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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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%pdftitle = {Métropole 14 mai 2024},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Métropole -- corrigé}
\lfoot{\small{Groupement B3}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B3%\footnote{Électrotechnique}
}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant.
On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage.

%\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que  $f$ est solution de l'équation différentielle : $(E)$ \quad $y' + 0,06y = 2,1$.

%où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$  et où $y'$ est la dérivée de $y$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On résout sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle:
$\left(E_0\right) \quad  y' + 0,06y = 0$.

D'après le cours, on sait que l'équation différentielle $y' + ay = 0$ a pour solutions les fonctions $y$ définies par $y(t) = k\e^{-at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions $y$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $y(t)=k\e^{-0,06t}$ où $k\in\R$.

%On fournit la formule suivante: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
%$y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline
%\end{tabularx} 
%\end{center}

\item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$.

$g'(t) + 0,06g(t)= 0+0,06\times 35 = 2,1$ donc  la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item On en déduit que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(t) = k\e^{-0,06t}+35$ où $k\in\R$.

\item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle donc $f(0)=0$.

$f(0)=0 \iff  k\e^{-0,06\times 0}+35 = 0 \iff k+35=0 \iff k=-35$

Donc la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :  $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère  la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par: $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$

%On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à
%l'issue de $t$ jours de séchage.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item La résistance du béton après 7 jours de séchage est, en MPa:\\
$f(7)=-35\e^{-0,06\times 7}+35 \approx 12,0$.

72 heures correspondent à 3 jours. Donc la résistance du béton après 72 heures de séchage est, en MPa: $f(3)=-35\e^{-0,06\times 3}+35 \approx 5,8$.

%Arrondir au dixième.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Pour tout réel $t \in [0~;~ +\infty[$, on a : 
$f'(t) = -35\times (-0,06)\e^{-0,06t} + 0 =2,1\e^{-0,06t}.$

\item Pour tout $t$ de $[0~;~ +\infty[$, $\e^{-0,06t}>0$ donc $f'(t)>0$.

On en déduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.

\item %Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.
$\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$
et
$\ds\lim_{t\to +\infty} -0,06t = -\infty$
donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,06 t}= 0$

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 35$.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La résistance du béton va tendre vers 35 MPa.

\item Le fabricant du béton affirme que la résistance après 28 jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale.

Cette résistance est donc de $f(28)$ soit environ $28,5$ MPa.

$80\;\%$ de 35 correspondent à $0,8\times 35 = 28$.

Donc l'affirmation du fabricant est juste.

\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
$F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.$

$F'(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right)\times (-0,06) \e^{-0,06t} + 35
= -\left(\dfrac{\np{1750}\times 0,006}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35\\
\phantom{F'(t)}
= -35 \e^{-0,06t} + 35
= f(t)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

\item La valeur moyenne de la résistance du béton sur les 28 premiers jours est:

$M = \dfrac{1}{28-0}\ds\int_0^{28} f(t) \d t
= \dfrac{1}{28} \left [ F(t)\strut \right ]_{0}^{28}
= \dfrac{1}{28} \left [ F(28) - F(0)\strut \right ]\\[7pt]
\phantom{M}
= \dfrac{1}{28} \left [ \left (\left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 28} + 35\times 28 \right ) - \left ( \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 0} + 35\times 0 \right )\strut \right ]\\[7pt]
\phantom{M}
= \dfrac{1}{28} \left [ \left ( \dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-1,68} + 980  - \dfrac{\np{1750}}{3}\strut \right ]
\approx 18
$
%On fournit la formule suivante:
%\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\
%$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline
%\end{tabularx}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Algorithme}

\medskip

On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète  l'algorithme.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline
Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline
Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline
Ligne 3 &Tant que $\blue R < 21$ \\ \hline
Ligne 4 &\qquad $t\gets \blue t+1$  \\ \hline
Ligne 5 & \qquad $R \gets -35\e^{-0,06t} +35$ \hspace*{1cm}\\ \hline
Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item %Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie.
En utilisant la calculatrice, on trouve:
$f(15) \approx 20,8 < 21$ et $f(16) \approx 21,6>21$.

Donc le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa est $N=16$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

%\begin{center}\emph{Un formulaire sur les séries de Fourier est placé à la fin de l'exercice.}\end{center}

On étudie le fonctionnement d'un filtre.
La tension en entrée du filtre est une fonction $E$ pour laquelle on possède les informations suivantes:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $E$ est une fonction périodique de période $T = 20$.
\item $E(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
12 &\text{si }&t \in [0~;~10[\\
0 &\text{si }&t \in  [10~;~20[.
\end{array}\right.$
\end{itemize}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $\omega$ la pulsation de la fonction $E$.

D'après le cours, $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ donc $\omega = \dfrac{2\pi}{20} = \dfrac{\pi}{10}$.

