%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé BTS}, pdftitle = {Conception de produits industriels mai 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur } \lfoot{\small{Conception de produits industriels}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Conception de produits industriels session 2008} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} %\begin{center} %\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle} %\medskip % %On considère l'équation différentielle \[(E)~~:\quad y" - y = (- 4x - 6)\text{e}^{-x}\] %où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle \[\left(E_{0}\right)~~:\quad y'' - y = 0.\] On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies par : \[f(x) = \lambda \text{e}^x + \mu\text{e}^{- x},\: \text{avec}\: \lambda, \mu \:\:\text{réels}.\] \item %Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{-x}$. Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation $(E)$. $g(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x}$. Donc pour tout réel, $g'(x) = (2x + 4)\text{e}^{- x} - \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}\left(2x + 4 - x^2 - 4x \right) = \text{e}^{- x}\left(4 - 2x - x^2 \right)$, puis $g''(x) = (-2 - 2x)\text{e}^{- x} - \left(4 - 2x - x^2 \right)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}\left(-2 - 2x - 4 + 2x + x^2 \right) = \left(x^2 - 6 \right)\text{e}^{- x}$. Donc $g''(x) - g(x) = \left(x^2 - 6 \right)\text{e}^{- x} - \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}\left(x^2 - 6 - x^2 - 4x \right) =$ $ (- 4x - 6)\text{e}^{-x}$. La fonction $g$ est bien une solution particulière de $(E)$. \item %En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. La solution générale est la somme d'une solution particulière et d'une solution quelconque de l'équation sans second membre, donc de la forme : \[f(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x} + \lambda \text{e}^x + \mu\text{e}^{- x},\: \text{avec}\: \lambda, \mu \:\:\text{réels}. \] \item %Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 3$ et $f'(0) = 1$. La fonction $f$ a pour dérivée $f'$ telle que : $f'(x) = \text{e}^{- x}\left(4 - 2x - x^2 \right) + \lambda\text{e}^x - \mu\text{e}^{- x}$. Les conditions $f(0) = 3$ et $f'(0) = 1$ conduisent au système : \[\left\{\begin{array}{rr c l} \lambda + \mu &=& 3\\ 4 + \lambda - \mu &=& 1 \end{array}\right. \Rightarrow\:(\text{par somme})\: 4 + 2\lambda = 4 \iff \lambda = 0.\] Il suit $0 + \mu = 3 \iff \mu = 3$. La solution particulière est donc : \[f(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{- x} + 3\text{e}^{- x} = \left(x^2 + 4x + 3 \right)\text{e}^{- x}. \] \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Étude locale d'une fonction} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie par $x \longmapsto \text{e}^{-x}$. Le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de $\text{e}^{-x}$ est : \[\text{e}^{-x} = 1 - x + \dfrac{x^2}{2!} + x^2\epsilon(x),\:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0\] \item %En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : On a donc : $f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x} = \left(x^2 + 4x + 3\right)\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2!} + x^2\epsilon(x) \right) = x^2 + 4x + 3 - x^3 - 4x^2 - 3x + \dfrac{x^4}{2} + 2x^3 + \dfrac{3x^2}{2} + x^2\epsilon'(x) \:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon'(x) = 0$, soit $f(x) = 3 + x - \dfrac{3}{2}x^2 + x^2\epsilon''(x) \:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon''(x) = 0$. %\[f(x) = 3 + x - \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\: \text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] \end{enumerate} \item %On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. \begin{enumerate} \item %Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. On reconnaît dans le début du développement limité la forme linéaire $y = 3 + x$ équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item %Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse~$0$. On a $f(x) - (3 + x) = - \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\: \text{avec}~ \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$. La différence est négative ce qui signifie qu'au voisinage de l'origine la courbe est sous sa tangente. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \textbf{A. Étude des variations d'une fonction} \medskip %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\] %où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. %La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal où l'unité graphique est 2 cm est donnée ci-dessous.\\ %\medskip %\psset{unit=1.714cm} %\begin{pspicture}(-2,-4)(5,2) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-4)(5,2) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-4)(5,2) %\uput[ul](0,-2){A} \uput[ul](2,0){B} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[u](3.5,0.1){\blue $\mathcal{C}$} %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.48}{5}{x 2 sub 2.71828 x exp div} %\end{pspicture} % %\medskip \begin{enumerate} \item %La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A et B de coordonnées respectives $(0~;~-2)$ et (2~;~0). %Déterminer les nombres réels $a$ et $b$. Les deux données se traduisent par : $\left\{\begin{array}{l c l} - 2&=&f(0)\\ 0&=&f(2) \end{array}\right.$ soit : $\left\{\begin{array}{l c l} - 2&=&b\\ 0&=&(2a + b)\text{e}^{-2} \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} - 2&=&b\\ 0&=&2a - 2 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} b&=&- 2\\ a&=&1 \end{array}\right.$. On a donc $f(x) = (x - 2)\text{e}^{-x}$. %\begin{center}\textbf{Dans la suite de cet exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par }\boldmath $f(x) = (x - 2)\text{e}^{-x}$.\unboldmath \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,\: f'(x) = (3 - x)\text{e}^{-x}$. La fonction $f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet ensemble et $f'(x) = \text{e}^{-x} - (x - 2)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x + 2) = (3 - x)\text{e}^{-x}$. \item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$. On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{-x} > 0$ ; le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - x$ ; $\bullet~~$$x < 3$ : $f'(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur $]-\infty~;~3[$ ; $\bullet~~$$x > 3$ : $f'(x) < 0$ : la fonction est donc décroissante sur $]3~;~+ \infty[$. \item ~%Établir le tableau de variations de $f$. %Dans ce tableau, on ne demande pas de faire figurer les limites. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$3$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f$} \rput(2.5,2.25){$+$}\rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$-$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$} \uput[d](4,2){$\text{e}^{-3}$}\uput[u](6.5,0){$0$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5) \psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Calcul intégral} \medskip On note $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item %À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I= - 1 - \text{e}^{-2}$. On pose : $u(x) = x - 2$ et $v'(x) = \text{e}^{-x}$ ; d'où : $u'(x) = 1$ et $v(x) = - \text{e}^{-x}$. On intègre par parties : $I = \left[u(x)v(x) \right]_0^2 - \left(- \displaystyle\int_{0}^2 \text{e}^{-x}\:\text{d}x\right) = \left[-(x - 2)\text{e}^{-x}\right]_0^2 + \displaystyle\int_{0}^2 \text{e}^{-x}\:\text{d}x = 0 - 2\text{e}^{-2} + \left[\text{e}^{-x} \right]_0^2 = - 2\text{e}^{-2} + \text{e}^{-2} - 1 = - 1 - \text{e}^{-2}$. \item \begin{enumerate} \item %En déduire la valeur exacte de l'aire $S$ en cm$^2$ de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées et la courbe $\mathcal{C}$ entre les points A et B d'abscisses respectives $0$ et $2$. On a vu qu'entre 0 et 2, la fonction est négative, donc l'aire de la surface limitée par les axes de coordonnées et la courbe $\mathcal{C}$ entre les points A et B d'abscisses respectives $0$ et $2$ est en unités d'aire l'opposée de l'intégrale précédente. Or l'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$. Donc $S = 4\left(1 + \text{e}^{-2} \right)$. \item %Donner la valeur approchée de $S$ arrondie à $10^{-2}$. La calculatrice donne $S \approx 4,541$ soit 4,54~cm$^2$ au centième près \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} \medskip %Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres. % %On appelle courbe de Bézier définie par les points de définition $A_{i}(0 \leqslant i \leqslant n)$ l'ensemble des points $M(t)$ tels que : % %\[ \vect{\text{O}M(t)} = \displaystyle\sum_{i = 0}^n B_{i,~n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}~\text{où}~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i t^i (1 - t)^{n-i}.