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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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%pdftitle = {Métropole 14 mai 2024},
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%pdfstartview=FitH}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B2 -- corrigé}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B2
%\footnote{Conception et industrialisation en microtechniques }
\\[7pt]}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant.
On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage.

%\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que  $f$ est solution de l'équation différentielle : $(E)$ \quad $y' + 0,06y = 2,1$.

%où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$  et où $y'$ est la dérivée de $y$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On résout sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle:
$\left(E_0\right) \quad  y' + 0,06y = 0$.

D'après le cours, on sait que l'équation différentielle $y' + ay = 0$ a pour solutions les fonctions $y$ définies par $y(t) = k\e^{-at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions $y$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $y(t)=k\e^{-0,06t}$ où $k\in\R$.

%On fournit la formule suivante: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
%$y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline
%\end{tabularx} 
%\end{center}

\item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$.

$g'(t) + 0,06g(t)= 0+0,06\times 35 = 2,1$ donc  la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item On en déduit que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(t) = k\e^{-0,06t}+35$ où $k\in\R$.

\item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle donc $f(0)=0$.

$f(0)=0 \iff  k\e^{-0,06\times 0}+35 = 0 \iff k+35=0 \iff k=-35$

Donc la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :  $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère  la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par: $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$

%On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à
%l'issue de $t$ jours de séchage.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item La résistance du béton après 7 jours de séchage est, en MPa:\\
$f(7)=-35\e^{-0,06\times 7}+35 \approx 12,0$.

72 heures correspondent à 3 jours. Donc la résistance du béton après 72 heures de séchage est, en MPa: $f(3)=-35\e^{-0,06\times 3}+35 \approx 5,8$.

%Arrondir au dixième.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Pour tout réel $t \in [0~;~ +\infty[$, on a : 
$f'(t) = -35\times (-0,06)\e^{-0,06t} + 0 =2,1\e^{-0,06t}.$

\item Pour tout $t$ de $[0~;~ +\infty[$, $\e^{-0,06t}>0$ donc $f'(t)>0$.

On en déduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.

\item %Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.
$\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$
et
$\ds\lim_{t\to +\infty} -0,06t = -\infty$
donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,06 t}= 0$

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 35$.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La résistance du béton va tendre vers 35 MPa.

\item Le fabricant du béton affirme que la résistance après 28 jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale.

Cette résistance est donc de $f(28)$ soit environ $28,5$ MPa.

$80\;\%$ de 35 correspondent à $0,8\times 35 = 28$.

Donc l'affirmation du fabricant est juste.

\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
$F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.$

$F'(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right)\times (-0,06) \e^{-0,06t} + 35
= -\left(\dfrac{\np{1750}\times 0,006}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35\\
\phantom{F'(t)}
= -35 \e^{-0,06t} + 35
= f(t)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

\item La valeur moyenne de la résistance du béton sur les 28 premiers jours est:

$M = \dfrac{1}{28-0}\ds\int_0^{28} f(t) \d t
= \dfrac{1}{28} \left [ F(t)\strut \right ]_{0}^{28}
= \dfrac{1}{28} \left [ F(28) - F(0)\strut \right ]\\[7pt]
\phantom{M}
= \dfrac{1}{28} \left [ \left (\left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 28} + 35\times 28 \right ) - \left ( \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 0} + 35\times 0 \right )\strut \right ]\\[7pt]
\phantom{M}
= \dfrac{1}{28} \left [ \left ( \dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-1,68} + 980  - \dfrac{\np{1750}}{3}\strut \right ]
\approx 18
$
%On fournit la formule suivante:
%\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\
%$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline
%\end{tabularx}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Algorithme}

\medskip

On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète  l'algorithme.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline
Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline
Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline
Ligne 3 &Tant que $\blue R < 21$ \\ \hline
Ligne 4 &\qquad $t\gets \blue t+1$  \\ \hline
Ligne 5 & \qquad $R \gets -35\e^{-0,06t} +35$ \hspace*{1cm}\\ \hline
Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item %Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie.
En utilisant la calculatrice, on trouve:
$f(15) \approx 20,8 < 21$ et $f(16) \approx 21,6>21$.

