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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie 9 novembre 2015}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Corrigé du brevet de technicien supérieur session 2015\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\begin{center}
%\emph{Un formulaire est donné en fin d'exercice.}
%\medskip

\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip

%Le tableau ci-dessous présente la production électrique des panneaux photovoltaïque en France sur la période 2006-2013.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Années 					&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013\\ \hline
%Rang de l'année : $x_i$	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
%Production en MW : $y_i$&5 		&12 	&48 	&200 	&808 	&\np{2321} &\np{3126} &\np{3731}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Le nuage de point associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est présenté en annexe 1.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$, arrondi à $10^{-2}$.
La calculatrice donne $r \approx 0,93$ au centième près.
%Au vu du nuage de points, on renonce à un ajustement affine et on effectue le changement de variable $z_i = \ln \left(y_i\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter le tableau suivant dans lequel on fera figurer les valeurs approchées de $z_i$ arrondies à $10^{-2}$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_i$		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
 $z_i = \ln\left(y_i\right)$&1,61 	&2,48 	&3,87 	&5,30 	&6,69 	&7,75 	&8,05 	&8,22\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		

		\item %Déterminer à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire $R$ de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$, arrondi à $10^{-2}$.
La calculatrice donne $R \approx 0,98$ au centième près.		
		\item %Les valeurs des deux coefficients de corrélation $r$ et $R$ calculés précédemment justifient-elles le changement de variable effectué ? Expliquer.
		$R$ est plus proche de 1 que $r$ : le changement de variable est justifié.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer à l'aide d'une calculatrice, l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$.
On obtient $z = 1,04x + 0,83$.
		\item %En supposant que cette évolution se poursuive, et en utilisant la droite de régression de $z$ en $x$, déduire une estimation, arrondie à l'unité, de la production électrique française provenant du photovoltaïque, en MW, pour l'année 2016.
2016 correspond au rang 11 ; on obtient donc avec l'approximation affine $z = 1,04 \times 11 + 0,83 = 12,27$.

Comme $z = \ln y \iff y = \text{e}^z = \text{e}^{12,25}$ soit $y \approx \np{213203}$ : ce nombre paraît exagéré.
	\end{enumerate}
\item %On admettra que l'expression de $y$ en $x$ est de la forme : $y = 2,29 \text{e}^{1,04x}$.
	
%Afin de vérifier si ce modèle permet d'ajuster au mieux le nuage de points, on choisit donc d'étudier la fonction $f$ définie sur [1~;~8,5] par : 
%	
%	\[f(x) = 2,29\text{e}^{1,04x}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$, où $f'$ est la dérivée de $f$ sur [1~;~8,5].
Sur [1~;~8,5], \: $f'(x) = 2,29\times 1,04 \text{e}^{1,04x} = \np{2,3816}\text{e}^{1,04x}$.
		\item %En déduire le tableau de variation de $f$ sur [1~;~8,5]. On complètera ce tableau en donnant une valeur approchée à l'unité près des valeurs extrêmes.
$f'(x)$ est le produit de deux nombres supérieurs à zéro, donc $f'(x) > $ : la fonction $f$ est strictement croissante de $f(1) = 2,29\text{e}^{1,04} \approx 6,48$ (6 à l'unité près) à 
$f(8,5) \approx \np{15812,4}$ \:(\np{15812} à l'unité près).
		\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs sont à arrondir à l'unité. Tracer ensuite la courbe correspondante dans le repère fourni de l'annexe 1.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&3	&4		&5		&6			&7			&8			&8,5\\ \hline
$f(x)$	&52	&147	&415	&\np{1174}	&\np{3323}	&\np{9401}	&\np{15812}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		
	\end{enumerate}
\item %Au vu de votre courbe, cet ajustement vous paraît-il finalement satisfaisant ? Justifier.
La courbe paraît correcte jusqu'à 7 (avec une exception pour $x = 6$), mais ensuite l'accroissement paraît beaucoup trop rapide. Cela n'est pas satisfaisant.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

%On décide de d'utiliser une fonction polynomiale $g$ permettant d'effectuer un autre ajustement de ce nuage de points.
%
%\smallskip
%
%Plus précisément, on définit la fonction $g$ sur [1~;~11] par : 

\[g(x) = 84x^2 - 168x + 85.\]

%Le tracé de $\mathcal{C}_g$, courbe représentative de la fonction $g$, ainsi que le nuage de points de la série statistique $(x~;~y)$ précédemment étudiée sont donnés en annexe 2.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Au vu de ce tracé, cet ajustement vous semble-t-il meilleur que le précédent ? Justifier.
L'ajustement est ici beaucoup plus satisfaisant.
\item %Soit $G$ la fonction définie sur [1~;~11] par : 

%\[G(x) = 28x^3 - 84x^2 + 85x.\]

%Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~11].
La fonction est dérivable sur [1~;~11] et sur cet intervalle :

$G'(x) = 3 \times 28x^2 - 2\times 84x + 85 = 84x^2 - 168x + 85 = g(x)$. Ceci montre que $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~11].
\item  %On note : $I = \displaystyle\int_1^{11} g(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la valeur exacte de $I$ est \np{28010}.
$I = \displaystyle\int_1^{11} g(x)\:\text{d}x = [G(x)]_1^{11} = G(11) - G(1) = \left[28\times 11^3 - 84\times 11^2 + 85\times 11 \right] - \left[28\times 1^3 - 84\times 1^2 + 85\times 1 \right] = \np{28039} - 29 = \np{28010}$.
		\item %En déduire, $V_m$, la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~11].
On sait que $V_m = \dfrac{1}{11 - 1}\displaystyle\int_1^{11} g(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{10}I = \np{2801}$.
		\item %Interpréter cette valeur moyenne en terme de production électrique photovoltaïque lorsque ce modèle est utilisé.
Le résultat précédent montre que la production moyenne par année de la première à la onzième année est de \np{2801}~MW.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\begin{center}	
%\textbf{Formulaire}
%\end{center}
%
%Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$, et on a
%
%\[\left(\text{e}^u\right)' = u'\text{e}^u.\]
%
%Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$. La valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur $[a~;~b]$ est :
%
%\[m = \dfrac{1}{b - a} \times \displaystyle\int_a^b  f(t)\:\text{d}t.\]

