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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Conception de produits industriels session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

%\begin{center}
%\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

%\medskip
%
%On considère l'équation différentielle 

\[(E)~~:\quad  y" - y = (- 4x - 6)\text{e}^{-x}\]

%où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right)~~:\quad  y'' - y = 0.\]

On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies par :

\[f(x) = \lambda \text{e}^x + \mu\text{e}^{- x},\: \text{avec}\: \lambda, \mu \:\:\text{réels}.\] 
\item  %Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{-x}$. Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.
$g(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x}$. Donc pour tout réel, 

$g'(x) = (2x + 4)\text{e}^{- x} - \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}\left(2x + 4 - x^2 - 4x \right) = \text{e}^{- x}\left(4 - 2x - x^2 \right)$, puis 

$g''(x) = (-2 - 2x)\text{e}^{- x} - \left(4 - 2x - x^2 \right)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}\left(-2 - 2x - 4 + 2x + x^2 \right) = \left(x^2 - 6 \right)\text{e}^{- x}$.

Donc $g''(x) - g(x) = \left(x^2 - 6 \right)\text{e}^{- x} - \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}\left(x^2 - 6  - x^2 - 4x \right) =$

$ (- 4x - 6)\text{e}^{-x}$.

La fonction $g$ est bien une solution particulière de $(E)$.
\item  %En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
La solution générale est la somme d'une solution particulière et d'une solution quelconque de l'équation sans second membre, donc de la forme :

\[f(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x} + \lambda \text{e}^x + \mu\text{e}^{- x},\: \text{avec}\: \lambda, \mu \:\:\text{réels}.  \]

\item  %Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 3$ et $f'(0) = 1$.
La fonction $f$ a pour dérivée $f'$ telle que :

$f'(x) = \text{e}^{- x}\left(4 - 2x - x^2 \right) + \lambda\text{e}^x -  \mu\text{e}^{- x}$.

Les conditions $f(0) = 3$ et $f'(0) = 1$ conduisent au système :

\[\left\{\begin{array}{rr c l}
\lambda + \mu &=& 3\\
4 + \lambda - \mu &=& 1
\end{array}\right. \Rightarrow\:(\text{par somme})\: 4 + 2\lambda = 4 \iff \lambda = 0.\]

Il suit $0 + \mu = 3 \iff \mu = 3$.

La solution particulière est donc :

\[f(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x}   + 3\text{e}^{- x} = \left(x^2 + 4x + 3 \right)\text{e}^{- x}. \]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie par $x \longmapsto \text{e}^{-x}$.
		Le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de $\text{e}^{-x}$ est :
		
\[\text{e}^{-x} = 1 - x + \dfrac{x^2}{2!} + x^2\epsilon(x),\:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0\]
		\item  %En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :
On a donc :

$f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x} = \left(x^2 + 4x + 3\right)\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2!} + x^2\epsilon(x) \right) = x^2 + 4x + 3 - x^3 - 4x^2 - 3x + \dfrac{x^4}{2} + 2x^3 + \dfrac{3x^2}{2} + x^2\epsilon'(x) \:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon'(x) = 0$, soit 

$f(x) = 3 + x - \dfrac{3}{2}x^2 + x^2\epsilon''(x) \:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon''(x) = 0$.

%\[f(x) =  3 + x - \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\: \text{avec}~ \lim_{x \to 0}  \epsilon(x) = 0.\]

	\end{enumerate}
\item %On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		On reconnaît dans le début du développement limité la forme linéaire $y = 3 + x$ équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item  %Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse~$0$.
On a $f(x) - (3 + x) = - \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\: \text{avec}~ \displaystyle\lim_{x \to 0}  \epsilon(x) = 0$.

La différence est négative ce qui signifie qu'au voisinage de l'origine la courbe est sous sa tangente.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{A.  Étude des variations d'une fonction}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]

%où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

%La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal où l'unité graphique est 2 cm est donnée ci-dessous.\\
  
%\medskip
%\psset{unit=1.714cm}
%\begin{pspicture}(-2,-4)(5,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-4)(5,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-4)(5,2)
%\uput[ul](0,-2){A} \uput[ul](2,0){B} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[u](3.5,0.1){\blue $\mathcal{C}$} 
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.48}{5}{x 2 sub 2.71828 x exp div}
%\end{pspicture}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A et B de coordonnées respectives $(0~;~-2)$ et (2~;~0).

%Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.
Les deux données se traduisent par : $\left\{\begin{array}{l c l}
- 2&=&f(0)\\
0&=&f(2)
\end{array}\right.$ soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
- 2&=&b\\
0&=&(2a + b)\text{e}^{-2}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
- 2&=&b\\
0&=&2a  - 2
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&- 2\\
a&=&1
\end{array}\right.$. On a donc  $f(x) = (x - 2)\text{e}^{-x}$.
%\begin{center}\textbf{Dans la suite de cet exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par }\boldmath $f(x) = (x - 2)\text{e}^{-x}$.\unboldmath \end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,\: f'(x) = (3 - x)\text{e}^{-x}$.
La fonction $f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet ensemble et 

$f'(x) =  \text{e}^{-x} - (x - 2)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 -  x + 2) = (3 - x)\text{e}^{-x}$.
		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{-x} > 0$ ; le signe de $f'(x)$ est celui de  $3 - x$ ;

$\bullet~~$$x < 3$ : $f'(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur $]-\infty~;~3[$ ;

$\bullet~~$$x > 3$ : $f'(x) < 0$ : la fonction est donc décroissante sur $]3~;~+ \infty[$.
		\item  ~%Établir le tableau de variations de $f$.
		
%Dans ce tableau, on ne demande pas de faire figurer les limites.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$3$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f$}
\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$-$}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$} \uput[d](4,2){$\text{e}^{-3}$}\uput[u](6.5,0){$0$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5) 
\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)  
\end{pspicture}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Calcul intégral}

\medskip

On note $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I= - 1 - \text{e}^{-2}$.
On pose : $u(x) = x - 2$ et $v'(x) = \text{e}^{-x}$ ; d'où :

$u'(x) = 1$ et $v(x) = - \text{e}^{-x}$.

On intègre par parties :

$I = \left[u(x)v(x) \right]_0^2 - \left(- \displaystyle\int_{0}^2 \text{e}^{-x}\:\text{d}x\right) = \left[-(x - 2)\text{e}^{-x}\right]_0^2 + \displaystyle\int_{0}^2 \text{e}^{-x}\:\text{d}x = 0 - 2\text{e}^{-2} + \left[\text{e}^{-x} \right]_0^2 =   - 2\text{e}^{-2} + \text{e}^{-2} - 1 = - 1 - \text{e}^{-2}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %En déduire la valeur exacte de l'aire $S$ en cm$^2$ de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées et la courbe $\mathcal{C}$ entre les points A et B d'abscisses respectives $0$ et $2$.
		
		On a vu qu'entre 0 et 2, la fonction est négative, donc  l'aire de la surface limitée par les axes de coordonnées et la courbe $\mathcal{C}$ entre les points A et B d'abscisses respectives $0$ et $2$ est en unités d'aire l'opposée de l'intégrale précédente.
		
	Or l'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$.
		
Donc $S = 4\left(1 + \text{e}^{-2} \right)$.
		\item  %Donner la valeur approchée de $S$ arrondie à $10^{-2}$.
La calculatrice donne $S \approx 4,541$ soit 4,54~cm$^2$ au centième près
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres.
%
%On appelle courbe de Bézier définie par les points de définition $A_{i}(0 \leqslant  i \leqslant n)$ l'ensemble des points $M(t)$ tels que :
%
%\[ \vect{\text{O}M(t)} = \displaystyle\sum_{i = 0}^n B_{i,~n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}~\text{où}~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i t^i  (1 - t)^{n-i}.\]
%
%\medskip

\emph{A. Construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{1}$

\medskip

Dans cette question, on s'intéresse à la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par les quatre points de définition A(0~;~1) ; B(2~;~1) ; C(0~;~ 2) ; D(0~;~4), dans cet ordre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que, pour tout $t$ de [0~;~1], $B_{1,~3}(t) = 3t - 6t^2 + 3t^3$.
$\bullet~~$$B_{0,~3} = (1 - t)^3 = 1 - 3t + 3t^2 - t^3$ ;

$\bullet~~$$B_{1,~3} = 3t(1 - t)^2 = 3t\left(1 - 2t + t^2 \right) = 3t - 6t^2 + 3t^3$.
\item  %On admet que, pour tout $t$ de [0~;~1]

%$B_{0,~3}(t) = 1 - 3t + 3t^2 - t^3~~; ~~B_{2,~3}(t) = 3t^2 -  3t^3$ et $B_{3,~3}(t) = t^3$.

