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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement C1 -- corrigé}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

%\begin{flushleft}
%{\bf BTS-DRB2 \hfill 14/05/2024}
%\end{flushleft}

\begin{center}
\textbf{\Large  \decofourleft~Corrigé du BTS Groupement C1 -- 14 mai 2024~\decofourright}\\
\end{center}

\bigskip

%\textbf{Matériel autorisé:}
%
%L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège  \fg{} est autorisé.
%
%\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.}
%
%\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

%\textit{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\medskip
\begin{multicols}{3}
Le bois d'épicéa est couramment utilisé en France pour la construction. 
Avant son utilisation, il est nécessaire de le faire sécher. 
La teneur en humidité du bois d'épicéa correspond au pourcentage d'eau contenu dans le bois.
On considère ici des poutres d'épicéa ayant la forme d'un pavé droit de longueur 4~m et dont la base est un carré de côté 5~cm.

\columnbreak

\begin{center}
\begin{pspicture}*(-1.5,-0.6)(10,4.1)
\psline(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)(0,0)
\psline(1,0)(7,3)
\psline(1,1)(7,4)
\psline(0,1)(6,4)
\psline(7,3)(7,4)(6,4)
\psline{<->}(0,-0.2)(1,-0.2)
\rput[t](0.5,-0.3){$5$ \ cm}
\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,1)
\rput[r](-0.3,0.5){$5$ \ cm}
\psline{<->}(1.3,0)(7.3,3)
\rput[l](4.6,1.5){$4$ \ m}
\psset{linestyle=dashed}
\psline(0,0)(6,3)
\psline(6,4)(6,3)(7,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\columnbreak

~~
\end{multicols}

%\medskip

\textbf{Partie A - modélisation de la teneur en humidité} 

\medskip

%Dans cette partie, on utilisera exclusivement des valeurs exactes pour les calculs.

\begin{enumerate}
\item On considère que lors du séchage 96\,\% de la surface extérieure d'une poutre est exposée à l'air. 
La surface extérieure de la poutre, en cm$^2$ est:
$2\times 5^2 + 4\times 5\times 400 = \np{8050}$.

96\;\% de \np{8050} donnent \np{7728} soit \np{0,7728} m$^2$.

%Montrer que pour de telles poutres, la valeur correspondante à l'aire de la surface exposée à l'air vaut \np{0,7728}~m$^2$.

\item On admet que pour le bois considéré dans cette partie et les conditions de séchage envisagées, la teneur en humidité, exprimée en pourcentage, est une fonction $f$ du temps $t$ exprimé en semaine, qui vérifie l'équation différentielle:

\hfill{}$(E): \quad y'+ \np{0,03864}y= \np{0,003864}$\hfill{}

où $y$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et $y'$ est sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(t)= 0,1$.

$g'(t)+ \np{0,03864}g(t) = 0 +\np{0,03864}\times 0,1 = \np{0,003864}$

Donc la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

\item Soit $\left (E_0\right )$  l'équation homogène:  $y'+ \np{0,03864} y = 0.$

D'après le cours, on sait que l'équation différentielle $y' + ay = 0$ a pour solutions les fonctions $y$ définies par $y(t) = k\e^{-at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions $y$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par \\
$y(t)=k\e^{-\np{0,03864}t}$ où $k\in\R$.

\item On déduit que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont  les fonctions $y$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $y(t)=k\e^{-\np{0,03864}t}+0,1$ où $k\in\R$.

\item On cherche la fonction $f$, définie sur $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que la teneur en humidité initiale, c'est-à-dire au temps $t=0$, est de 80\,\%.

Autrement dit, on cherche le réel $k$ tel que $f(0)=0,8$, c'est-à-dire $k\e^{0}+0,1 = 0,8$, donc $k=0,7$.

On a donc $f(t)= 0,7\e^{-\np{0,03864}t}+0,1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Temps de séchage}

\medskip

On admet que  la fonction représentée ci-dessous est la fonction  $f$ qui exprime la teneur en humidité   du bois d'épicéa, en pourcentage, en fonction du temps $t$, exprimé en semaine.

\begin{center}
\psset{unit=1mm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}*(-10,-10)(80,90)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(8,9)
\psaxes[labels=none,ticksize=0pt 0pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-10,-10)(80,90)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{80}{10 70 2.718 -0.04 x mul exp mul add}
\uput[d](10,0){10} \uput[l](0,10){10} \uput[dl](0,0){0} 
\uput[dl](80,0){$t$}
\rput(60,-7){Temps en semaine}
\rput[l](5,85){Teneur en humidité (\%)}
%%%%%%%%%%%
\psline[linecolor=red,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](20,0)(20,41.45)
\psline[linecolor=red,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=1](20,41.45)(0,41.45)
\uput*[l](0,41.45){\red $42$} \uput*[d](20,0){\red 20}
%%%%%%%%%%%
\newrgbcolor{vb}{0 0.545 0}
\psline[linecolor=vb,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](0,20)(48.65,20)
\psline[linecolor=vb,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=1](48.65,20)(48.65,0)
\uput*[d](48.65,0){\vb $49$} \uput*[l](0,20){\vb 20}
\end{pspicture}
\end{center}

On utilise le graphique pour répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}

\item La teneur en humidité d'une poutre après 20 semaines de séchage est de $42\;\%$.

