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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{14 mai  2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Éléments de correction du BTS Métropole~\decofourright\\[5pt]14 mai  2018 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}



\textbf{Exercice 1 }


On note $U_n$ le prix en euros du kWh à  l'année $(2015 + n)$. On a donc $U_0 = 0,140$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \colorbox{yellow}{$U_1= U_0+0,06\times U_0= 1,06U_0=0,148$} et  \colorbox{yellow}{$U_2= U_1+0,06\times U_1= 1,06U_1=0,157$}. 
\item La suite $\left(U_n\right)$ est une \colorbox{yellow}{suite géométrique de raison $q=1,06$} dont le premier terme est 

$U_0=0,14$.
\item   Pour calculer les termes de la suite  ($U_n$), il faut saisir la formule  \colorbox{yellow}{$C3=1,06\times C2$}.
\item   \colorbox{yellow}{$U_n=U_0q^n=0,14\times 1,06^n$} 
\item Au 1\up{er} janvier 2024, $n=9$ et  \colorbox{yellow}{$U_9=0,14\times 1,06^9=0,237$}. Donc en 2024, avec ce modèle,  le prix du kWh vaudra  \colorbox{yellow}{0,237 \euro}

\item On cherche $n$ tel que \colorbox{yellow}{$U_n\geqslant 2\times U_0$}, c'est-à-dire $U_0q^n\geqslant 2\times U_0$, ou encore $1,06^n\geqslant 2$, soit \colorbox{yellow}{$n\geqslant 11,78$}, 

Conclusion : \colorbox{yellow}{c'est à partir de 2027 que le prix du kWh sera doublé}. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 }

\bigskip


\begin{center}\textbf{Partie A - \'Etude d'une fonction}\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [15~;~50] par

\[f(t) = \left(20t^2 - 60t - \np{1080}\right)\text{e}^{-0,1t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~50] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Pour tout $t$ de l'intervalle [15~;~50], on a:

$f'(t) = \left(40t - 60\right)\text{e}^{-0,1t}-0,1\left(20t^2 - 60t - \np{1080}\right)\text{e}^{-0,1t}$

\colorbox{yellow}{$f'(t)= \left(-2t^2 +46t + \np{48}\right)\text{e}^{-0,1t}$}

$-2t^2 +46t + \np{48}$ est un polynôme du second degré, il a deux racines $t_1=-1$ et $t_2=24$, donc \colorbox{yellow}{$-2t^2 +46t + \np{48}=-2(t-24)(t+1)$}, comme \colorbox{yellow}{$-2(t-24)=48-2t$}, on a immédiatement : 

\[f'(t) = (48 - 2t)(t + 1)\text{e}^{-0,1t}.\]

\item Sur l'intervalle [15~;~50], $(t + 1)\text{e}^{-0,1t}$ est strictement positif, donc \colorbox{yellow}{le signe de $f'(t)$ est celui de $48-2t$}.

\colorbox{yellow}{Pour tout $t\in [15\ ; \ 24],\ f'(t)\geqslant 0$} et

\colorbox{yellow}{Pour tout $t\in [24\ ; \ 50],\ f'(t)\leqslant 0$}

\item  D'où le tableau de variation de la fonction $f$ sur [15\ ; \ 50]: 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$15$} \uput[u](4,2.4){$24$} \uput[u](6.5,2.4){$50$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(t)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$f(t)$} \uput[u](1.2,0){$\frac{\np{2520}}{\text{e}^{1,5}}$} \uput[d](4,2){$\frac{\np{9000}}{\text{e}^{2,4}}$}
\uput[d](6.5,1.1){$\frac{\np{45900}}{\text{e}^{5}}$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\colorbox{yellow}{Le maximum de $f$}, sur cet intervalle, est égal à \colorbox{yellow}{816}.
\end{enumerate}

\bigskip

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie B - Application de la partie A}
\end{center}

Une société extrait du pétrole d'un gisement. Elle estime que la production annuelle de pétrole
extraite (mesurée en centaines de milliers de barils par an) à  partir de 2015, pourra être modélisée
par la fonction $f$, étudiée à  la partie A, en fonction du temps $t$ (en années) écoulé depuis l'année 2000.


\begin{enumerate}
\item D'après A. 3, la production annuelle de pétrole sera maximale en 2024. 

\colorbox{yellow}{Cette production maximale  vaut \np{816461} barils}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Si la variable $m$ contient la valeur 18 avant l'exécution de cet algorithme, la valeur de la variable \emph{total} à  la fin de son exécution est égale à la somme \colorbox{yellow}{$f(15)+f(16)+f(17)+f(18),$} et elle vaut  \colorbox{yellow}{2570,496}
		\item Dans le contexte de l'énoncé, cet algorithme permet d'estimer la production totale, en barils, entre 2015 et \colorbox{yellow}{2000+18}. 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 }

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles}
\end{center}

On considère les évènements suivants :

$A$ : \og Le microprocesseur provient de l'entreprise A \fg

$D$ : \og Le microprocesseur est défectueux \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé on a :  \colorbox{yellow}{$P(A)=0,55$} et  \colorbox{yellow}{$P_A(D)=0,010$}.
		\item L'énoncé peut être traduit par l'arbre de probabilités pondéré, suivant:
		
		\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\green \small $0,55$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\green \small $0,01$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\red \small $0,99$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=b]{$B=\overline{A}$}\tbput{\red \small $0,45$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$ }\taput{\blue \small 0,015 }
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\blue \small 0,985}
}
}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item  \colorbox{yellow}{$P(A \cap D)= P(A)\times P_A(D)=0,55\times 0,01=0,0055$} et 

\colorbox{yellow}{$P\left(\overline{A} \cap D\right)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(D)=0,45\times 0,015= 0,00675 $}.
\item La probabilité de prélever un microprocesseur défectueux est :

\colorbox{yellow}{$P(D)= P(A \cap D)+P\left(\overline{A} \cap D\right)=0,0055+ 0,00675$}  soit  \np{0,01225}.
\item La probabilité que le microprocesseur provienne de l'entreprise B sachant qu'il est défectueux est \colorbox{yellow}{$P_D(B)= P_D(\overline{A})= \dfrac{P\left(\overline{A} \cap D\right)}{P(D)}=\dfrac{0,00675}{0,01225}\approx 0,551$}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B - Loi normale}
\end{center}

On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne \np{8000} et d'écart type $100$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \colorbox{yellow}{$P(Y \leqslant \np{8150})=0,93$}. 

Interprétation : Pour une journée choisie au hasard, la probabilité qu'il y ait au plus 8150 demandes de téléphone portables est 0,93.
\item \colorbox{yellow}{$P( \np{7950}\leqslant Y\leqslant \np{8050}=0,38$}.
\item $Y$ suit une loi normale de moyenne $\mu = \np{8000}$ et d'écart type $\sigma =100$

$7800 = \mu -2\sigma $ et $8200=\mu+2\sigma$, d'après la règle empirique 

\colorbox{yellow}{$P(\mu -2\sigma\leqslant Y\leqslant\mu +2\sigma) \approx 0,95$}

Donc, sans utiliser la calculatrice ,
$P(\np{7800} \leqslant Y \leqslant \np{8200})$ est, à $10^{-2}$ près, $0,95$.
\end{enumerate}
\end{document}