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% Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}

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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Polynésie - corrigé}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur -- Polynésie~\decofourright\\[7pt]14 mai 2024 - Comptabilité et gestion
%\footnote{Candidats libres ou d'établissement privé hors contrat}
}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise, spécialisée dans la fabrication de desserts fruités, souhaite créer deux nouvelles compotes inédites:  l'une à la saveur banane/cannelle, et
l'autre à la saveur poire/fève de tonka.

Pour ces deux préparations, elle achète les fruits (bananes et poires) auprès de deux grossistes : le premier s'appelle \og au bon fruit \fg. 

\begin{list}{\textbullet}{À l'issue des achats, on observe les répartitions suivantes:}
\item 36\,\% des fruits proviennent de chez \og au bon fruit \fg.
\item Parmi les fruits achetés chez le grossiste \og au bon fruit\fg, 30\,\% sont des
bananes.
\item Un cinquième des fruits achetés chez le second grossiste sont des poires.
\end{list}

On choisit un fruit au hasard et on suppose que tous les fruits ont la même probabilité d'être choisis.

On considère les évènements suivants:
$A$ : \og Le fruit provient de chez au bon fruit\fg, et
 $B$ : \og Le fruit est une banane \fg.


%On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les fruits achetés chez le grossiste \og au bon fruit\fg, 30\,\% sont des
bananes, donc $P_A(B)=0,30$.

\item On complète l'arbre de probabilité résumant la situation.

\begin{center}
%\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.2cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,36$}}
 	  { 
 		  \TR{$B$}\naput{$0,30$}
 		  \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,30=0,70$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,36=0,64$}}
 	  {
 		  \TR{$B$}\naput{\blue $1-0,20=0,80$}
          \TR{$\overline{B}$}\nbput{$0,20$} 
     }
}
%\bigskip
\end{center}

\item La probabilité que le fruit provienne de chez \og au bon fruit\fg et soit une banane est:\\
$P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)= 0,36 \times 0,3 = 0,108$.

\item% Justifier, en détaillant les calculs, que $P(B) = 0,62$.
D'après la formule des probabilités totales:\\
$P(B)= P(A\cap B) + P\left (\overline{A}\cap B \right )= 0,108 + 0,64\times 0,80 = 0,62$.

\item Sachant que le fruit est une banane,  la probabilité qu'elle provienne de chez \og au bon fruit\fg est:
$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,108}{0,62}\approx \np{0,1742}$.

%Arrondir le résultat à \np{0,0001} près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le cadre d'un contrôle qualité, \np{1000} pots sont prélevés au hasard dans la production de compote banane/cannelle et poire/fève de tonka.
Ce tirage est assimilé à un tirage avec remise car le nombre de pots de compote est très grand.
On suppose que la probabilité que la saveur du pot soit poire/fève de tonka est de $0,38$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui, dans le lot de \np{1000} pots, associe le nombre de pots saveur poire/fève de tonka.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
L'expérience consiste à tester la saveur d'un pot prélevé au hasard; il y a deux issues possibles: la saveur est poire/fève de tonka, avec une probabilité $p=0,38$, ou la saveur est autre.

Ce tirage des \np{1000} pots est assimilé à un tirage avec remise car le nombre de pots de compote est très grand donc on est dans le cas d'une répétition de \np{1000} épreuves identiques et indépendantes.

Donc la variable aléatoire $X$ qui, dans le lot de \np{1000} pots, associe le nombre de pots saveur poire/fève de tonka, suit la loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,38$.

\item La probabilité d'obtenir dans le lot exactement $350$ pots saveur poire/fève de tonka est: $P(X=350) \approx \np{0,0038}$.

%Arrondir la probabilité à \np{0,0001} près.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P(X \leqslant 400)$. Arrondir la probabilité à \np{0,0001} près.
À l'aide de la calculatrice, on trouve: $P(X \leqslant 400)\approx \np{0,9088}$.

		\item %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On peut donc dire qu'il y a environ 91\,\% de chances que, dans un lot de \np{1000} pots prélevés au hasard, il y en ait au plus 400 de saveur poire/fève de tonka.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise s'intéresse au remplissage de ses pots de compote.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque pot prélevé dans la production, associe la quantité de compote qu'il contient, exprimée en gramme.
On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Interpréter dans le contexte de l'exercice la valeur de l'espérance.
L'espérance est égale à 90, cela signifie que la quantité moyenne de compote dans un pot est de 90~g.

