\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{tabularx,makecell} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} %\renewcommand\footrulewidth{0pt} %\renewcommand{\headwidth}{\textwidth} \pagestyle{fancy} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{enumitem,graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Groupement C1 - corrigé}} \rfoot{\small{16 mai 2025}} \renewcommand{\headwidth}{\textwidth} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty}\thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Corrigé du BTS Groupement C1 %\footnote{Conception des processus de découpe et d'emboutissage %Conception des processus de réalisation de produits (2 options) %Conception et réalisation en chaudronnerie industrielle %Conception et industrialisation en construction navale %Développement et réalisation bois %Fonderie %Forge %Innovation textile (2 options) %Maintenance des matériels de construction et de manutention %Maintenance des systèmes (4 options) %Maintenance des véhicules %Motorisations toutes énergies %Pilotage des procédés %Systèmes constructifs bois et habitat %Techniques et services en matériels agricoles} -- 16 mai 2025~\decofourright}\\ \end{center} %\bigskip % %\textbf{Matériel autorisé:} % %L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. % %L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé. % %\smallskip % %\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.} %\\ \bigskip \textbf{\Large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip %\emph{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.} On s'intéresse à l'évolution de l'épaisseur moyenne des glaciers au niveau mondial. Le tableau ci-dessous donne les variations en mètre de l'épaisseur moyenne de tous les glaciers par rapport à 1956, année de référence. Le rang 0 correspond à l'année 1960. %Par exemple, on peut lire dans le tableau que les glaciers ont perdu, en moyenne, 2 mètres d'épaisseur entre 1956 et 1960 et 4 mètres d'épaisseur entre 1956 et 1970. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1960 &1970& 1980& 1990& 2000& 2010& 2020& 2023\\ \hline Rang $x_i$& 0& 10& 20& 30& 40& 50& 60& 63\\ \hline Épaisseur $y_i$ (en mètre)&$-2$ &$-4$& $-6$& $-8$& $-13$& $-18$& $-27$& $-30$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le graphique ci-dessous représente le nuage de points correspondant aux données du tableau. \begin{center} \psset{unit=0.175cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5,-33)(72,7) %\multido{\n=0+5}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-35)(\n,5)} %\multido{\n=-35+5}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(75,\n)} \psgrid[unit=0.875cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray](0,-7)(15,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-33)(72,7.5) \uput[u](67,0){rang $x_i$}\uput[r](0,6){épaisseur moyenne $y_i$} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,-2)(10,-4)(20,-6)(30,-8)(40,-13)(50,-18)(60,-27)(63,-30) {\blue \uput[dr](0,-2){A}\uput[dr](10,-4){B}\uput[r](20,-6){C}\uput[ur](30,-8){D} \uput[ur](40,-13){E}\uput[ur](50,-18){F}\uput[ul](60,-27){G}\uput[r](63,-30){H}} \end{pspicture*} \end{center} \smallskip \textbf{\large Partie A - Première modélisation} \begin{enumerate} \item %Peut-on penser qu'un ajustement affine de $y$ en $x$ est approprié? Justifier. Les points du graphique ne sont pas alignés, même à peu près, donc un ajustement affine de $y$ en $x$ n'est pas approprié. \item Pour chaque épaisseur $x_i$, on pose $z_i = \ln(-y_i)$. On a donc: % %Recopier et compléter les quatre dernières colonnes du tableau suivant. On arrondira les résultats à $10^{-3}$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \makecell{Rang $x_i$} & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50& 60& 63\\ \hline Épaisseur $y_i$ (en mètre) &$-2$ &$-4$ & $-6$ & $-8$ & $-13$ & $-18$& $-27$& $-30$\\ \hline \makecell{$z_i$} &0,693 &1,386 &1,792 &2,079 &$\blue 2,565$& $\blue 2,890$ & $\blue 3,296$ & $\blue 3,401$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On détermine, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ en arrondissant les coefficients à $10^{-3}$. On trouve à la calculatrice: $z=0,041 x + 0,867$. \item %En déduire un ajustement de $y$ en $x$ sous la forme $y = A\e^{ax}$, où $A$ et $a$ sont deux constantes réelles. $z=0,041 x + 0,867$ donc $\ln(-y)=0,041 x + 0,867$ donc $-y=\e^{0,041 x + 0,867}$ donc $y=-\e^{0,041 x}\times \e^{0,867}$. Or $\e^{0,867}\approx 2,38$ donc on a: $y=-2,38\e^{0,041x}$. %On arrondira $A$ au centième et $a$ au millième. \item %Avec ce modèle, estimer l'épaisseur moyenne perdue par les glaciers en 2030. %On arrondira le résultat à l'unité. L'année 2030 correspond à $x=70$. Pour $x=70$, on a $y=-2,38\e^{0,041\times 70} \approx -42$. Avec ce modèle, l'épaisseur moyenne perdue par les glaciers en 2030 peut être estimée à 42~m. