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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B2 -- corrigé}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- mai 2022~\decofourright\\[5pt] Groupement B2
%\footnote{Conception et industrialisation en microtechniques, Électrotechnique}
}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un chariot d'une fête foraine est propulsé à une vitesse de $20$ m.s$^{-1}$ sur un axe horizontal, puis il est ralenti par un système de freinage.
On s'intéresse à la vitesse du chariot durant le freinage.
On note $f(t)$ la vitesse du chariot à l'instant $t$.
$f(t)$ est exprimé en mètre par seconde, et $t$ est exprimé en seconde.\\
L'instant $t = 0$ correspond à l'instant où le chariot commence à être pris en charge par le système de freinage. On a donc $f(0) = 20$.\\
On suppose que $f$  est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle.}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : 
$(E) : \quad y'+ 0,8y = 4$,\\
où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation différentielle $(E_0) : \quad y'+ 0,8y = 0$.
L'équation différentielle $y'+ay=0$ a pour solutions les fonctions $y$ définies par $y(t)=k\e^{-at}$ où $k$ est un réel quelconque.

Donc l'équation différentielle $y'+0,8 y=0$ a pour solutions les fonctions $y$ définies par $y(t)=k\e^{-0,8 t}$ où $k$ est un réel quelconque.

		\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 5$.

$g'(t) + 0,8 g(t) = 0+0,8\times 5 = 4$ donc  la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

		\item On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ est l'ensemble des fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-0,8 t}+5$, où $k$ est un réel.
	\end{enumerate}
	
\item  $f(0) = 20$ donc $k\e^{0}+5=20$ donc $k=15$.\\
La solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 20$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t)=15\e^{-0,8t}+5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

%On admet que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par: $f(t)= 15\e^{-0,8t} + 5$.

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.4,-8)(4.4,34)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray](-1,-1)(9,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.4,-8)(4.4,34)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.5}{15 2.71828 0.8 x mul exp div 5 add}
\psplot[linecolor=red]{0}{1.5}{20 12 x mul sub} \uput[dl](1,8){\red $T$}
\uput[ur](0.5,15){\blue $\mathcal{C}$}
\uput{8pt}[dl](0,0){\footnotesize 0}
\end{pspicture*}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 5$.
On sait que $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$; or $\ds\lim_{t \to +\infty} -0,8 t = -\infty$, donc $\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{-0,8t} = 0$.

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=5$.
		
		\item On peut donc dire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ d'équation $y=5$.
	\end{enumerate}	

\item On admet que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ on a:  $f'(t) = -12\e^{-0,8t}$.

Pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc pour tout $t$, $\e^{-0,8t}>0$ donc $f'(t)<0$ sur $[0~;~+ \infty[$.

$f(0)=20$ et $\ds\lim_{t \to +\infty} = 5$

On dresse le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 0   & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(t) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{20} &    &    \\
f(t) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{5} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}\\
\hline
\end{array}$}
\end{center}

\item %Le système de freinage permet-il au chariot de s'arrêter?
La vitesse limite est de 5~m/s donc le système de freinage ne permet pas au chariot de s'arrêter.

\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = -18,75\e^{-0,8t} +5t$.
	\begin{enumerate}
		\item $F'(t)= -18,75\times (-0,8) \e^{-0,8t}+5 = 15 \e^{-0,8t}+5 = f(t)$ donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

		\item On admet que la distance $d$, exprimée en mètre, parcourue par le chariot entre les instants $t_0$ et $t_1$ est donnée par :
$d = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t) \d t$.