\] % %\medskip \emph{A. Construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{1}$ \medskip Dans cette question, on s'intéresse à la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par les quatre points de définition A(0~;~1) ; B(2~;~1) ; C(0~;~ 2) ; D(0~;~4), dans cet ordre. \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout $t$ de [0~;~1], $B_{1,~3}(t) = 3t - 6t^2 + 3t^3$. $\bullet~~$$B_{0,~3} = (1 - t)^3 = 1 - 3t + 3t^2 - t^3$ ; $\bullet~~$$B_{1,~3} = 3t(1 - t)^2 = 3t\left(1 - 2t + t^2 \right) = 3t - 6t^2 + 3t^3$. \item %On admet que, pour tout $t$ de [0~;~1] %$B_{0,~3}(t) = 1 - 3t + 3t^2 - t^3~~; ~~B_{2,~3}(t) = 3t^2 - 3t^3$ et $B_{3,~3}(t) = t^3$. %En déduire qu'un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ est : On a par définition \[\left\{\begin{array}{l c l c l} x &=&f_{1}(t)&=&2B_{1,~3}(t)\\ y &=&g_{1}(t)&=&B_{0,~3}(t) + B_{1,~3}(t) + 2B_{2,~3}(t) = 4B_{3,~3}(t)\\ \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\] soit $\left\{\begin{array}{l c l c l} x &=&f_{1}(t)&=&2\left(3t - 6t^2 + 3t^3 \right)\\ y &=&g_{1}(t)&=&1 - 3t + 3t^2 - t^3 + 3t - 6t^2 + 3t^3 + 2\left(3t^2 - 3t^3 \right) + 4t^3\\ \end{array}\right.$ ou $\left\{\begin{array}{l c l c l} x &=&f_{1}(t)&=&6t - 12t^2 + 6t^3 \\ y &=&g_{1}(t)&=&1 - 3t + 3t^2 - t^3 + 3t - 6t^2 + 3t^3 + 6t^2 - 6t^3 + 4t^3\\ \end{array}\right.$ et enfin \[\left\{\begin{array}{l c l c l} x &=&f_{1}(t)& = &6t - 12t^2 + 6t^3\\ y &=& g_{1}(t)& =& 1 + 3t^2\phantom{+ 6t^3}\\ \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\] \item %Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique. $\bullet~~$$f'_1(t) = 6 - 24t + 18t^2 = 6\left(1 - 4t + 3t^2 \right)$. $f'_1(t)$ est du signe du trinôme $3t^2 - 4t + 1$. Pour ce trinôme $\Delta = 16 - 12 = 4 = 2^2$ ; ses racines sont $\dfrac{4 + 2}{6} = 1$ et $\dfrac{4 - 2}{6} = \dfrac{1}{3}$. $f'(t)$ est positif sauf entre $\dfrac{1}{3}$ et $1$. $\bullet~~$$f'_2(t) = 6t$ qui est positif sur [0~;~1]. D'où le tableau de variations commun : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,5.5) \psframe(7,5.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(0,4.5)(7,4.5)\psline(0,5)(7,5) \psline(1,0)(1,5.5) \uput[u](0.5,4.9){$t$} \uput[u](1.1,4.9){$0$} \uput[u](4,4.9){$\frac{1}{3}$} \uput[u](6.85,4.9){$1$} \rput(0.5,4.75){$f'_1(t)$}\rput(2.5,4.75){+} \rput(4,4.75){$0$}\rput(5.5,4.75){$-$} \rput(6.85,4.75){0} \rput(0.5,3.5){$f_1(t)$} \rput(0.5,2.25){$f'_2(t)$}\rput(0.5,1){$f_2(t)$} \uput[u](1.15,2.5){0}\uput[d](4,4.5){$\frac{8}{9}$} \uput[u](6.85,2.5){$0$} \rput(2.5,2.25){$+$} \rput(5.5,2.25){$+$} \uput[u](1.15,0){1}\rput(4,1){$\frac{5}{3}$}\uput[d](6.85,2){4} \psline{->}(1.5,3)(3.5,4) \psline{->}(4.5,4)(6.5,3) \psline{->}(1.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item %Préciser les coordonnées des points de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ où les tangentes sont parallèles aux axes de coordonnées. Tangente horizontale aux points $M_0(0~;~1)$ ; Tangentes verticales aux points $M_{\frac{1}{3}}\left(\frac{8}{9}~;~\frac{5}{3}\right)$ et $M_1(0~;~4)$. \item %Montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point A. Par définition des courbes de Bézier la droite (AB) est tangente à la courbe pour $t = 0$ ; on peut également calculer les coordonnées du vecteur tangent $\vect{t}_0\left(x'(0)~;~y'(0) \right)$ soit $\vect{t}(6~;~0)$ ; or les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$ sont $\vect{\text{AB}}(2~;~0)$ ; $\vect{t_0}$ et $\vect{\text{AB}}$ sont bien colinéaires. \item ~%Tracer la