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

%Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

\begin{center}	
\textbf{Partie A - Fiabilité d'un alcootest}
\end{center}

%Un laboratoire a mis au point un nouvel alcootest. On sait que 2\,\% des personnes contrôlées par la police sont réellement en état d'ébriété.
%
%Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] lorsqu'une personne est réellement en état d'ébriété, 95 fois sur 100 l'alcootest se révèle positif;
%\item[$\bullet~~$] lorsqu'une personne n'est pas en état d'ébriété, 96 fois sur 100 l'alcootest se révèle négatif.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit au hasard une personne contrôlée par la police.
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $E$ : \og la personne contrôlée est en état d'ébriété\fg
%\item[$\bullet~~$] $A$ : \og l'alcootest est positif \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Déduire des informations figurant dans l'énoncé : $P(E)\: ;\: P_E(A)\: ;\: P_E\left(\overline{A}\right)$.
On peut dresser l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$}\naput{0,02}}
	{\TR{$A$}\naput{0,95}
	\TR{$\overline{A}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E}$}\nbput{0,98}}
	{\TR{$A$}\naput{}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,96}
	}	
}
\end{center}

On a donc : $P(E) =  0,02 \:;\: P_E(A) = 0,95$  et  $P_E\left(\overline{A}\right) = 1 - 0,95 = 0,05$.
\item %Calculer $P(E \cap A)$ et $P\left(\overline{E} \cap A\right)$.
$\bullet~~$$P(E \cap A) = p(E) \times P_E(A) = 0,02 \times 0,95 = 0,019$.

$\bullet~~$$P\left(\overline{E} \cap A\right) = P\left(\overline{E}\right) \times P_{\overline{E}}(A) = (1 - 0,02) \times  (1 - 0,96) = 0,98 \times 0,04 = \np{0,0392}$.
\item %Déduire de ce qui précède la valeur de $P(A)$.
D'après la loi des probabilités totales :

$P(A) = P(E \cap A)  + P\left(\overline{E} \cap A\right) = 0,019 + \np{0,0392} = \np{0,0582}$.
\item %Calculer la probabilité qu'une personne soit réellement en état d'ébriété lorsque l'alcootest est positif.
Il faut trouver $P_{A}(E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(A)} = \dfrac{0,019}{\np{0,0582}} \approx \np{0,3265}$ à $10^{-4}$ près.
%Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\begin{center}	
\textbf{Partie B - Un rendez-vous}
\end{center}

%Monsieur Théo Raime et Madame Anna Grahm se donnent rendez-vous entre 12~h et 13~h. Proche du lieu fixé, M. Raime arrivera à 12~h~30. Quant à M\up{me} Grahm, son arrivée dépend des conditions de circulation ; elle arrivera entre 12~h et 13~h.
%
%On admet que la variable aléatoire $H$ prenant pour valeur l'heure d'arrivée de M\up{me} Grahm suit la loi uniforme sur l'intervalle [12~;~13].
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que M\up{me} Grahm arrive avant M. Raime.
La loi est uniforme sur un intervalle de 1 h. La probabilité que M\up{me} Grahm arrive avant M. Raime est la probabilité qu'elle arrive entre 12 h  et 12 h 30, soit :

$P(12 \leqslant H \leqslant 12,5) = \dfrac{12,5 - 12}{1} = 0,5$.
\item %Calculer la probabilité que M. Raime attende M\up{me} Grahm plus de 15 minutes.
M. Raime attendra M\up{me} Grahm plus de 15 minutes, si celle-ci arrive après 12 h 45, soit :

$P(12,75 \leqslant H \leqslant 13) = \dfrac{13 - 12,75}{1} = 0,25$. 
\end{enumerate}

\begin{center}	
\textbf{Partie C - Traversée d'une ville}
\end{center}

%Pour rentrer chez lui en fin d'après midi, M. Raime doit traverser la ville.
%
%On admet que, pour un véhicule choisi au hasard, la variable aléatoire $T$ prenant pour valeur le temps nécessaire (en minutes) pour traverser la ville suit la loi normale de moyenne 25 minutes et d'écart-type 4 minutes.
%
%Quelle est la probabilité que M. Raime mette moins de 30~minutes pour traverser la ville ?
Il faut trouver $P(0 < T < 30)$ ; la calculatrice donne $0,894$.
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1- EXERCICE 1 Partie A (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}
\psset{yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-500)(11.5,16400)
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\multido{\n=2000+2000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](1,5)(2,12)(3,48)(4,200)(5,808)(6,2321)(7,3126)(8,3731)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{8.5}{2.29 2.71828 1.04 x mul exp mul}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{\large ANNEXE 2 - EXERCICE 1 Partie B}

\vspace{1cm}

\psset{yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-500)(11.5,10400)
\multido{\n=0.0+0.5}{24}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,10400)}
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\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=16000](0,0)(11.5,10400)
\multido{\n=0+2000}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](1,5)(2,12)(3,48)(4,200)(5,808)(6,2321)(7,3126)(8,3731)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{x dup mul 84 mul 168 x mul sub 85 add}
\uput[r](10.6,7800){$\blue \mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\bigskip
\end{center}
\end{document}