Donc le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa est $N=16$.
\end{enumerate}


\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

%\medskip
%
%\emph{Un formulaire sur les transformées de Laplace est placé à la fin de l'exercice.}

\begin{center}
\scalebox{0.9}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(11.5,4)
\psline(9,1.3)(9,0)(2.4,0)(2.4,3.3)(4.8,3.3)
\psline(6,3.3)(9,3.3)(9,2)
\psline{->}(1.4,0)(1.4,3.3) \uput[l](1.4,1.65){$e(t)$}
\psline{->}(10.2,0)(10.2,3.3)\uput[r](10.4,1.65){$s(t)$}
\pnode(2.4,1.5){A}\pnode(2.4,2.4){B}\pnode(5,3.3){C}\pnode(6.1,3.3){D}\pnode(9,2){E}\pnode(9,1.3){F}
\Ucc(A)(B){}\coil[dipolestyle=curved](C)(D){$L$}\capacitor(F)(E){$C$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

On considère un circuit LC.\\
Le signal d'entrée est noté $e(t)$. Le signal de sortie est noté $s(t)$.\\
Le système est régi par l'équation différentielle $(E)$: $LCs''(t) + s(t) = e(t)$.\\
Les conditions initiales sont : $s\left(0^+\right) = 0$ et $s'\left(0^+\right) = 0$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que $L = 10$ H et $C = 10^{-5}$ F{}.
L'équation différentielle $(E)$ s'écrit donc:\\
$10\times 10^{-5}\times s''(t)+s(t) = e(t)$ soit $10^{-4}s''(t)+s(t)=e(t)$.

\item On suppose que:
\begin{description}
\item[ ] La fonction $e(t)$ admet une transformée de Laplace notée $E(p)$
\item[ ] La fonction $s(t)$ admet une transformée de Laplace notée $S(p)$.
\end{description}

On applique la transformée de Laplace à l'équation différentielle et on utilise sa linéarité.

$\begin{aligned}[t]
\mathcal{L}\left (10^{-4}s''(t)+s(t)\right )=\mathcal{L}\left (e(t)\right )&
\iff 10^{-4}\mathcal{L}\left (s''(t)\right )+\mathcal{L}\left (s(t)\right )=\mathcal{L}\left (e(t)\right ) \\
& \iff 10^{-4}\left (p^2 S(p) - p s(0^+) - s'(0^+)\right )+S(p) =E(p)\\
& \iff 10^{-4} p^2 S(p) +S(p) =E(p)
 \iff  \left (10^{-4} p^2 +1 \right ) S(p) =E(p)
\end{aligned}$

%Démontrer que l'on a : $\left(10^{-4}p^2 + 1\right)S(p) = E(p)$.
\item La fonction de transfert $H(p)$ est définie par: $S(p) = H(p) \times E(p)$.

Donc
$H(p)= \dfrac{S(p)}{E(p)}
= \dfrac{S(p)}{\left(10^{-4}p^2 + 1\right)S(p)}
= \dfrac{1}{10^{-4}p^2 + 1}
= \dfrac{1}{\frac{1}{10^4}p^2 + 1}
= \dfrac{10^4}{p^2 + 10^4}
$

%Démontrer que l'on a : $H(p) = \dfrac{10^4}{p^2 + 10^4}.$

\item On note $\mathcal{U}(t)$ la fonction échelon unité définie ainsi : $\left\{\begin{array}{l c l}
\mathcal{U}(t) = 0&\text{si}&t < 0\\
\mathcal{U}(t) = 1&\text{si}&t \geqslant 0
\end{array}\right.$

On suppose désormais que l'on a : $e(t) = 3 \mathcal{U}(t)$.

On représente graphiquement le signal $e(t)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\def\xmin{-3}   \def\xmax{5} \def\ymin{-1}   \def\ymax{4}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput{6pt}[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psset{linecolor=blue,linewidth=2pt}
\psline(\xmin,0)(0,0) \psline(0,3)(\xmax,3) 
\end{pspicture}
\end{center}

\item D'après le formulaire, on peut dire que $E(p) = \dfrac{3}{p}$.