\item La probabilité que le pot contienne 87~g de compote ou moins est:\\
$P(0 \leqslant Y\leqslant 87) \approx  0,0668$.

%Arrondir la probabilité à \np{0,0001} près.

\item On estime qu'un pot de compote est conforme lorsque la quantité qu'il contient
est comprise entre 85~g et 95~g.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que le pot soit non conforme. Arrondir la probabilité à \np{0,0001} près.
La probabilité que le pot soit non conforme est: $1- P(85 \leqslant Y \leqslant 95) \approx  \np{0,0124}$.

		\item L'entreprise a produit \np{550000} pots. On estime que 1,2\,\% des pots ne sont pas conformes. 

Le nombre de pots non conformes est donc estimé à:
$\np{550000} \times \dfrac{1,2}{100} = \np{6600}$.

		\item L'entreprise décide de faire don des pots qui ne sont pas conformes à une organisation caritative. Un pot est normalement vendu 0,30~\euro.
		
Le montant du don est estimé à $\np{6600}\times 0,30$ soit \np{1980}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise d'évènementiel vient de créer une application destinée aux particuliers.
Le 1\ier{} septembre 2022, elle envoie une invitation à télécharger l'application à tout son réseau.
Chaque mois, elle note le nombre de personnes ayant téléchargé l'application. Les cinq premiers mois sont répertoriés dans le tableau ci-dessous. Le rang 0 correspond au mois de septembre 2022.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois &Sept. 2022 &Oct. 2022&Nov. 2022&Déc. 2022&Janv. 2023\\ \hline
Rang du mois $(x_i)$& 0&1&2&3&4\\ \hline
Nombre de téléchargements $(y_i)$&122& 155&180&207 &250\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%La calculatrice est nécessaire pour la plupart des calculs demandés.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve un ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ selon la méthode des moindres carrés: 
$y = 30,8x + 121,2$.

%On donnera les valeurs exactes des coefficients de l'équation de la droite.

\item Dans cette question, on suppose que la droite d'ajustement est donnée par l'équation $y = 31x + 121$.

%Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le nombre de téléchargements en mars 2023.
Mars 2023 correspond au rang 6.

$31\times 6 +121 = 307$ donc le nombre de téléchargements en mars 2023 peut être estimé à 307.
		
		\item% Déterminer pour quel mois le nombre de téléchargements mensuels sera de $400$.
Le nombre de téléchargements mensuels sera au moins de $400$ pour un rang $x$ tel que $31x + 121 \geqslant 400$. On résout cette inéquation.

$31x + 121 \geqslant 400
\iff 31x \geqslant 400 - 121
\iff 31x \geqslant 279
\iff x \geqslant \dfrac{279}{31}
\iff x \geqslant 9$

Le rang 9 correspond à juin 2023, c'est donc à partir de juin 2023 que le nombre de téléchargements mensuels sera de $400$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En réalité, le nombre de téléchargements effectués jusqu'à la fin du mois de rang 8 est
donné dans la feuille de calcul ci-dessous.
La ligne 3 est au format pourcentage (arrondi au dixième).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\cellcolor{lightgray}} c|>{\small}m{2.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}	&A 						&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J\\ \hline
1	&Rang du mois $(x_i)$	& 0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
2	& Nombre de téléchargements $(y_i)$& 122& 155& 180& 207& 250 &313 &398 &521 &663 \\ \hline
3 	&Taux d'évolution mensuel&\cellcolor[gray]{0.8} &		&16,1\,\%& 15,0\,\%& 20,8\,\%& 25,2\,\%& 27,2\,\%& 30,9\,\%& 27,3\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La formule qui, saisie dans la cellule C3, permet d'obtenir par recopie vers la droite les différents taux d'évolution mensuels est:
		\fbox{\ttfamily = (C2 - B2) / B2}
		
		\item La valeur de la cellule C3, arrondie à 0,1\,\% près, est alors $27,0\,\%$.
	\end{enumerate}
	
\item %Justifier que le taux d'évolution global du nombre de téléchargements entre le mois de rang 4 et le mois de rang 8 est d'environ 165\,\%.
Le nombre de téléchargements le mois de rang 4 est 250, et le nombre de téléchargements le mois de rang 8 est 663. 