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie B - Deuxième modélisation} \medskip On suppose dans cette partie que l'évolution de l'épaisseur moyenne (en mètre) des glaciers par rapport à 1956 peut être modélisée par une fonction $g$ du temps $x$, exprimé en année, qui vérifie l'équation différentielle suivante : $(E) \qquad y' - 0,041y = 0$. %où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ sa fonction dérivée. %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. L'équation différentielle $y'+ay=0$ a pour solutions les fonctions définies par \\ $y(t)=k\e^{-ax}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $y'-0,041y=0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(t)=k\e^{0,041x}$, où $k\in\R$. \item %Sachant que $g(30) = -8$, déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$. On arrondira la constante calculée à $10^{-3}$. $g(30) = -8$ donc $k\e^{0,041\times 30}=-8$ donc $k=\dfrac{-8}{\e^{1,23}}$ donc $k\approx -2,338$ On a donc $g(t)=-2,338\e^{0,041x}$. \item Avec ce modèle, pour estimer au cours de quelle année l'épaisseur moyenne aura diminué de $50$~m par rapport à 1956, on cherche le plus petit $x$ tel $g(x)\leqslant -50$.\\ On résout cette inéquation. $\aligned g(x)\leqslant -50 & \iff -2,338\e^{0,041x} \leqslant -50 \iff \e^{0,041x} \geqslant \dfrac{-50}{-2,338}\\ & \iff 0,041x \geqslant \ln\left ( \dfrac{-50}{-2,338}\right ) \iff x \geqslant \dfrac{\ln\left ( \frac{50}{2,338}\right )}{0,041} \endaligned$ $\dfrac{\ln\left ( \frac{50}{2,338}\right )}{0,041} \approx 74,7$ donc on pour $x=74$ qui correspond à l'année 2034, on a une diminution inférieure à 50~m, et pour $x=75$ -en 2035), on a une diminution supérieure à 50~m. C'est donc au cours de l'année 2034 que l'épaisseur moyenne aura diminué de $50$~m par rapport à 1956. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie C - Étude de fonction} \medskip On suppose dans cette partie que l'évolution de l'épaisseur moyenne (en mètre) des glaciers par rapport à 1956 en fonction du temps $x$ en année ($x = 0$ représentant l'année 1960) peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0\;;+\infty[$ par $f(x) = -2,3\e^{0,04x}.$ %La fonction $f$ admet une dérivée sur $[0~;~+\infty[$, notée $f'$. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour $x$ appartenant à $[0\;;+\infty[$, on a: $f'(x)= -2,3\times 0,04 \e^{0,04x} = -0,092\e^{0,04x}$. \item Pour tout réel $X$, $\e^{X}>0$ donc $f'(x)<0$ sur $[0\;;+\infty[$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0\;;+\infty[$. \item L'épaisseur des glaciers diminue donc la fonction $f$ est décroissante; c'est cohérent. \end{enumerate} \item %Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Que peut-on penser de la modélisation par cette fonction sur le long terme ? Justifier. $\ds\lim_{x\to +\infty} 0,04x=+\infty$ et $\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X}=+\infty$, donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{0,04x}=+\infty$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$ $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$, ce qui n'est pas possible car la diminution de la hauteur du glacier est forcément finie (sa diminution maximale étant sa hauteur au départ). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Une entreprise réalise des forets (tiges métalliques pour percer le béton). Elle possède trois machines, nommées A, B et C, réglées pour fabriquer des forets de diamètre 10 mm et de longueur 110 mm. \bigskip \textbf{\large Partie A - Probabilités conditionnelles} \medskip La machine A fabrique 20\,\% de la production de l'entreprise et les machines B et C fabriquent chacune 40\,\% de la production de l'entreprise. On considère que 1\,\% des forets fabriqués par la machine A sont défectueux, ainsi que respectivement 2\,\% et 1,5\,\% des forets fabriqués par les machines B et C. On choisit un foret au hasard dans l'ensemble de la production. \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $A$ est l'évènement \og le foret provient de la machine A \fg. \item $B$ est l'évènement \og le foret provient de la machine B \fg. \item $C$ est l'évènement \og le foret provient de la machine C \fg. \item $D$ est l'évènement \og le foret est défectueux \fg. \item $\overline{D}$ est l'évènement \og le foret n'est pas défectueux \fg. \end{itemize} %\medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre. \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\ncput*{$\blue 0,20$}} { \TR{$D$}\ncput*{$\blue 0,01$} \TR{$\overline{D}$}\ncput*{$\blue 0,99$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\ncput*{$\blue 0,40$}} { \TR{$D$}\ncput*{$\blue 0,02$} \TR{$\overline{D}$}\ncput*{$\blue 0,98$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}\ncput*{$\blue 0,40$}} { \TR{$D$}\ncput*{$\blue 