La distance parcourue par le chariot entre $t_0 =0$ et $t_1 = 1$ est donc en mètre:

$\begin{aligned}[t]
d= \ds\int_{0}^{1} f(t) \d t & = \left [ F(t) \strut \right ]_{0}^{1} = F(1) - F(0)\\
& = \left ( -18,75\e^{-0,8\times 1} +5\times 1 \right ) - \left ( -18,75\e^{-0,8\times 0} +5\times 0 \right )\\
& =  -18,75\e^{-0,8} +5 + 18,75\e^{0} +0
= 23,75 -18,75\e^{-0,8}  \approx 15,33
\end{aligned}$

%Donner une valeur arrondie au centimètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C -- Étude locale}

\medskip

%On rappelle que l'on étudie la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 
%
%\[f(t)= 15\e^{-0,8t} + 5.\]
%
%On rappelle que sa courbe représentative $C$ est reproduite au début de la partie B.

Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de $0$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
&PolynômeTaylor($f(t),t,0,2)$\\
1&\\
&$\gets 20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2$\\[8pt] 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{enumerate}
\item Cette question est une question à choix multiple. %Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.

%Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de rapporte ne rapporte ni n'enlève de point.

Le développement limité de la fonction $f$ à l'ordre 2 au voisinage de zéro est :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|X|}\hline
$20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2 + \varepsilon(t)$\newline avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$&$20 + \dfrac{24}{5}t^2$&$20 - 12t + 4,8t^2 + t^2\varepsilon(t)$\newline avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La bonne réponse est la 3\ieme{}: $20 - 12t + 4,8t^2 + t^2\varepsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$

\item D'après le développement limité,  une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$ est $y=20-12t$ (voir graphique).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

La fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie par $\left\{\begin{array}{l c l}
\mathcal{U}(t) = 0 &\text{si}& t < 0\\
\mathcal{U}(t) = 1&\text{si}& t \geqslant 0
\end{array}\right.$.

\smallskip

On considère le système électrique entrée-sortie schématisé ci-dessous.

On note $s(t)$  le signal de sortie associé au signal d'entrée $e(t)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(9,0.5)
\psline{->}(2.5,0)\psline{->}(6.5,0)(9,0)
\psframe(2.5,-0.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.25,0){$e(t)$}\uput[u](7.75,0){$s(t)$}\rput(4.5,0){Système}
\end{pspicture}
\end{center}

Les fonctions $e(t)$ et $s(t)$ sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour $t < 0$.
On admet que les fonctions $e(t)$ et $s(t)$ admettent des transformées de Laplace notées
respectivement $E(p)$ et $S(p)$.

La fonction de transfert $H(p)$ du système est définie par $S(p) = H(p) \times E(p)$.

On a $e(t) = 2\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)$ et  $H(p) = \dfrac{1}{p + 1}$.

%\begin{center}\textbf{On pourra utiliser le formulaire ci-dessous.}\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - signal d'entrée}

\begin{enumerate}
\item On détermine l'expression de la fonction $e(t)$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
t  & -\infty & \esp & 0 & \esp & 1 & \esp\esp & +\infty \\
\hline
\mathcal{U}(t) &  & 0 &  \vline\hspace{-2.7pt}{1} & 1 & \vline\hspace{-2.7pt}{1} & 1 &\\
\hline
2\mathcal{U}(t) &  & 0 &  \vline\hspace{-2.7pt}{2} & 2 & \vline\hspace{-2.7pt}{2} & 2 &\\
\hline
\mathcal{U}(t-1) &  & 0 &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & 0 & \vline\hspace{-2.7pt}{1} & 1 &\\
\hline
e(t)= 2\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t-1) &  & 0 &  \vline\hspace{-2.7pt}{2} & 2 & \vline\hspace{-2.7pt}{1} & 1 &\\
\hline
\end{array}$}
\end{center}

\newpage

On trace la représentation graphique de la fonction $e$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-2)(6,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2)(6,3)
%\uput[u](5.8,0){$x$}\uput[l](0,1.8){$y$}
\uput{12pt}[dl](0,0){0} 
\psset{linecolor=blue,linewidth=2pt}
\psline(-3,0)(0,0) \psline(0,2)(1,2) \psline(1,1)(6,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Déterminer $E(p)$.
$e(t) = 2\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)$ donc, en utilisant la linéarité de la transformation de Laplace,

