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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B3}}
\rfoot{\small{15 mai 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 15 mai 2023~\decofourright\\[7pt]Groupement B3\footnote{Systèmes photoniques}\\[7pt] Durée : 3 heures}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A -- Résolution d'une équation différentielle}
\begin{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate}
		\item Résolvons $r^2+5r+4=0$.
\[\Delta=5^2-4\times 1\times 4=25-16=9\]
			Les solutions sont :
\[r_1=\dfrac{-5-\sqrt{9}}{2\times 1}=-4~~\text{et}~~r_2=\dfrac{-5+\sqrt{9}}{2\times 1}=-1.\]
		\item Les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$ sont de la forme :
\[C_1\e^{-t}+C_2\e^{-4t}~~\text{où }C_1,C_2\in\R\]
		\end{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate}
		\item On a $f(0)=20$ et $f'(0)=-10$.
		\item La valeur exacte de la distance O$M$ deux secondes après le début de la fermeture est :
\[f(2)=\dfrac{70}{3}\e^{-2}-\dfrac{10}{3}\e^{-8}\]
			\textit{Attention, on demande dans cette question une valeur exacte, et non une valeur approchée.}
		\item[c)] Demandons-nous quelle est la distance O$M$ au bout de quatre secondes :
\[f(4)=\dfrac{70}{3}\e^{-4}-\dfrac{10}{3}\e^{-16}\simeq 0,43\text{ cm}.\]

Cette distance est inférieure à $0,5$ cm, on peut donc considérer que le tiroir est fermé.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -- Étude de fonction}
\begin{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item Le rappel nous permet d'affirmer que $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\e^{-t}= 0$ et $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\e^{-4t}=0$.\\ On en déduit que 
\[\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}f(t)=\dfrac{70}{3}\times 0-\dfrac{10}{3}\times 0=0\]
		\item La courbe possède ainsi une asymptote d'équation $y=0$.
		\end{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate}
		\item $\e^{-t}$ et $\e^{-4t}$ se dérivent respectivement en $-\e^{-t}$ et $-4\e^{-4t}$. Ainsi :
			\begin{align*}
			f'(t) & = \dfrac{70}{3}\times \left(-\e^{-t}\right)-\dfrac{10}{3}\times \left(-4\e^{-4t}\right) \\
			f'(t) & = -\dfrac{70}{3}\e^{-t}+\dfrac{40}{3}\e^{-4t}
			\end{align*}
		\item L'énoncé nous indique que la dérivée de $f$ est négative sur $[0~;~+\infty[$.
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$ /1, $f’(t)$ /1, $f$ /2.5}
			{$0$,$+\infty$}%			
			\tkzTabLine{,-,}	
			\tkzTabVar{+/ $20$, -/ $0$}
			\end{tikzpicture}
			\end{center}\pagebreak
		\end{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate}
		\item Il est nécessaire de compléter jusqu'à la ligne 39.
		
			\begin{center}
			\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
			\begin{tabular}{p{3cm}p{2cm}p{2cm}p{3.5cm}}
			\hline 
			\texttt{Ligne} & \texttt{t} & \texttt{f(t)} & \texttt{Condition f(t)>s} \\ 
			\hline 
			Ligne 36 & $3,6$ & $0,64$ & Vraie \\ 
			\hline 
			Ligne 37 & $3,7$ & $0,58$ & Vraie \\ 
			\hline 
			Ligne 38 & $3,8$ & $0,52$ & Vraie \\ 
			\hline 
			Ligne 39 & $3,9$ & $0,47$ & Fausse \\ 
			\hline 
			\end{tabular}
			\end{center}
			\item À la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable $t$ a pour valeur $3,9$. Cela signifie que le tiroir est considéré comme fermé à partir de $3,9$ secondes.
		\end{enumerate}
	\item Pour calculer $\ds\int_0^4f(t)\dt$, il nous faut déterminer une primitive de $f$.
		\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] $\e^{-t}$ se primitive en $-\e^{-t}$
		\item[$\bullet$] $\e^{-4t}$ se primitive en $-\dfrac14\e^{-4t}$
		\end{itemize}\smallskip
		