0,015$} \TR{$\overline{D}$}\ncput*{$\blue 0,085$} } } \bigskip \end{center} \item $P(A \cap D) = P(A)\times P_A(D)=0;20\times 0,01 = 0,002$ \item %Montrer que $P(D) = 0,016$. D'après la formule des probabilités totales: $\aligned P(D) &=P(A\cap D) + P(B\cap D) +P(C\cap D) = 0,002+0,40\times 0,02 +0,40\times 0,015\\ & = 0,002+ 0,008 +0,006=0,016 \endaligned$ \item La probabilité qu'un foret provienne de la machine B sachant qu'il est défectueux est $P_D(B)= \dfrac{P(B\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,008}{0,016}=0,5$ \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Partie B - Contrôle de conformité} \medskip On admet dans cette partie que la probabilité de choisir au hasard dans le stock de l'entreprise un foret défectueux est de $0,016$. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ forets choisis au hasard dans le stock de l'entreprise, associe le nombre de forets défectueux dans ce prélèvement. On admet que le stock est suffisamment grand pour assimiler chaque prélèvement à 100 tirages successifs avec remise d'un foret du stock. On choisit au hasard un prélèvement de $100$ forets. \medskip \begin{enumerate} \item% Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour un foret, il n'y a que deux possibilités: il est défectueux, avec une probabilité $p=0,016$, ou il ne l'est pas, avec une probabilité de $1-p$. \item On choisit au hasard un échantillon de $n=100$ forets et on admet que le stock est suffisamment grand pour assimiler chaque prélèvement à 100 tirages successifs avec remise d'un foret du stock. \end{list} Donc la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ forets choisis au hasard dans le stock de l'entreprise, associe le nombre de forets défectueux dans ce prélèvement suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,016$. \item La probabilité de n'avoir aucun foret défectueux dans ce prélèvement est: $P(X=0)=\ds\binom{100}{0} \times 0,016^{100}\times \left (1-0,016\right )^{100-0} = 0,984^{100}\approx 0,199$ %On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \item La probabilité qu'il y ait au plus deux forets défectueux dans ce prélèvement est: $P(X\leqslant 2) \approx 0,784$ (à la calculatrice) %On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie C - Contrôle du diamètre} \medskip On s'intéresse au diamètre des forets fabriqués par la machine B. On admet que la variable aléatoire $Y$ donnant le diamètre d'un foret (en millimètre) pris au hasard dans la production de la machine B suit une loi normale de paramètre $\mu = 10$ et $\sigma = 0,02$. L'entreprise estime qu'un foret peut être commercialisé lorsque son diamètre est compris entre $9,95$~mm et $10,05$~mm. La probabilité qu'un foret choisi au hasard dans la production de la machine B puisse être commercialisé est: $P(9,95 \leqslant Y \leqslant 10,05) \approx 0,988$ (à la calculatrice) %On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \bigskip \textbf{\large Partie D - Test d'hypothèse} \medskip L'entreprise considère qu'une machine est correctement réglée lorsque le diamètre moyen des forets produits par cette machine est égal à $10$~millimètres. Suite à la maintenance de la machine C, l'entreprise se demande si cette machine est toujours correctement réglée. Le responsable qualité construit pour cela un test d'hypothèse bilatéral au seuil d'erreur de $5\,\% $. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $50$ forets prélevés au hasard dans la production de la machine C, associe la moyenne, en millimètre, des diamètres des forets de cet échantillon. On suppose que le nombre de forets est suffisamment élevé pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On admet que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma = 0,009$. L'hypothèse nulle $H_0$ est donc \og $m = 10$ \fg. \medskip \begin{enumerate} \item L'hypothèse alternative $H_1$ est \og $m\neq 10$ \fg{}. \item Sous l'hypothèse $H_0$, on cherche une valeur arrondie à $10^{-3}$ du réel $h$ tel que:\\ $P(10 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 10 + h) \approx 0,95$. On sait que si une variable aléatoire $T$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left (\mu\,,\,\sigma\right )$, on a:\\ $P(\mu-2\sigma \leqslant T \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95$. Donc en prenant $h=2\sigma =2\times 0,009=0,018$, on aura: $P(10 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 10 + h) \approx 0,95$. \item On prélève un échantillon de $50$~forets et on obtient un diamètre moyen de $9,97$ mm. $\left [10-h\;;\;10+h \strut \right ] = \left [ 10-0,018\;;\; 10+0,018 \strut \right ] = \left [ 9,982\;;\; 10,018 \strut \right ]$ Or $9,97 \not\in \left [ 9,982\;;\; 10,018 \strut \right ]$ donc on ne peut pas, au seuil de $5\,\% $, conclure que la machine C est correctement réglée. \end{enumerate} \end{document}