$E(p)=\mathcal{L}\left (e(t)\strut\right )  = \mathcal{L}\left (2\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)\strut\right )
= 2\mathcal{L}\left (\mathcal{U}(t)\strut\right ) - \mathcal{L}\left (\mathcal{U}(t - 1)\strut\right )
= \dfrac{2}{p} - \dfrac{1}{p}\e^{-p}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - signal de sortie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $S(p)=H(p)\times E(p)
= \dfrac{1}{p+1} \left ( \dfrac{2}{p} - \dfrac{1}{p}\e^{-p}\right )
= \dfrac{2}{p(p + 1)} - \left(\dfrac{1}{p(p + 1)} \right) \e^{-p}$

\item $\dfrac 1p - \dfrac{1}{p + 1} 
= \dfrac{p+1}{p\left (p+1\right )} - \dfrac{p}{p\left (p+1\right )}
= \dfrac{p+1-p}{p\left (p+1\right )}
= \dfrac{1}{p\left (p + 1\right )} $

\item D'après le formulaire, on a:

$\begin{array}[t]{l @{\hspace{2cm}} l}
\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac 1p\right)=\mathcal{U}(t)
& \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{p+1}\right)  = \e^{-t} \mathcal{U}(t)\\[10pt]
\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac 1p \cdot \e^{-p}\right) = \mathcal{U}(t-1)
& \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{p+1} \cdot \e^{-p}\right) = \e^{-(t-1)}\mathcal{U}(t-1)
\end{array}$

\item %En déduire l'expression de $s(t)$ sur l'intervalle [0~;~1[.
D'après les questions 1 et 2, on a:

$\begin{aligned}
S(p) & = \dfrac{2}{p(p + 1)} - \left(\dfrac{1}{p(p + 1)} \right) \e^{-p}
= \dfrac{2}{p}-\dfrac{2}{p+1}- \left (\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1}\right ) \e^{-p}\\
& = \dfrac{2}{p}-\dfrac{2}{p+1}- \dfrac{1}{p}\e^{-p} + \dfrac{1}{p+1}\e^{-p}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
\text{Donc }s(t) & = \mathcal{L}^{-1}\left ( \dfrac{2}{p}-\dfrac{2}{p+1}- \dfrac{1}{p}\e^{-p} + \dfrac{1}{p+1}\e^{-p}\right )\\
& =  2\mathcal{L}^{-1}\left ( \dfrac{1}{p} \right ) - 2 \mathcal{L}^{-1}\left (\dfrac{1}{p+1} \right ) -  \mathcal{L}^{-1}\left (\dfrac{1}{p}\e^{-p}\right ) + \mathcal{L}^{-1}\left ( \dfrac{1}{p+1}\e^{-p}\right )\\
& = 2 \mathcal{U}(t) - 2\e^{-t}\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t-1) + \e^{-(t-1)}\mathcal{U}(t-1) 
\end{aligned}$

Sur l'intervalle $[0\;;\;1[$, on a $\mathcal{U}(t)=1$ et $\mathcal{U}(t-1)=0$ donc:
$s(t)=2-2\e^{-t}$.

\newpage

\item On admet que sur $[1~;~ +\infty[$ on a: $s(t) = (\e - 2)\e^{-t} + 1$.

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $s(1)$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.
$s(1)= (\e-2)\e^{-1}+1 = 1 - 2\e^{-1}+1 = 2-2\e^{-1}\approx 1,3$		
		
		\item On complète la courbe représentative de la fonction $s$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=1.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(8,3.5)\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{1 2.71828 x neg exp sub 2 mul}
%%%%%%%%%%
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{8}{0.71828 2.71828 x neg exp mul 1 add}
\end{pspicture*}
\end{center}

		\item %Donner la limite de la fonction $s$ en $+\infty$.
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-t}=0$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} s(t)=1$		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}