%En déduire qu'un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ est :
On a par définition

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x &=&f_{1}(t)&=&2B_{1,~3}(t)\\ 
y &=&g_{1}(t)&=&B_{0,~3}(t) + B_{1,~3}(t) + 2B_{2,~3}(t) = 4B_{3,~3}(t)\\
\end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\]
soit 

$\left\{\begin{array}{l c l c l}
x &=&f_{1}(t)&=&2\left(3t - 6t^2 + 3t^3 \right)\\ 
y &=&g_{1}(t)&=&1 - 3t + 3t^2 - t^3 + 3t - 6t^2 + 3t^3 + 2\left(3t^2 - 3t^3 \right) + 4t^3\\
\end{array}\right.$ ou

$\left\{\begin{array}{l c l c l}
x &=&f_{1}(t)&=&6t - 12t^2 + 6t^3 \\ 
y &=&g_{1}(t)&=&1 - 3t + 3t^2 - t^3 + 3t - 6t^2 + 3t^3 + 6t^2 - 6t^3 + 4t^3\\
\end{array}\right.$ et enfin
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x &=&f_{1}(t)&	= &6t - 12t^2 + 6t^3\\ 
y &=& g_{1}(t)& =& 1 + 3t^2\phantom{+ 6t^3}\\
\end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\]
   
\item  %Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0~;~1]  et rassembler les résultats dans un tableau unique.
$\bullet~~$$f'_1(t) = 6 - 24t + 18t^2 = 6\left(1 - 4t + 3t^2 \right)$. $f'_1(t)$ est du signe du trinôme 

$3t^2 - 4t + 1$.

Pour ce trinôme $\Delta = 16 - 12 = 4 = 2^2$ ; ses racines sont $\dfrac{4 + 2}{6} = 1$ et $\dfrac{4 - 2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

$f'(t)$ est positif sauf entre $\dfrac{1}{3}$ et $1$.

$\bullet~~$$f'_2(t) = 6t$ qui est positif sur [0~;~1]. D'où le tableau de variations commun :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\psframe(7,5.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(0,4.5)(7,4.5)\psline(0,5)(7,5)
\psline(1,0)(1,5.5)
\uput[u](0.5,4.9){$t$} \uput[u](1.1,4.9){$0$} \uput[u](4,4.9){$\frac{1}{3}$} \uput[u](6.85,4.9){$1$}
\rput(0.5,4.75){$f'_1(t)$}\rput(2.5,4.75){+} \rput(4,4.75){$0$}\rput(5.5,4.75){$-$} \rput(6.85,4.75){0}
\rput(0.5,3.5){$f_1(t)$} \rput(0.5,2.25){$f'_2(t)$}\rput(0.5,1){$f_2(t)$}
\uput[u](1.15,2.5){0}\uput[d](4,4.5){$\frac{8}{9}$} \uput[u](6.85,2.5){$0$}
\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(5.5,2.25){$+$}
\uput[u](1.15,0){1}\rput(4,1){$\frac{5}{3}$}\uput[d](6.85,2){4}
\psline{->}(1.5,3)(3.5,4)
\psline{->}(4.5,4)(6.5,3)
\psline{->}(1.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item  %Préciser les coordonnées des points de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ où les tangentes sont parallèles aux axes de coordonnées.
Tangente horizontale aux points $M_0(0~;~1)$ ;

Tangentes verticales aux points $M_{\frac{1}{3}}\left(\frac{8}{9}~;~\frac{5}{3}\right)$ et $M_1(0~;~4)$.
\item  %Montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point A.
Par définition des courbes de Bézier la droite (AB) est tangente à la courbe pour $t = 0$ ; on peut également calculer les coordonnées du vecteur tangent $\vect{t}_0\left(x'(0)~;~y'(0) \right)$ soit $\vect{t}(6~;~0)$ ; or les coordonnées du vecteur  $\vect{\text{AB}}$ sont  $\vect{\text{AB}}(2~;~0)$ ; $\vect{t_0}$ et $\vect{\text{AB}}$ sont bien colinéaires.
\item  ~%Tracer la tangente (AB) et la courbe $\mathcal{C}_{1}$ dans le repère donné au début de l'énoncé.