\item On représente la courbe de la fonction $E$ en respectant les consignes suivantes :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Échelle des abscisses: 2 cm pour représenter l'intervalle allant de $t = 0$ à $t = 10$.
\item Échelle des ordonnées: 1 cm pour représenter l'intervalle allant de $E = 0$ à $E = 2$.
\item La représentation est effectuée pour $t \in  [-30~; ~30]$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.5cm}
\def\xmin{-30}   \def\xmax{30} \def\ymin{-2}   \def\ymax{14}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=2cm,yunit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-3,-1)(3,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt, Dx=10, Dy=2,showorigin=false](0,0)(\xmin,-1.99)(\xmax,13.99)
\uput{6pt}[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psset{linecolor=blue,linewidth=2pt}
\psline(20,12)(30,12) \psline(0,12)(10,12) \psline(10,0)(20,0) 
\psline(-20,12)(-10,12) \psline(-10,0)(0,0) \psline(-30,0)(-20,0) 
\end{pspicture}
\end{center}

\item La valeur moyenne $a_0$ de $E$ est:\\
$\begin{aligned}[t]
a_0 & = \dfrac{1}{T} \ds\int_{0}^{T} E(t) \d t
= \dfrac{1}{20} \ds\int_{0}^{20} E(t) \d t
= \dfrac{1}{20} \ds\int_{0}^{10} 12 \d t + \dfrac{1}{20} \ds\int_{10}^{20} 0 \d t
= \dfrac{1}{20} \left [ 12t \strut \right ]_{0}^{10}\\
& = \dfrac{1}{20} \times 120
=6
\end{aligned}$

\item %On rappelle que la valeur efficace de $E$, notée $E_{\text{eff}}$ est donnée par :
$\begin{aligned}[t]
\left(E_{\text{eff}}\right)^2 & = \dfrac 1T \displaystyle\int_0^T [E(t)]^2\d t
= \dfrac{1}{20} \ds\int_0^{20} [E(t)]^2\d t
= \dfrac{1}{20} \ds\int_0^{10} 12^2\d t +  \dfrac{1}{20} \ds\int_{10}^{20} 0^2\d t\\
& = \dfrac{1}{20} \left [ 144 t \strut\right ]_{0}^{10}
= \dfrac{1}{20} \times 1440 = 72
\end{aligned}$

Donc $E_{\text{eff}} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} =  6\sqrt 2$.

\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a:

$\begin{aligned}[t]
a_n & = \dfrac{2}{T} \ds\int_{0}^{T} E(t) \cos (n \omega t) \d t
= \dfrac{2}{20} \ds\int_{0}^{20}  E(t) \cos\left  ( \dfrac{\pi n t}{10} \right )  \d t
= \dfrac{2}{20} \ds\int_{0}^{10} 12 \cos\left  ( \dfrac{\pi n t}{10} \right )  \d t\\
& = \dfrac{1}{10} \left [12\times \dfrac{10}{n \pi}  \sin\left  ( \dfrac{\pi n t}{10} \right )\right ]_{0}^{10} 
= \dfrac{1}{10} \times \dfrac{10}{n \pi} \left [12 \sin\left  ( n\pi \right ) - 12 \sin(0)\strut \right ] = 0
\end{aligned}$

\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $b_n = \dfrac{12}{n \pi} \left [1 - \cos (n\pi)\strut \right ]$.

Si $n$ est pair, on a $\cos(n\pi) =1$ donc
$b_n = \dfrac{12}{n \pi} \left [1 - \cos (n\pi)\strut \right ]  = 0$.

\item  On complète le tableau ci-dessous avec des valeurs arrondies à $0,01$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&1	& 2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$a_n$	&0	&0	&0	&0	&0	&0	&0\\ \hline
$b_n$	& $\blue 7,64$	& $\blue 0$	& $\blue 2,55$	& $\blue 0$	&	$\blue 1,53$& $\blue 0$	& $\blue 1,09$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la grandeur $E_7$ définie par : 
$\left(E_{7}\right)^2 = \left(a_0\right)^2 + \dfrac12 \displaystyle\sum_{k=1}^7\left[\left(a_k\right)^2 + \left(b_k\right)^2\right]$.

$\left(E_{7}\right)^2
= 6^2+\dfrac{1}{2}\left ( 7,64^2+ 2,55^2 + 1,53^2 + 1,09^2\strut \right )
\approx 70,20$
 
 Donc $E_7\approx \ds\sqrt{70,20}$ et donc $E_7 \approx 8,38$.

Or $E_{\text{eff}}=6\sqrt{2}\approx 8,49$.

L'erreur est donc d'environ $\dfrac{8,49 - 8,38}{8,49}\times 100$ soit environ $1,3\,\%$.

L'affirmation \og $E_7$ représente une approximation de $E_{\text{eff}}$ avec moins de $5\,\%$ d'erreur \fg{} est donc vraie.

\end{enumerate}

\end{document}

\newpage

\begin{center}

\textbf{FORMULAIRE  sur les séries de Fourier}

\medskip

$f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$.

\medskip

Développement en série de Fourier de la fonction $f$:

$s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left(a_n \cos (n \omega t) + b_n\sin (n \omega t) \right)$

$s_n(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left[a_k \cos (k \omega t) + b_k\sin (k \omega t) \right]$

$a_0 = \dfrac 1T\displaystyle\int_0^T f(t)\:\text{d}t.$

$a_n = \dfrac 2T\displaystyle\int_0^T f(t) \cos (n \omega t)\:\text{d}t.\quad (n \geqslant 1)$

$b_n = \dfrac 2T\displaystyle\int_0^T f(t)  \sin (n \omega t)\:\text{d}t.\quad (n \geqslant 1)$

\bigskip

La valeur efficace du signal $f$ est notée $f_{\text{eff}}$. Elle est donnée par:

\[\left(f_{\text{eff}}\right)^2 = \dfrac 1T \displaystyle\int_0^T [f(t)]^2\:\text{d}t.\]
\end{center}

$\to$ Lorsque la fonction $f$ est paire, on a :

\[a_n = \dfrac 4T \displaystyle\int_0^{\frac T2}f(t) \cos(n \omega  t)\:\text{d}t \quad (n \geqslant 1)\]
\end{document}