\item %À l'aide des questions précédentes, déterminer $S(p)$ puis démontrer que l'on a : $S(p) = \dfrac 3p - \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}$.
$\left (10^{-4} p^2 +1 \right ) S(p) =E(p)$ donc
$S(p) = \dfrac{E(p)}{10^{-4} p^2 +1}
 = \dfrac{\frac{3}{p}}{10^{-4} p^2 +1}
 = \dfrac{3}{10^{-4} p^3+p}
 = \dfrac{3 \times 10^4}{p^3 +10^4 p}$

$\dfrac 3p - \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}
= \dfrac{3\left ( p^2 + 10^4 \right )}{p\left (  p^2 + 10^4 \right )} - \dfrac{3p^2}{p\left (  p^2 + 10^4 \right )}
= \dfrac{3p^2 + 3\times 10^4 -3p^2}{p^3 + 10^4 p}
= \dfrac{3\times  10^4}{p^3 + 10^4 p}
= S(p)$

\item %En déduire l'expression de $s(t)$.
Il s'agit de chercher l'expression dont la transformée de Laplace est $S(p)= \dfrac 3p - \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{1}{p}$, il faut partir de $t \longmapsto \mathcal{U}(t)$, donc pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{3}{p}$, il faut partir de $t \longmapsto 3 \mathcal{U}(t)$.
\item Pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}$, il faut partir de la fonction $t \longmapsto \cos (\omega t)\mathcal{U}(t)$, donc pour obtenir la fonction $p \longmapsto \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}$, il faut partir de $t \longmapsto 3\cos (10^2 t)\mathcal{U}(t)$.
\end{list}

On en déduit que $s(t)= 3 \mathcal{U}(t) - 3\cos (10^2 t)\mathcal{U}(t) = 3\mathcal{U}(t) \left [1 - \cos(100t)\strut\right ]$.

\item %On admet que l'on a : $s(t) = 3\mathcal{U}(t) [1 - \cos(100t)]$.
On considère les 4 croquis ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Croquis \no 1&Croquis \no 2\\
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{0}{6.5}{x 3 mul RadtoDeg sin 1.05 mul }
\end{pspicture}&\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{6.5}{1 x 5 mul RadtoDeg cos sub 0.8 mul }
\end{pspicture}\\
Croquis \no 3&Croquis \no 4\\
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(6.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-2)(6.5,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=red]{0}{6.5}{1 x 5 mul  RadtoDeg cos sub 2 sub }
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=green]{0}{6.5}{x 4 mul RadtoDeg sin 1 add }
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Le croquis représentant la courbe de $s(t)$ est le croquis 2.

\begin{list}{\textbullet}{En effet:}
\item Pour $t=0$ on a $\cos(100t)=\cos(0)=1$ donc $s(0)=0$. \\
On peut donc éliminer les croquis 3 et 4.
\item $-1 \leqslant \cos(100t) \leqslant 1$ donc $1-\cos(100t) \geqslant 0$ et donc $s(t)\geqslant 0$ pour tout $y\geqslant 0$. \\
On peut donc éliminer le croquis 1.
\end{list}
\end{enumerate}

\end{document}

\newpage

\begin{center}\textbf{FORMULAIRE POUR L’EXERCICE 2}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Fonction & Transformée de Laplace\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac 1p$\\ \hline
$t \longmapsto t\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p^2}$\\ \hline
$t \longmapsto t^2\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac{2}{p^3}$\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t),\:a \in \R$&$p \longmapsto \dfrac {1}{p+a}$\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t - a)$&$p \longmapsto \dfrac 1p \text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto \sin (\omega t)\mathcal{U}(t), \: \omega \in \R$&$p \longmapsto \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$\\ \hline
$t \longmapsto \cos (\omega t)\mathcal{U}(t), \: \omega \in \R$&$p \longmapsto \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Dans ce qui suit, $f(t)$ est une fonction possédant une transformée de
Laplace notée $F(p)$.}\\ \hline
$t \longmapsto f(t)\text{e}^{- at}\mathcal{U}(t),\:a \in \R$&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t - a)\mathcal{U}(t - a),\:a \in \R$&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline
Si de plus $f$ est dérivable $t\longmapsto f'(t)\mathcal{U}(t)$&$pF(p) - f(0^+)$\\ \hline
Si de plus $f'$ est dérivable $t\longmapsto f''(t)\mathcal{U}(t)$&$p^2F(p) - pf(0^+) - f'(0^+)$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\end{document}