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,0)(2,4)
\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{6 t mul t 3 exp 6 mul add t dup mul 12 mul sub t dup mul 3 mul 1 add}
\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{ t dup mul 4 mul 2 t mul sub  2 sub   2 t mul t dup mul sub}
\psdots(0,1)(2,1)(-2,0)(-3,1)(-2.5,0.5)(-1.5,1)(-2,0.75)(0,2)(0,4)
\uput[dr](0,1){A}\uput[ur](2,1){B}
\uput[u](-2,0){E}\uput[d](-3,1){F}
\uput[dl](-2.5,0.5){$M_0$}\uput[d](-1.5,1){$M_1$}
\uput[dr](-2,0.75){$R$}\uput[r](0,2){C} \uput[r](0,4){D}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline{->}(0,1)(2,1)\psline{->}(0,1)(-3,1)
\psline{->}(-2,0)(-3,1)\psline{<->}(-2.5,0.5)(-1.5,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude géométrique et construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{2}$

\medskip

On considère la courbe  de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ définie par les trois points de définition E$(- 2~;~0)$ ; F$(- 3~;~1)$
et A(0~;~1) dans cet ordre.

%\begin{center}
%\textbf{Les deux résultats suivants n'ont pas à être démontrés.}\end{center}

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  Un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ est :
%\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
%x &=&f_{2}(t)	&= 	&- 2 - 2t + 4t^2\\ 
%y &=& g_{2}(t)	&=	& \phantom{-}2t \phantom{- 2t} - t^2\\
%  \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}.\] 
%\item[$\bullet~$] Le tableau de variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant :
%\end{itemize}
 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,7)
%\psframe(8,7) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5) 
%\psline(0,6)(8,6)  \psline(2,0)(2,7)
%\rput(1,6.5){$t$} \rput(2.15,6.5){$0$}\rput(5,6.5){$\dfrac{1}{4}$}
%\rput(7.8,6.5){1} \rput(1,5.5){$f'_{2}(t)$} \rput(2.2,5.5){$-2$}
%\rput(3.5,5.5){$-$} \rput(5,5.5){$0$} \rput(6.5,5.5){$+$} \rput(7.8,5.5){$6$}
%\rput(1,4){$f_{2}(t)$}\rput(2.3,4.7){$-2$} \rput(5,3.2){$-2,25$}\rput(7.8,4.8){$0$}
%\rput(1,2.5){$g'_{2}(t)$}\rput(2.2,2.5){2} \rput(5,2.5){$+$} \rput(7.8,2.5){$0$}
%\rput(1,1){$f_{2}(t)$}\rput(2.2,0.2){$0$}\rput(7.8,1.8){$1$}
%\psline{->}(2.6,4.7)(4.5,3.3) \psline{->}(5.5,3.3)(7.6,4.7)
%\psline{->}(2.4,0.2)(7.7,1.8)
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Construire sur la figure de la partie A le point $M_{0}$ tel que $\vect{\text{E}M_{0}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{EF}}$, le point $M_{1}$ tel que $\vect{\text{F}M_{1}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{FA}}$ et le point $R$ tel que $\vect{M_{0}R} = \dfrac{1}{2}\vect{M_{0}M_{1}}$.
Voir la figure plus haut.
\item  %Calculer les coordonnées des points $M_{0},~ M_{1}$  et $R$.
$M_{0}$ est le milieu de [EF], donc $M_{0}(-2,5~;~0,5)$ ;

$M_{1}$ est le milieu de [FA], donc $M_{1}(- 1,5~;~1)$ ;

$R$ est le milieu de $\left[M_{0}M_{1} \right]$, donc $R(- 2~;~0,75)$.
\item  %Montrer que le point $R$ est le point de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de paramètre $\dfrac{1}{2}$.
Pour $t = \frac{1}{2}$, on a $x = - 2 - 1 + 1 = - 2$ et $y = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ : c'est bien le point R.
\item  %Montrer que la droite (AF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point A.
Le point A correspond à $t = 1$. les coordonnées du vecteur tangent en A à $\mathcal{C}_{2}$ sont $\left(x'(1)~;~y'(1) \right)$ soit (6~;~0) (d'après le tableau de variations) et les coordonnées de $\vect{\text{AF}}$ sont $(- 3~;~0)$ : les vecteurs sont bien colinéaires.
\item  %Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente au point A.
On a vu que le vecteur tangent à $\mathcal{C}_{1}$ en A a pour coordonnées (6~;~0) et que le vecteur tangent à $\mathcal{C}_{2}$ en A a pour coordonnées $(- 3~;~0)$ ; ces vecteurs sont colinéaires donc ces tangentes sont égales.
\item  %Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la même figure que la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
Voir ci-dessus en rouge.
\end{enumerate}
\end{document}