\item Ces poutres sont vendues une fois que leur teneur en humidité est inférieure à 20 \%.\\ 
Ces poutres peuvent elles être vendues au bout de 49 semaines.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C - Teneur en humidité}

\medskip

Dans cette partie, on admet que l'expression de la fonction  $f$ définie sur $[0\;;\; +\infty[$  représentant la teneur en humidité, en pourcentage,  du bois d'épicéa en fonction du temps $t$, exprimé en semaine, est:
$f(t)=0,7 \e^{-0,04 t} + 0,01$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu la capture d'écran suivante:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c | m{7cm}|}
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel\hfill$\boxtimes$}\\
\hline
~~1~~ & \texttt{f(t) := 0.7 exp(-0.04t) + 0.1}\rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~ \text{f(t) := }0.7 \e^{-0.04t} + 0.1$\\
\hline
2 & \texttt{Dérivée[f]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~ -0.028 \e^{-0.04t}$\\
\hline
3 & \texttt{Intégrale[f]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~-17.5 \e^{-0.04t} + 0.1t$\\
\hline
4 & \texttt{Limite[f , $+\infty$]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~0.1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents, on répond aux questions suivantes.

	\begin{enumerate}
		\item D'après la ligne 4 du tableau, la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est égale à $0,1$.
		
%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Si le temps de séchage augmente indéfiniment, il restera un taux d'humidité de $10\;\%$ dans la poutre.

		\item À l'aide du contexte, on peut conjecturer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\;;\;+\infty[$.

		\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$.
D'après la ligne 2 du tableau, $f'(t)=-0,028\e^{-0,04t}$.

Or, pour tout réel $x$, on a: $\e^{x}>0$ donc, pour tout $t$ de $[0\;;\;+\infty[$, on a: $\e^{-0,04t}>0$ et donc $f(t)<0$.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0\;;\;+\infty[$.
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On résout pour $t$ appartenant à $[0\;;\;+\infty[$  l'inéquation: $f(t) \leqslant 0,2$.
		
$f(t) \leqslant 0,2
\iff
0,7\e^{-0,04t}+0,1 \leqslant 0,2		
\iff
0,7\e^{-0,04t} \leqslant 0,1
\iff
\e^{-0,04t} \leqslant \dfrac{0,1}{0,7}\\
\phantom{f(t) \leqslant 0,2}
\iff
-0,04t \leqslant \ln\left (\dfrac{1}{7}\right )
\iff
t \geqslant - \dfrac{\ln\left (\frac{1}{7}\right )}{0,04}$
		
%Arrondir le résultat à l'unité.
Or $- \dfrac{\ln\left (\frac{1}{7}\right )}{0,04}\approx 48,65$ donc $t\geqslant 49$.

		\item %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Il faut donc un temps de séchage d'au moins 49 semaines pour que la teneur en humidité soit inférieure à 20\;\%.		
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill 10 points}

%\medskip
%
%\emph{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Une entreprise produit en grande série des vis au moyen de deux chaînes de production.

\medskip

\textbf{Partie A - Production de vis}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On choisit au hasard une vis dans le stock. On note:}
\item $C_1$ l'évènement \og la vis provient de la première chaîne \fg{};
\item $C_2$ l'évènement \og la vis provient de la deuxième chaîne \fg{};
\item $D$ l'évènement \og la vis a un défaut \fg.
\end{list}

La première chaîne produit 40\,\% du stock et on sait que sur cette chaîne 3 vis sur \np{1000} ont un défaut. 
De plus, on sait que sur la deuxième chaîne, 5 vis sur \np{1000} ont un défaut.
%Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ sont évènement contraire.

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré.

\begin{center}
{%\small
\psset{treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=1cm}
\pstree[nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C_1$}\ncput*{\blue{}$0,4$}}
	                        {
	                        \TR{$D$}\ncput*{\blue{}$0,003$}
			                \TR{$\overline{D}$}\ncput*{\blue{}$0,997$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C_2$}\ncput*{\blue{}$0,6$}}
	                        {
	                        \TR{$D$}\ncput*{\blue{}$0,005$}
			                \TR{$\overline{D}$}\ncput*{\blue{}$0,995$}
	                        }
      }
}% fin du \small
\end{center}

\item La probabilité que la vis choisie provienne de la première chaîne et présente un défaut est:
$P(C_1 \cap D) = P(C_1)\times P_{C_1}(D) = 0,4\times 0,004 = \np{0,0012}$.