		On en déduit l'expression d'une primitive $F$ de $f$ :
		\begin{align*}
		f(t) & = \dfrac{70}{3}\e^{-t}-\dfrac{10}{3}\e^{-4t} \\
		F(t) & = \dfrac{70}{3}\times (-\e^{-t})-\dfrac{10}{3}\times\left(-\dfrac14\e^{-4t}\right) \\
		F(t) & = -\dfrac{70}{3}\e^{-t}+\dfrac{5}{6}\e^{-4t} \\
		\end{align*}
		L'intégrale $\ds\int_0^4f(t)\dt$ vaut $F(4)-F(0)$. Or :\smallskip
		
		\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] $F(4)=-\dfrac{70}{3}\e^{-4}+\dfrac{5}{6}\e^{-16}$\medskip
		
		\item[$\bullet$] $F(0)=-\dfrac{70}{3}\times 1+\dfrac{5}{6}\times 1=-\dfrac{140}{6}+\dfrac{5}{6}=-\dfrac{135}{6}=-\dfrac{45}{2}$
		\end{itemize}
		On en déduit que :
		$$\int_0^4f(t)\dt=-\dfrac{70}{3}\e^{-4}+\dfrac{5}{6}\e^{-16}+\dfrac{45}{2}$$
		Puis que :
		$$m=\dfrac14\int_0^4f(t)\dt=\dfrac14\left(-\dfrac{70}{3}\e^{-4}+\dfrac{5}{6}\e^{-16}+\dfrac{45}{2}\right)$$
		En appliquant la règle de distributivité, on a:
		$$m=-\dfrac{70}{12}\e^{-4}+\dfrac{5}{24}\e^{-16}+\dfrac{45}{8}$$
		Après simplification de la fraction $\dfrac{70}{12}$, on obtient le résultat attendu :
\[m=-\dfrac{35}{6}\e^{-4}+\dfrac{5}{24}\e^{-16}+\dfrac{45}{8}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage

\noindent\textbf{\large Exercice 2}

\begin{enumerate}
	\item La représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$ est :
	
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmin=-3.5,xmax=3.5,ymin=-2,ymax=2,xstep=0.5,ystep=1]
		\tkzGrid[xstep=pi/2,ystep=pi/2]
		\tkzDrawX[label={},noticks]
		\tkzLabelX[orig=false,trig=2,below=8pt]
		\tkzDrawY[label={},noticks]
		\tkzLabelY[trig=2,below=8pt]
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-2*pi:-3*pi/2]   plot (\x,{pi/2});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-3*pi/2:-pi]   plot (\x,{-pi-\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-pi:-pi/2]   plot (\x,{pi+\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-pi/2:pi/2]   plot (\x,{pi/2});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=pi/2:pi]   plot (\x,{pi-\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=pi:3*pi/2]   plot (\x,{-pi+\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=3*pi/2:2*pi]   plot (\x,{pi/2});
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	
	\item $b_n=0$ pour tout entier $n\geqslant 1$ car la fonction $f$ est paire.
	\item $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2\pi}=1$
	\item Par définition, $\ds a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\dt$. L'intégrale représente l'aire sous la courbe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.

		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmin=-3.5,xmax=3.5,ymin=-2,ymax=2,xstep=0.5,ystep=1]
		
		\tkzDefPoint(0,0){A}
		\tkzDefPoint(pi/2,0){B}
		\tkzDefPoint(pi/4,pi/2){C}
		\tkzDefPoint(0,pi/2){D}
		\tkzFillPolygon[draw,fill = red!30 ](A,B,C,D)
		
		\tkzDefPoint(pi,0){E}
		\tkzDefPoint(pi,pi/2){F}
		\tkzDefPoint(3*pi/4,pi/2){G}
		\tkzFillPolygon[draw,fill = red!30 ](B,E,F,G)
		
		\tkzGrid[xstep=pi/2,ystep=pi/2]
		\tkzDrawX[label={},noticks]
		\tkzLabelX[orig=false,trig=2,below=8pt]
		\tkzDrawY[label={},noticks]
		\tkzLabelY[trig=2,below=8pt]
		