tangente (AB) et la courbe $\mathcal{C}_{1}$ dans le repère donné au début de l'énoncé. \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-3,0)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,0)(2,4) \parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{6 t mul t 3 exp 6 mul add t dup mul 12 mul sub t dup mul 3 mul 1 add} \parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{ t dup mul 4 mul 2 t mul sub 2 sub 2 t mul t dup mul sub} \psdots(0,1)(2,1)(-2,0)(-3,1)(-2.5,0.5)(-1.5,1)(-2,0.75)(0,2)(0,4) \uput[dr](0,1){A}\uput[ur](2,1){B} \uput[u](-2,0){E}\uput[d](-3,1){F} \uput[dl](-2.5,0.5){$M_0$}\uput[d](-1.5,1){$M_1$} \uput[dr](-2,0.75){$R$}\uput[r](0,2){C} \uput[r](0,4){D} \psset{arrowsize=3pt 4} \psline{->}(0,1)(2,1)\psline{->}(0,1)(-3,1) \psline{->}(-2,0)(-3,1)\psline{<->}(-2.5,0.5)(-1.5,1) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Étude géométrique et construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{2}$ \medskip On considère la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ définie par les trois points de définition E$(- 2~;~0)$ ; F$(- 3~;~1)$ et A(0~;~1) dans cet ordre. %\begin{center} %\textbf{Les deux résultats suivants n'ont pas à être démontrés.}\end{center} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] Un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ est : %\[\left\{\begin{array}{l c l c l} %x &=&f_{2}(t) &= &- 2 - 2t + 4t^2\\ %y &=& g_{2}(t) &= & \phantom{-}2t \phantom{- 2t} - t^2\\ % \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}.\] %\item[$\bullet~$] Le tableau de variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant : %\end{itemize} %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(8,7) %\psframe(8,7) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5) %\psline(0,6)(8,6) \psline(2,0)(2,7) %\rput(1,6.5){$t$} \rput(2.15,6.5){$0$}\rput(5,6.5){$\dfrac{1}{4}$} %\rput(7.8,6.5){1} \rput(1,5.5){$f'_{2}(t)$} \rput(2.2,5.5){$-2$} %\rput(3.5,5.5){$-$} \rput(5,5.5){$0$} \rput(6.5,5.5){$+$} \rput(7.8,5.5){$6$} %\rput(1,4){$f_{2}(t)$}\rput(2.3,4.7){$-2$} \rput(5,3.2){$-2,25$}\rput(7.8,4.8){$0$} %\rput(1,2.5){$g'_{2}(t)$}\rput(2.2,2.5){2} \rput(5,2.5){$+$} \rput(7.8,2.5){$0$} %\rput(1,1){$f_{2}(t)$}\rput(2.2,0.2){$0$}\rput(7.8,1.8){$1$} %\psline{->}(2.6,4.7)(4.5,3.3) \psline{->}(5.5,3.3)(7.6,4.7) %\psline{->}(2.4,0.2)(7.7,1.8) %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Construire sur la figure de la partie A le point $M_{0}$ tel que $\vect{\text{E}M_{0}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{EF}}$, le point $M_{1}$ tel que $\vect{\text{F}M_{1}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{FA}}$ et le point $R$ tel que $\vect{M_{0}R} = \dfrac{1}{2}\vect{M_{0}M_{1}}$. Voir la figure plus haut. \item %Calculer les coordonnées des points $M_{0},~ M_{1}$ et $R$. $M_{0}$ est le milieu de [EF], donc $M_{0}(-2,5~;~0,5)$ ; $M_{1}$ est le milieu de [FA], donc $M_{1}(- 1,5~;~1)$ ; $R$ est le milieu de $\left[M_{0}M_{1} \right]$, donc $R(- 2~;~0,75)$. \item %Montrer que le point $R$ est le point de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de paramètre $\dfrac{1}{2}$. Pour $t = \frac{1}{2}$, on a $x = - 2 - 1 + 1 = - 2$ et $y = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ : c'est bien le point R. \item %Montrer que la droite (AF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point A. Le point A correspond à $t = 1$. les coordonnées du vecteur tangent en A à $\mathcal{C}_{2}$ sont $\left(x'(1)~;~y'(1) \right)$ soit (6~;~0) (d'après le tableau de variations) et les coordonnées de $\vect{\text{AF}}$ sont $(- 3~;~0)$ : les vecteurs sont bien colinéaires. \item %Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente au point A. On a vu que le vecteur tangent à $\mathcal{C}_{1}$ en A a pour coordonnées (6~;~0) et que le vecteur tangent à $\mathcal{C}_{2}$ en A a pour coordonnées $(- 3~;~0)$ ; ces vecteurs sont colinéaires donc ces tangentes sont égales. \item %Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la même figure que la courbe $\mathcal{C}_{1}$. Voir ci-dessus en rouge. \end{enumerate} \end{document}