\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : François Hache %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} %\usepackage{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {BTS}, %pdftitle = {Métropole 14 mai 2024}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Groupement B4 -- corrigé}} \rfoot{\small{14 mai 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B4 %\footnote{Systèmes phoniques } \\[7pt]}} %\vspace{0,25cm} % %\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} % %\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} \smallskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant. On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$. $f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage. %\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center} \smallskip \textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On admet que $f$ est solution de l'équation différentielle : $(E)$ \quad $y' + 0,06y = 2,1$. %où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et où $y'$ est la dérivée de $y$. %\medskip \begin{enumerate} \item On résout sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle: $\left(E_0\right) \quad y' + 0,06y = 0$. D'après le cours, on sait que l'équation différentielle $y' + ay = 0$ a pour solutions les fonctions $y$ définies par $y(t) = k\e^{-at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions $y$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $y(t)=k\e^{-0,06t}$ où $k\in\R$. %On fournit la formule suivante: % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline %$y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} \item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$. $g'(t) + 0,06g(t)= 0+0,06\times 35 = 2,1$ donc la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \item On en déduit que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(t) = k\e^{-0,06t}+35$ où $k\in\R$. \item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle donc $f(0)=0$. $f(0)=0 \iff k\e^{-0,06\times 0}+35 = 0 \iff k+35=0 \iff k=-35$ Donc la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude de fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par: $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$ %On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à %l'issue de $t$ jours de séchage. % %\medskip \begin{enumerate} \item La résistance du béton après 7 jours de séchage est, en MPa:\\ $f(7)=-35\e^{-0,06\times 7}+35 \approx 12,0$. 72 heures correspondent à 3 jours. Donc la résistance du béton après 72 heures de séchage est, en MPa: $f(3)=-35\e^{-0,06\times 3}+35 \approx 5,8$. %Arrondir au dixième. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Pour tout réel $t \in [0~;~ +\infty[$, on a : $f'(t) = -35\times (-0,06)\e^{-0,06t} + 0 =2,1\e^{-0,06t}.$ \item Pour tout $t$ de $[0~;~ +\infty[$, $\e^{-0,06t}>0$ donc $f'(t)>0$. On en déduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$. \item %Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini. $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$ et $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,06t = -\infty$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,06 t}= 0$ On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 35$. %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. La résistance du béton va tendre vers 35 MPa. \item Le fabricant du béton affirme que la résistance après 28 jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale. Cette résistance est donc de $f(28)$ soit environ $28,5$ MPa. $80\;\%$ de 35 correspondent à $0,8\times 35 = 28$. Donc l'affirmation du fabricant est juste. \item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.$ $F'(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right)\times (-0,06) \e^{-0,06t} + 35 = -\left(\dfrac{\np{1750}\times 0,006}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35\\ \phantom{F'(t)} = -35 \e^{-0,06t} + 35 = f(t)$ Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \item La valeur moyenne de la résistance du béton sur les 28 premiers jours est: $M = \dfrac{1}{28-0}\ds\int_0^{28} f(t) \d t = \dfrac{1}{28} \left [ F(t)\strut \right ]_{0}^{28} = \dfrac{1}{28} \left [ F(28) - F(0)\strut \right ]\\[7pt] \phantom{M} = \dfrac{1}{28} \left [ \left (\left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 28} + 35\times 28 \right ) - \left ( \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 0} + 35\times 0 \right )\strut \right ]\\[7pt] \phantom{M} = \dfrac{1}{28} \left [ \left ( \dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-1,68} + 980 - \dfrac{\np{1750}}{3}\strut \right ] \approx 18 $ %On fournit la formule suivante: %\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline %La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\ %$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline %\end{tabularx}\end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C. Algorithme} \medskip On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa. %\medskip \begin{enumerate} \item On complète l'algorithme. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline Ligne 3 &Tant que $\blue R < 21$ \\ \hline Ligne 4 &\qquad $t\gets \blue t+1$ \\ \hline Ligne 5 & \qquad $R \gets -35\e^{-0,06t} +35$ \hspace*{1cm}\\ \hline Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item %Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie. En utilisant la calculatrice, on trouve: $f(15) \approx 20,8 < 21$ et $f(16) \approx 21,6>21$. Donc le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa est $N=16$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points} %\medskip % %\emph{Un formulaire sur les transformées de Laplace est placé à la fin de l'exercice.} \begin{center} \scalebox{0.9}{ \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(11.5,4) \psline(9,1.3)(9,0)(2.4,0)(2.4,3.3)(4.8,3.3) \psline(6,3.3)(9,3.3)(9,2) \psline{->}(1.4,0)(1.4,3.3) \uput[l](1.4,1.65){$e(t)$} \psline{->}(10.2,0)(10.2,3.3)\uput[r](10.4,1.65){$s(t)$} \pnode(2.4,1.5){A}\pnode(2.4,2.4){B}\pnode(5,3.3){C}\pnode(6.1,3.3){D}\pnode(9,2){E}\pnode(9,1.3){F} \Ucc(A)(B){}\coil[dipolestyle=curved](C)(D){$L$}\capacitor(F)(E){$C$} \end{pspicture} } \end{center} On considère un circuit LC.\\ Le signal d'entrée est noté $e(t)$. Le signal de sortie est noté $s(t)$.\\ Le système est régi par l'équation différentielle $(E)$: $LCs''(t) + s(t) = e(t)$.\\ Les conditions initiales sont : $s\left(0^+\right) = 0$ et $s'\left(0^+\right) = 0$. %\medskip \begin{enumerate} \item On sait que $L = 10$ H et $C = 10^{-5}$ F{}. L'équation différentielle $(E)$ s'écrit donc:\\ $10\times 10^{-5}\times s''(t)+s(t) = e(t)$ soit $10^{-4}s''(t)+s(t)=e(t)$. \item On suppose que: la fonction $e(t)$ admet une transformée de Laplace notée $E(p)$ et que la fonction $s(t)$ admet une transformée de Laplace notée $S(p)$. On applique la transformée de Laplace à l'équation différentielle et on utilise sa linéarité. $\begin{aligned}[t] \mathcal{L}\left (10^{-4}s''(t)+s(t)\right )=\mathcal{L}\left (e(t)\right )& \iff 10^{-4}\mathcal{L}\left (s''(t)\right )+\mathcal{L}\left (s(t)\right )=\mathcal{L}\left (e(t)\right ) \\ & \iff 10^{-4}\left (p^2 S(p) - p s(0^+) - s'(0^+)\right )+S(p) =E(p)\\ & \iff 10^{-4} p^2 S(p) +S(p) =E(p) \iff \left (10^{-4} p^2 +1 \right ) S(p) =E(p) \end{aligned}$ %Démontrer que l'on a : $\left(10^{-4}p^2 + 1\right)S(p) = E(p)$. \item La fonction de transfert $H(p)$ est définie par: $S(p) = H(p) \times E(p)$. Donc $H(p)= \dfrac{S(p)}{E(p)} = \dfrac{S(p)}{\left(10^{-4}p^2 + 1\right)S(p)} = \dfrac{1}{10^{-4}p^2 + 1} = \dfrac{1}{\frac{1}{10^4}p^2 + 1} = \dfrac{10^4}{p^2 + 10^4} $ %Démontrer que l'on a : $H(p) = \dfrac{10^4}{p^2 + 10^4}.$ \item On note $\mathcal{U}(t)$ la fonction échelon unité définie ainsi : $\left\{\begin{array}{l c l} \mathcal{U}(t) = 0&\text{si}&t < 0\\ \mathcal{U}(t) = 1&\text{si}&t \geqslant 0 \end{array}\right.$ On suppose désormais que l'on a : $e(t) = 3 \mathcal{U}(t)$. On représente graphiquement le signal $e(t)$. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{4} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput{6pt}[dl](0,0){\footnotesize 0} \psset{linecolor=blue,linewidth=2pt} \psline(\xmin,0)(0,0) \psline(0,3)(\xmax,3) \end{pspicture} \end{center} \item D'après le formulaire, on peut dire que $E(p) = \dfrac{3}{p}$. \item %À l'aide des questions précédentes, déterminer $S(p)$ puis démontrer que l'on a : $S(p) = \dfrac 3p - \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}$. $\left (10^{-4} p^2 +1 \right ) S(p) =E(p)$ donc $S(p) = \dfrac{E(p)}{10^{-4} p^2 +1} = \dfrac{\frac{3}{p}}{10^{-4} p^2 +1} = \dfrac{3}{10^{-4} p^3+p} = \dfrac{3 \times 10^4}{p^3 +10^4 p}$ $\dfrac 3p - \dfrac{3p}{p^2 + 10^4} = \dfrac{3\left ( p^2 + 10^4 \right )}{p\left ( p^2 + 10^4 \right )} - \dfrac{3p^2}{p\left ( p^2 + 10^4 \right )} = \dfrac{3p^2 + 3\times 10^4 -3p^2}{p^3 + 10^4 p} = \dfrac{3\times 10^4}{p^3 + 10^4 p} = S(p)$ \item %En déduire l'expression de $s(t)$. Il s'agit de chercher la fonction dont la transformée de Laplace est $S(p)= \dfrac 3p - \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{1}{p}$, il faut partir de $t \longmapsto \mathcal{U}(t)$, donc pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{3}{p}$, il faut partir de $t \longmapsto 3 \mathcal{U}(t)$. \item Pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}$, il faut partir de la fonction $t \longmapsto \cos (\omega t)\mathcal{U}(t)$, donc pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}$, il faut partir de $t \longmapsto 3\cos (10^2 t)\mathcal{U}(t)$. \end{list} On en déduit que $s(t)= 3 \mathcal{U}(t) - 3\cos (10^2 t)\mathcal{U}(t) = 3\mathcal{U}(t) \left [1 - \cos(100t)\strut\right ]$. \item %On admet que l'on a : $s(t) = 3\mathcal{U}(t) [1 - \cos(100t)]$. On considère les 4 croquis ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} Croquis \no 1&Croquis \no 2\\ \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,1.