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-2*pi:-3*pi/2]   plot (\x,{pi/2});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-3*pi/2:-pi]   plot (\x,{-pi-\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-pi:-pi/2]   plot (\x,{pi+\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=-pi/2:pi/2]   plot (\x,{pi/2});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=pi/2:pi]   plot (\x,{pi-\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=pi:3*pi/2]   plot (\x,{-pi+\x});
		\draw[line width=1.5pt,color=blue,samples=400,domain=3*pi/2:2*pi]   plot (\x,{pi/2});
		\end{tikzpicture}
		\end{center}	
	
Cette aire, en recomposant les différents éléments, est la somme des aires de trois carrés de côté $\dfrac{\pi}{2}$. On en déduit que :
		\begin{align*}
		a_0 & = \dfrac{1}{2\pi}\times 3\times\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{\pi}{2} \\
		a_0 & = \dfrac{3\times \pi\times \pi}{2\times \pi\times 2\times 2} \\
		a_0 & = \dfrac{3\pi}{8}
		\end{align*}
		
\newpage	
		
	\item Soit $n\geqslant 1$. Pour calculer $a_n$, on utilise la formule fournie dans le formulaire pour les fonctions paires :
\[a_n=\dfrac{4}{T}\int_0^{T/2}f(t)\cos(n\omega t)\dt=\dfrac{4}{2\pi}\int_0^{2\pi/2}f(t)\cos(n\times 1\times t)\dt=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(t)\cos(nt)\dt\]
		La fonction $f$ étant définie différemment sur les intervalles $[0;\pi/2]$ et $[\pi/2;\pi]$, il est naturel de découper l'intégrale :
		\begin{align*}
		a_n & = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}f(t)\cos(nt)\dt+\dfrac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}f(t)\cos(nt)\dt \\
		a_n & = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\dfrac{\pi}{2}\times\cos(nt)\dt+\dfrac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-t)\cos(nt)\dt \\
		a_n & = \dfrac{2}{\pi}\times\dfrac{\pi}{2}\int_0^{\pi/2}\cos(nt)\dt+\dfrac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-t)\cos(nt)\dt \\
		a_n & = \int_0^{\pi/2}\cos(nt)\dt+\dfrac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-t)\cos(nt)\dt
		\end{align*}	
	\item L'énoncé fournit la formule $a_n=\dfrac{2}{\pi n^2}\left(\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)-\cos(n\pi)\right)$\medskip
	
		\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] $a_1=\dfrac{2}{\pi\times 1^2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos(\pi)\right)=\dfrac{2}{\pi}(0-(-1))=\dfrac{2}{\pi}\times 1=\dfrac{2}{\pi}$\medskip
		
		\item[$\bullet$] ${a_2=\dfrac{2}{\pi\times 2^2}\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{2}\right)-\cos(2\pi)\right)=\dfrac{2}{4\pi}(\cos(\pi)-\cos(2\pi))=\dfrac{1}{2\pi}(-1-1)=\dfrac{1}{2\pi}\times (-2)=-\dfrac{1}{\pi}}$\medskip
		
		\item[$\bullet$] $a_3=\dfrac{2}{\pi\times 3^2}\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-\cos(3\pi)\right)=\dfrac{2}{9\pi}(0-(-1))=\dfrac{2}{9\pi}\times 1=\dfrac{2}{9\pi}$\medskip
		\end{itemize} 
		
	\item Par définition :
		$$s_3(t)=a_0+a_1\cos(1t)+b_1\sin(1t) + a_2\cos(2t)+b_2\sin(2t)+a_3\cos(3t)+ b_3\sin(3t)$$
		En remplaçant les coefficients connus par leurs valeurs exactes, on obtient :
\[s_3(t)=\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{2}{\pi}\cos(t)+0\sin(t)-\dfrac{1}{\pi}\cos(2t)+0\sin(2t)+\dfrac{2}{9\pi}\cos(3t)+0\sin(3t).\]

En enlevant les termes nuls, on a finalement :
\[s_3(t)=\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{2}{\pi}\cos(t)-\dfrac{1}{\pi}\cos(2t)+\dfrac{2}{9\pi}\cos(3t).\]

	\item Un tracé sur la calculatrice indique rapidement que la réponse est la courbe 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\smallskip

On s'intéresse à un magasin de vélos.