$\dfrac{663-250}{250} = 1,652$ ce qui fait une augmentation de $165,2$\,\% soit environ 165\,\%.
 
\item %En déduire le taux d'évolution mensuel moyen du nombre de téléchargements entre le mois de rang 4 et le mois de rang 8. Arrondir à 0,1\,\% près.
\begin{list}{\textbullet}{Rappels}
\item Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $k=1+\dfrac{t}{100}$.
\item $k=1+\dfrac{t}{100} \iff k-1 = \dfrac{t}{100} \iff 100(k-1)=t$
\item Si on a un coefficient multiplicateur de $k>1$, cela correspond donc à une augmentation de $t\,\%$ avec $t=100(k-1)$
\end{list}

Le coefficient multiplicateur pour passer du rang 4 au rang 8 est $\dfrac{663}{250}$ soit $2,652$. 

Il y a 4 rangs d'écart donc le coefficient multiplicateur moyen annuel est\\
$\sqrt[4]{2,652} = 2,652^{\frac{1}{4}} \approx 1,276$. 

$100(1,276-1)= 27,6$ donc le coefficient moyen de $1,276$ correspond à une augmentation moyenne de $27,6\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour estimer le nombre de téléchargements à partir du mois de mai 2023, on fait l'hypothèse d'un taux d'évolution mensuel constant de 30\,\%.
On note $u_n$ le nombre de téléchargements mensuels estimé au cours du $n$-ième mois après le mois de mai 2023.
Le nombre de téléchargements au mois de mai 2023 est $u_0 = 663$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_0+u_0\times \dfrac{30}{100} = 663+663\times \dfrac{30}{100} = 861,9$ donc $u_1=862$.

\item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
Ajouter 30\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{30}{100}$, soit $1,3$.

La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0=663$ et de raison $q=1,3$.
%Justifier la réponse et préciser la raison.

\item% Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, on a:
$u_n=u_0\times q^n = 663 \times 1,3^{n}$.

\item Mai 2023 correspond au rang 8 et à $n=0$. \\
Janvier 2024 correspond au rang 16, donc à $n=8$.

$663 \times 1,3^{8} \approx \np{5408,4}$ donc $u_8=\np{5408}$

Donc selon ce modèle, le nombre de téléchargements que l'entreprise peut espérer en mai 2024 est de \np{5408}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'entreprise prévoit de participer à un challenge de l'innovation numérique
qui récompense les applications dès que le nombre de téléchargements dépasse les \np{100000} téléchargements mensuels.

On complète l'algorithme pour qu'après exécution, la variable $N$ contienne le nombre de mois après mai 2023 à partir duquel l'entreprise pourra candidater au challenge, selon ce modèle.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$N \gets 0$\\
$U \gets 663$\\
Tant que $\blue U \leqslant \np{100000}$\\
\qquad $N \gets \blue N+1$\\
\qquad $U \gets  1,3*U$\\
Fin Tant que\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Pour déterminer le nombre de mois après mai 2023 à partir duquel l'entreprise pourra candidater au challenge, selon ce modèle, il faut chercher le plus petit entier $n$ tel que $u_n > \np{100000}$.

\begin{list}{\textbullet}{Deux méthodes}
\item En programmant la fonction $x \longmapsto 663\times 1
,3^x$ sur la calculatrice, et en faisant afficher la table de valeurs avec un pas égal à 1, on trouve pour $u_{19}=\np{96925}$ et $u_{20} = \np{126003}$. Donc le nombre de mois cherché est 20.

\item On peut aussi résoudre l'inéquation: $u_n > \np{100000}$.

$\begin{aligned}[t]
u_n > \np{100000} &
\iff 663\times 1,3^{n} > \np{100000} 
\iff 1,3^{n} > \dfrac{\np{100000}}{663}\\
& \iff \ln\left (1,3^{n}\right ) > \ln\left (\dfrac{\np{100000}}{663}\right )
\iff n\times \ln\left (1,3\right ) > \ln\left (\dfrac{\np{100000}}{663}\right )\\
& \iff n  > \dfrac{\ln\left (\frac{\np{100000}}{663}\right )}{\ln\left (1,3\right )}
\end{aligned}$	

$\dfrac{\ln\left (\frac{\np{100000}}{663}\right )}{\ln\left (1,3\right )}\approx19,12 $ donc la valeur cherchée est bien 20.
\end{list}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
