\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du BTS CGO}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie 9 novembre 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} } \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie 9 novembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{Corrigé du brevet de technicien supérieur session 2015\\ Comptabilité et gestion des organisations\\ Nouvelle--Calédonie}} \medskip \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \begin{center} %\emph{Un formulaire est donné en fin d'exercice.} %\medskip \textbf{Partie A} \end{center} \medskip %Le tableau ci-dessous présente la production électrique des panneaux photovoltaïque en France sur la période 2006-2013. % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Années &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline %Rang de l'année : $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline %Production en MW : $y_i$&5 &12 &48 &200 &808 &\np{2321} &\np{3126} &\np{3731}\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %Le nuage de point associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est présenté en annexe 1. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$, arrondi à $10^{-2}$. La calculatrice donne $r \approx 0,93$ au centième près. %Au vu du nuage de points, on renonce à un ajustement affine et on effectue le changement de variable $z_i = \ln \left(y_i\right)$. \item \begin{enumerate} \item %Reproduire et compléter le tableau suivant dans lequel on fera figurer les valeurs approchées de $z_i$ arrondies à $10^{-2}$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $z_i = \ln\left(y_i\right)$&1,61 &2,48 &3,87 &5,30 &6,69 &7,75 &8,05 &8,22\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Déterminer à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire $R$ de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$, arrondi à $10^{-2}$. La calculatrice donne $R \approx 0,98$ au centième près. \item %Les valeurs des deux coefficients de corrélation $r$ et $R$ calculés précédemment justifient-elles le changement de variable effectué ? Expliquer. $R$ est plus proche de 1 que $r$ : le changement de variable est justifié. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer à l'aide d'une calculatrice, l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$. On obtient $z = 1,04x + 0,83$. \item %En supposant que cette évolution se poursuive, et en utilisant la droite de régression de $z$ en $x$, déduire une estimation, arrondie à l'unité, de la production électrique française provenant du photovoltaïque, en MW, pour l'année 2016. 2016 correspond au rang 11 ; on obtient donc avec l'approximation affine $z = 1,04 \times 11 + 0,83 = 12,27$. Comme $z = \ln y \iff y = \text{e}^z = \text{e}^{12,25}$ soit $y \approx \np{213203}$ : ce nombre paraît exagéré. \end{enumerate} \item %On admettra que l'expression de $y$ en $x$ est de la forme : $y = 2,29 \text{e}^{1,04x}$. %Afin de vérifier si ce modèle permet d'ajuster au mieux le nuage de points, on choisit donc d'étudier la fonction $f$ définie sur [1~;~8,5] par : % % \[f(x) = 2,29\text{e}^{1,04x}.\] \begin{enumerate} \item %Calculer $f'(x)$, où $f'$ est la dérivée de $f$ sur [1~;~8,5]. Sur [1~;~8,5], \: $f'(x) = 2,29\times 1,04 \text{e}^{1,04x} = \np{2,3816}\text{e}^{1,04x}$. \item %En déduire le tableau de variation de $f$ sur [1~;~8,5]. On complètera ce tableau en donnant une valeur approchée à l'unité près des valeurs extrêmes. $f'(x)$ est le produit de deux nombres supérieurs à zéro, donc $f'(x) > $ : la fonction $f$ est strictement croissante de $f(1) = 2,29\text{e}^{1,04} \approx 6,48$ (6 à l'unité près) à $f(8,5) \approx \np{15812,4}$ \:(\np{15812} à l'unité près). \item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs sont à arrondir à l'unité. Tracer ensuite la courbe correspondante dans le repère fourni de l'annexe 1. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &8,5\\ \hline $f(x)$ &52 &147 &415 &\np{1174} &\np{3323} &\np{9401} &\np{15812}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item %Au vu de votre courbe, cet ajustement vous paraît-il finalement satisfaisant ? Justifier. La courbe paraît correcte jusqu'à 7 (avec une exception pour $x = 6$), mais ensuite l'accroissement paraît beaucoup trop rapide. Cela n'est pas satisfaisant. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} %On décide de d'utiliser une fonction polynomiale $g$ permettant d'effectuer un autre ajustement de ce nuage de points. % %\smallskip % %Plus précisément, on définit la fonction $g$ sur [1~;~11] par : \[g(x) = 84x^2 - 168x + 85.\] %Le tracé de $\mathcal{C}_g$, courbe représentative de la fonction $g$, ainsi que le nuage de points de la série statistique $(x~;~y)$ précédemment étudiée sont donnés en annexe 2. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Au vu de ce tracé, cet ajustement vous semble-t-il meilleur que le précédent ? Justifier. L'ajustement est ici beaucoup plus satisfaisant. \item %Soit $G$ la fonction définie sur [1~;~11] par : %\[G(x) = 28x^3 - 84x^2 + 85x.\] %Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~11]. La fonction est dérivable sur [1~;~11] et sur cet intervalle : $G'(x) = 3 \times 28x^2 - 2\times 84x + 85 = 84x^2 - 168x + 85 = g(x)$. Ceci montre que $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~11]. \item %On note : $I = \displaystyle\int_1^{11} g(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la valeur exacte de $I$ est \np{28010}. $I = \displaystyle\int_1^{11} g(x)\:\text{d}x = [G(x)]_1^{11} = G(11) - G(1) = \left[28\times 11^3 - 84\times 11^2 + 85\times 11 \right] - \left[28\times 1^3 - 84\times 1^2 + 85\times 1 \right] = \np{28039} - 29 = \np{28010}$. \item %En déduire, $V_m$, la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~11]. On sait que $V_m = \dfrac{1}{11 - 1}\displaystyle\int_1^{11} g(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{10}I = \np{2801}$. \item %Interpréter cette valeur moyenne en terme de production électrique photovoltaïque lorsque ce modèle est utilisé. Le résultat précédent montre que la production moyenne par année de la première à la onzième année est de \np{2801}~MW. \end{enumerate} \end{enumerate} %\begin{center} %\textbf{Formulaire} %\end{center} % %Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$, et on a % %\[\left(\text{e}^u\right)' = u'\text{e}^u.\] % %Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$. La valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur $[a~;~b]$ est : % %\[m = \dfrac{1}{b - a} \times \displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t.\] \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip %Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante \begin{center} \textbf{Partie A - Fiabilité d'un alcootest} \end{center} %Un laboratoire a mis au point un nouvel alcootest. On sait que 2\,\% des personnes contrôlées par la police sont réellement en état d'ébriété. % %Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants : % %\setlength\parindent{8mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] lorsqu'une personne est réellement en état d'ébriété, 95 fois sur 100 l'alcootest se révèle positif; %\item[$\bullet~~$] lorsqu'une personne n'est pas en état d'ébriété, 96 fois sur 100 l'alcootest se révèle négatif. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On choisit au hasard une personne contrôlée par la police. %On considère les évènements suivants : % %\setlength\parindent{8mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $E$ : \og la personne contrôlée est en état d'ébriété\fg %\item[$\bullet~~$] $A$ : \og l'alcootest est positif \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item ~%Déduire des informations figurant dans l'énoncé : $P(E)\: ;\: P_E(A)\: ;\: P_E\left(\overline{A}\right)$. On peut dresser l'arbre pondéré suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$E$}\naput{0,02}} {\TR{$A$}\naput{0,95} \TR{$\overline{A}$} } \pstree{\TR{$\overline{E}$}\nbput{0,98}} {\TR{$A$}\naput{} \TR{$\overline{A}$}\nbput{0,96} } } \end{center} On a donc : $P(E) = 0,02 \:;\: P_E(A) = 0,95$ et $P_E\left(\overline{A}\right) = 1 - 0,95 = 0,05$. \item %Calculer $P(E \cap A)$ et $P\left(\overline{E} \cap A\right)$. $\bullet~~$$P(E \cap A) = p(E) \times P_E(A) = 0,02 \times 0,95 = 0,019$. $\bullet~~$$P\left(\overline{E} \cap A\right) = P\left(\overline{E}\right) \times P_{\overline{E}}(A) = (1 - 0,02) \times (1 - 0,96) = 0,98 \times 0,04 = \np{0,0392}$. \item %Déduire de ce qui précède la valeur de $P(A)$. D'après la loi des probabilités totales : $P(A) = P(E \cap A) + P\left(\overline{E} \cap A\right) = 0,019 + \np{0,0392} = \np{0,0582}$. \item %Calculer la probabilité qu'une personne soit réellement en état d'ébriété lorsque l'alcootest est positif. Il faut trouver $P_{A}(E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(A)} = \dfrac{0,019}{\np{0,0582}} \approx \np{0,3265}$ à $10^{-4}$ près. %Arrondir le résultat à $10^{-4}$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B - Un rendez-vous} \end{center} %Monsieur Théo Raime et Madame Anna Grahm se donnent rendez-vous entre 12~h et 13~h. Proche du lieu fixé, M. Raime arrivera à 12~h~30. Quant à M\up{me} Grahm, son arrivée dépend des conditions de circulation ; elle arrivera entre 12~h et 13~h. % %On admet que la variable aléatoire $H$ prenant pour valeur l'heure d'arrivée de M\up{me} Grahm suit la loi uniforme sur l'intervalle [12~;~13]. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité que M\up{me} Grahm arrive avant M. Raime. La loi est uniforme sur un intervalle de 1 h. La probabilité que M\up{me} Grahm arrive avant M. Raime est la probabilité qu'elle arrive entre 12 h et 12 h 30, soit : $P(12 \leqslant H \leqslant 12,5) = \dfrac{12,5 - 12}{1} = 0,5$. \item %Calculer la probabilité que M. Raime attende M\up{me} Grahm plus de 15 minutes. M. Raime attendra M\up{me} Grahm plus de 15 minutes, si celle-ci arrive après 12 h 45, soit : $P(12,75 \leqslant H \leqslant 13) = \dfrac{13 - 12,75}{1} = 0,25$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C - Traversée d'une ville} \end{center} %Pour rentrer chez lui en fin d'après midi, M. Raime doit traverser la ville. % %On admet que, pour un véhicule choisi au hasard, la variable aléatoire $T$ prenant pour valeur le temps nécessaire (en minutes) pour traverser la ville suit la loi normale de moyenne 25 minutes et d'écart-type 4 minutes. % %Quelle est la probabilité que M. Raime mette moins de 30~minutes pour traverser la ville ? Il faut trouver $P(0 < T < 30)$ ; la calculatrice donne $0,894$. \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1- EXERCICE 1 Partie A (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \psset{yunit=0.0005cm} \begin{pspicture}(-0.5,-500)(11.5,16400) \multido{\n=0.0+0.5}{24}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,16400)} \multido{\n=0+1000}{17}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=lightgray](0,\n)(11.6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=16000](0,0)(11.5,16400) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=16000](0,0)(11.5,16400) \multido{\n=2000+2000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](1,5)(2,12)(3,48)(4,200)(5,808)(6,2321)(7,3126)(8,3731) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{8.5}{2.29 2.71828 1.04 x mul exp mul} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{\large ANNEXE 2 - EXERCICE 1 Partie B} \vspace{1cm} \psset{yunit=0.0005cm} \begin{pspicture}(-0.5,-500)(11.5,10400) \multido{\n=0.0+0.5}{24}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,10400)} \multido{\n=0+1000}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=lightgray](0,\n)(11.6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=16000](0,0)(11.5,10400) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=16000](0,0)(11.5,10400) \multido{\n=0+2000}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](1,5)(2,12)(3,48)(4,200)(5,808)(6,2321)(7,3126)(8,3731) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{x dup mul 84 mul 168 x mul sub 85 add} \uput[r](10.6,7800){$\blue \mathcal{C}_g$} \end{pspicture} \bigskip \end{center} \end{document}