\item La probabilité que la vis présente un défaut est $P(D)$.%égale à \np{0.0042}.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(D) = P\left (C_1 \cap D\right ) + P\left (C_2 \cap D\right ) 
= \np{0,0012} + 0,6\times 0,005
= \np{0,0042}$
\item On choisit une vis du stock et on constate qu'elle présente un défaut.

La probabilité qu'elle provienne de la première chaîne est:

$P_{D} \left (C_1\right ) = \dfrac{P\left (C_1 \cap D\right )}{P(D)}
= \dfrac{\np{0,0012}}{\np{0,0042}} \approx 0,286$.

Il y a donc $28,6\;\%$ de chance que la vis défectueuse provienne de la première chaîne, donc il est inexact de dire qu'il y a moins de 25\;\% de chances qu'elle provienne de la première chaîne de production.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude d'un lot} 

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu'une vis ait un défaut vaut $0,004$.\\
On prélève, dans le stock d'une journée, un lot de $50$~vis. On admet que ce stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.\\
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque prélèvement d'un lot de 50 vis, associe le nombre de vis ayant un défaut.

\begin{enumerate}
\item% Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Pour une vis donnée, il n'y a que deux possibilités: elle présente un défaut, avec une probabilité de $p=0,004$, ou elle n'en présente pas.

De plus, on admet que ce stock est suffisamment important pour que le prélèvement de 50 vis soit assimilé à un tirage avec remise: on est donc dans le cas d'une répétition de 50 prélèvements identiques et indépendants.

Donc la variable aléatoire $X$ qui à chaque prélèvement d'un lot de 50 vis, associe le nombre de vis ayant un défaut, suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,004$.

\item %Dans cette question, les probabilités seront arrondies au millième.

\begin{enumerate}
\item La probabilité que ce lot contienne exactement 2 vis ayant un défaut est:

$P(X=2)=\ds\binom{50}{2} \times 0,004^{2} \times (1-0,004)^{50-2}\approx 0,016$.

\item La probabilité que ce lot contienne au moins 3 vis ayant un défaut est, d'après la calculatrice:
$P(X\geqslant 3)\approx 0,001$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Conformité des vis}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la longueur des vis produites par la première chaîne de production.
On appelle $L$ la variable aléatoire qui, à chaque vis de la production, associe sa longueur en millimètre.
On admet que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$.
Une vis est considérée comme conforme lorsque sa longueur est comprise entre $59,60$~mm et $60,40$~mm.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $\mu = 60$ et $\sigma = 0,25$. 

La probabilité qu'une vis choisie au hasard dans le stock soit conforme est, d'après la calculatrice:
$P(59,60 \leqslant X \leqslant 60,40) \approx 0,89$.

%Arrondir le résultat au centième.

\item Les vis sont considérées conformes si leur longueur moyenne est de 60~mm.\\
Afin de vérifier le bon réglage des machines de fabrication des vis produites par la première chaîne de production, on construit un test d'hypothèse bilatéral relativement à la moyenne des longueurs des vis, au seuil de risque de 5\,\%.

L'hypothèse nulle du test est donc $H_0\;:\; \mu = 60$.

	\begin{enumerate}
		\item Le test est bilatéral donc  l'hypothèse alternative $H_1$ est $\mu\neq 60$..
	\end{enumerate}
	
On note $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 vis produites par la première chaîne,, associe la moyenne des  longueurs de ces 100 vis.\\
Sous l'hypothèse $H_0$, on admet que  $\overline{L}$ suit la loi normale d'espérance mathématique 60 et d'écart type $\sigma' = 0,025$.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item On admet que $P\left (59,95 \leqslant \overline{L} \leqslant 60,05\right )  = 0,95$. 
%Énoncer la règle de décision du test.

\begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:}
\item si la  moyenne des longueurs des 100 vis de  l'échantillon  n'appartient pas à l'intervalle  $\left [ 59,95\;:\; 60,05\strut \right ]$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%;
\item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle.
\end{list}

		\item On prélève un échantillon de 100 vis et on obtient, pour cet échantillon, une moyenne des longueurs des 100 vis égale à $60,03$~mm. 
		
%		Appliquer le test conçu dans cette question et conclure quant au réglage de la première chaîne de production.

$60,03 \in \left [ 59,95\;:\; 60,05\strut \right ]$ donc on ne peut pas rejeter l'hypothèse $H_0$ au risque de 5\:\%, et il n'y a donc pas lieu d'effectuer un réglage de la première chaîne de production.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}