\medskip

%Le magasin décide de prêter gratuitement pendant un jour des vélos à des clients dans l'espoir que cela débouche sur une vente.
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]80\,\% des vélos prêtés sont des vélos électriques.
%
%$\to $ Cela débouche sur une vente dans 60\,\% des cas.
%\item[$\bullet~~$]20\,\% des vélos prêtés sont des vélos mécaniques.
%
%$\to $ Cela débouche sur une vente dans 70\,\% des cas.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard l'un des vélos prêtés. On considère les évènements suivants : 
%
%\begin{description}
%\item[ ] $E$ : \og il s'agit d'un vélo électrique \fg
%\item[ ] $V$ : \og le prêt débouche sur une vente\fg.
%\end{description}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
\item On a $p(E \cap V) = p(V) \times p_{E}(V) = 0,8 \times 0,6 = 0,48$.
\item %Démontrer que la probabilité que le prêt débouche sur une vente est égale à $0,62$.

On a de même $p\left(\overline{E}\cap V\right) = p\left(\overline{E}\right) \times p_{\overline{E}}(V) = 0,2 \times 0,7 = 0,14$.

D'après la formule des probabilités totales :

$p(V ) = p(E \cap V) + p\left(\overline{E}\cap V\right) = 0,48+ 0,14 = 0,62.$
\end{enumerate}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~~}\naput{0,8}}
	{\TR{$V$}\naput{0,6}
	\TR{$\overline{V}$}\nbput{0,4}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E}$~~}\nbput{0,2}}
	{\TR{$V$}\naput{0,7}
	\TR{$\overline{V}$}\nbput{0,3}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=4]
\item %On considère un vélo pour lequel le prêt a débouché sur une vente.

%Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un vélo électrique ? Arrondir à $10^{-3}$.
Il faut trouver $p_V(E) = \dfrac{p(V \cap E)}{p(V)} = \dfrac{p(E \cap V)}{p(V)}\dfrac{0,48}{0,62}\approx 0,7741$, soit 0,774 au millième près.
\end{enumerate}
\bigskip

\newpage

\begin{center}\textbf{Formulaire sur les séries de Fourier}
\end{center}

\bigskip

$f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$.

\bigskip

Développement en série de Fourier de la fonction $f$ :

\begin{center}
\[s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left[a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right].\]

\[s_n(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{n}\left[a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t) \right].\]

\[a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\:\text{d}t.\]

\[a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\cos (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]

\[b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\sin (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]

$\to$ Lorsque la fonction $f$ est paire, on a :

\[a_n = \dfrac{4}{T}\displaystyle\int_0^{\frac T2} f(t)\cos (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]
\end{center}
\newpage

\begin{center}\textbf{DOCUMENT-RÉPONSE\\[10pt]
(À rendre avec la copie)}\end{center}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\bigskip

\textbf{Question 1.}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.2570796cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-1)(3.4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,Dy=3,xunit=1.570796,ticks=x](0,0)(-3.4,-1)(3.4,2)
%\multido{\n=-4+2}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
%\multido{\n=-3+2.0}{4}{\uput[d](\n,0){\n$\frac{\pi}{2}$}}
\uput[l](0,1.5){$\frac{\pi}{2}$}
%\uput[l](0,-1.5){$-\frac{\pi}{2}$}
\uput[d](-3,0){$\frac{-3\pi}{2}$}\uput[d](-1,0){$\frac{-\pi}{2}$}
\uput[d](1,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](3,0){$\frac{3\pi}{2}$}
\uput[d](-4,0){$-2\pi$}\uput[d](-2,0){$-\pi$}
\uput[d](4,0){$2\pi$}\uput[d](2,0){$\pi$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}