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{0}{6.5}{x 3 mul RadtoDeg sin 1.05 mul } \end{pspicture}&\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,2.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{6.5}{1 x 5 mul RadtoDeg cos sub 0.8 mul } \end{pspicture}\\ Croquis \no 3&Croquis \no 4\\ \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(0,-2)(6.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-2)(6.5,1.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=red]{0}{6.5}{1 x 5 mul RadtoDeg cos sub 2 sub } \end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,2.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=green]{0}{6.5}{x 4 mul RadtoDeg sin 1 add } \end{pspicture}\\ \end{tabularx} \end{center} Le croquis représentant la courbe de $s(t)$ est le croquis 2. \begin{list}{\textbullet}{En effet:} \item Pour $t=0$ on a $\cos(100t)=\cos(0)=1$ donc $s(0)=0$. \\ On peut donc éliminer les croquis 3 et 4. \item $-1 \leqslant \cos(100t) \leqslant 1$ donc $1-\cos(100t) \geqslant 0$ et donc $s(t)\geqslant 0$ pour tout $t\geqslant 0$. \\ On peut donc éliminer le croquis 1. \end{list} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip Une usine produit des ampoules pour voitures. \bigskip \textbf{Partie A. Probabilités conditionnelles} \medskip \begin{list}{\textbullet}{On dispose des données suivantes:} \item 65\,\% des ampoules produites sont des ampoules pour l'habitacle. \\ Parmi elles, 15\,\% sont défectueuses. \item 35\,\% des ampoules produites sont des ampoules pour les phares. \\ Parmi elles, 5\,\% sont défectueuses. \end{list} \begin{list}{\textbullet}{On choisit une ampoule au hasard et on considère les évènements suivants:} \item $H$ : l'ampoule est une ampoule pour l'habitacle. \item $D$ : l'ampoule est défectueuse. \end{list} %\medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré ci-dessous qui décrit la situation. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$H$}\naput{$0,65$}} { \TR{$D$}\naput{$\blue 0,15$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{$\blue 1-0,15=0,85$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{H}$}\nbput{$\blue 1-0,65=0,35$}} { \TR{$D$}\naput{$0,05$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{$\blue 1-0,05 = 0,95$} } } \bigskip \end{center} \item $P(H \cap D) = P(H)\times P_H(D)=0,65\times 0,15 = \np{0,0975}$ \item D'après la formule des probabilités totales: $P(D) = P(H\cap D) + P\left (\overline{H}\cap D\right ) = \np{0,0975} + 0,35 \times 0,05 = \np{0,115}$ \item L'ampoule choisie est défectueuse. La probabilité qu'il s'agisse d'une ampoule pour phares est: $P_D \left (\overline{H} \right )= \dfrac{P \left (\overline{H} \cap D \right )}{P(D)} = \dfrac{0,35\times 0,05}{0,115} \approx 0,152$ %Arrondir au millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Loi binomiale} \medskip On rappelle que la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard soit défectueuse est égale à $0,115$. On prélève un échantillon aléatoire de $300$ ampoules. On suppose que ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'ampoules défectueuses au sein de cet échantillon. %\medskip \begin{enumerate} \item %Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ainsi que ses paramètres. Quand on choisit au hasard une ampoule, il y a deux issues possibles: elle est défectueuse, avec une probabilité $p=0,115$, ou elle ne l'est pas. On prélève un échantillon aléatoire de $300$ ampoules et on suppose que ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. Il s'agit donc d'une répétition de 300 épreuves identiques et indépendantes. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre d'ampoules défectueuses au sein de cet échantillon suit donc la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,115$. \item La probabilité qu'exactement $30$ ampoules de l'échantillon soient défectueuses est: $P(X= 30) \approx 0,054$ %Arrondir au millième. \item La probabilité qu'au plus $20$ ampoules de l'échantillon soient défectueuses est:\\ $P(X \leqslant 20) \approx 0,004$ %Arrondir au millième. \end{enumerate} \end{document}