec une ordonnée plus petite la dernière partie de $C_2$ sera plus basse donc la boucle sera plus large (voir la modification en vert).
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.8cm}

\begin{pspicture}(-8,-6)(8,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-8,-6)(8,6)
\psdots(0,0)(-5,3)(-2,4)(-4,-5)(4,5)(2,2.5)(-2.75,3.75)(-3.5,-2.75)(-1,-1.25)(-3.3125,-1.125)(-1.625,-1.625)%OABCDEFI_1I_2I_3J_1J_2
\psdots[linecolor=red](-3.7,2.6)(-2.85,0)(-2.02,-1.5)
\uput[dr](0,0){O} \uput[l](-5,3){A} \uput[u](-2,4){B} 
\uput[d](-4,-5){C} \uput[r](4,5){E} \uput[dr](2,2.5){F} 
\uput[u](-2.75,3.75){I$_1$} \uput[l](-3.5,-2.75){I$_2$} \uput[dr](-1,-1.25){I$_3$}
\uput[l](-3.3125,-1.125){J$_1$} \uput[dr](-1.625,-1.625){J$_2$} 
%\psbezier(-5,3)(-2.75,3.75)(-3.5,-2.75)(-2,-1.5)
\parametricplot[linecolor=red]{0}{1}{t 3 exp 11 mul  t dup mul 15 mul sub 9 t mul add 5 sub t 3 exp 24 mul t dup mul 30 mul sub 3 t mul add 3 add}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{1}{t 3 exp 29 mul  t dup mul 39 mul sub 12 t mul add t 3 exp 8.5 mul t dup mul 21 mul sub 15 t mul add}
\parametricplot[linecolor=green]{0}{1}{t 3 exp 29 mul  t dup mul 39 mul sub 12 t mul add t 3 exp 8 mul t dup mul 21 mul sub 15 t mul add}
\pspolygon[linestyle=dotted](-5,3)(-2,4)(-4,-5)(2,2.5)(4,5)(2,2.5)%ABCEFA
\psline[linestyle=dashed](-2.75,3.75)(-3.5,-2.75)(-1,-1.25)%I_1I_2
\psline[linestyle=dashed](-3.3125,-1.125)(-1.625,-1.625)%J_1J_2 
\uput[l](-3.55,2.6){\red \footnotesize $M_1(1/4)$}
\uput[ur](-2.8,0){\red \footnotesize $M_1(1/2)$}
\uput[u](-2.05,-1.5){\red \footnotesize $M_1(3/4)$}

\end{pspicture}
\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$& 0 &0,10 &0,20 &0,30 & 0,52 &0,70 &0,80 &0,90& 1\\ \hline
$f(t)$& 0 &0,84 & 1,07&0,87&$- 0,23$& $-0,76$& $- 0,51$& 0,35 &2\\ \hline
$g(t)$& 0 &1,30 &2,23 &2,84 &3,32 &3,13 &2,91 &2,69 &2,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}