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%Tapuscrit sujet  : Denis Vergès
%Tapuscrit corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}
\renewcommand{\d}{\text{\,d}}%     le d de différentiation
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\setlength\parskip{5pt}

\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Métropole - corrigé}
\lfoot{\small{Groupement B1}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- mai 2022~\decofourright\\[5pt]Groupement B1}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large{}Exercice 1 : un problème de routage \hfill 5 points}

\medskip

Un chariot d'une fête foraine est propulsé à une vitesse de $20$ m.s$^{-1}$ sur un axe horizontal, puis il est ralenti par un système de freinage.\\
On s'intéresse à la vitesse du chariot durant le freinage.\\
On note $f(t)$ la vitesse du chariot à l'instant $t$.\\
$f(t)$ est exprimé en mètre par seconde, et $t$ est exprimé en seconde.\\
L'instant $t = 0$ correspond à l'instant où le chariot commence à être pris en charge par le système de freinage. On a donc $f(0) = 20$.

On suppose que $f$  est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

%\begin{center}\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle.}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle 
$(E) : \quad y'+ 0,8y = 4,$\\
où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On résout l'équation différentielle $(E_0) : \quad y'+ 0,8y = 0$.

L'équation différentielle $y' + ay = 0$	 a pour solutions les fonctions définies par $y(t) = k\e^{- at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $y' + 0,8y = 0$	 a pour solutions les fonctions définies par $y(t) = k\e^{- 0,8t}$, où $k\in\R$.
				
%		On fournit la formule suivante :
%		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Équation différentielle	&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
%$y' + ay = 0$			&$y(t) = k\e^{- at}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

		\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 5$.
		
$g'(t)=0$ donc $g'(t)+0,8 g(t) = 0+0,8\times 5 = 4$ donc la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.		
		
%Vérifier que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
		\item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions définies par $y(t)= k\e^{- 0,8t} +5$, où $k\in\R$.
	\end{enumerate}
	
\item %On rappelle que $f(0) = 20$.

% Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale: $f(0) = 20$.

On cherche $k$ pour que $f(0)=20$ en prenant $f(t)=k\e^{-0,8t}+5$:

$f(0) =20 \iff k\e^{0}+5 =20 \iff k=15$

Donc  la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 20$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t)=15\e^{-0,8t}+5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$ par:
$f(t)= 15\e^{-0,8t} + 5.$

Sa courbe représentative $\mathcal C$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.35,-5)(4.5,28)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(4.5,30)
\multido{\n=0+0.2}{24}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,28)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,0)(4.5,40)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=10]{->}(0,0)(4.5,28)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{4.5}{15 2.71828 0.8 x mul exp div 5 add}
\psline[linecolor=blue](0,5)(28,5) \uput*[d](1.5,5){\blue $y=5$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 5$.
$\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$ et $\ds\lim_{t\to +\infty} (-0,8t)=-\infty$ donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,8t}=0$; 

on en déduit que  $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=5$.
		
		
		\item On peut donc dire que la courbe $\mathcal C$ admet la droite d'équation $y=5$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
	\end{enumerate}	
	
\item On admet que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ on a : 
$f'(t) = -12\e^{-0,8t}.$

Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc pour tout $t$, $\e^{-0,8t}>0$; on en déduit que, pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$, on a $-12\e^{-0,8t}<0$ donc $f'(t)<0$.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur  $[0~;~+ \infty[$.

$f(0)=20$ et $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=5$; on établit le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 0   & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(t) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{20} &    &    \\
f(t) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{5} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item D'après le tableau de variation de $f$, on peut dire que, pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$, $f(t)>5$; donc la vitesse restera supérieure à 5~m.s$^{-1}$ donc  le système de freinage ne permet pas au chariot de s'arrêter.

\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = -18,75\e^{-0,8t} +5t$.

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
Sur $[0~;~+ \infty[$, $F'(t) = -18,75\times (-0,8)\e^{-0,8t} + 5 = 15\e^{-0,8t}+5 = f(t)$

donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		
		\item On admet que la distance $d$, exprimée en mètre, parcourue par le chariot entre les instants $t_0$ et $t_1$ est donnée par :
$d = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t) \d t.$

La valeur exacte de la distance parcourue par le chariot entre l'instant $t_0 =0$ et $t_1 = 1$ est: %. Donner une valeur arrondie au centimètre.

$\displaystyle\int_{0}^{1} f(t) \d t
= \left [ F(t) \strut\right ]_{0}^{1} = F(1)-F(0)
= \left ( -18,75\e^{-0,8} +5\right ) - \left (-18,75\e^{0}+0 \right )\\
\phantom{\displaystyle\int_{0}^{1} f(t) \d t}
=  -18,75\e^{-0,8} +5 + 18,75
= 23,75 -18,75\e^{-0,8}
\approx 15,33$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C -- Étude locale}

\medskip

On étudie la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 
$f(t)= 15\e^{-0,8t} + 5.$

On rappelle que sa courbe représentative $\mathcal C$ est reproduite au début de la partie B.

Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de la la fonction $f$ au voisinage de $0$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
&PolynômeTaylor($f(t),t,0,2)$\\
1&\\
&$\bullet~~ 20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2$\\[8pt] 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item% Cette question est une question à choix multiple. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.

%Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de rapporte ne rapporte ni n'enlève de point.

On donne 3 propositions pour le développement limité de la fonction $f$ à l'ordre 2 au voisinage de 0:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}\hline
$20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2 + \varepsilon(t)$\newline avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$&$20 + \dfrac{24}{5}t^2$&$20 - 12t + 4,8t^2 + t^2\varepsilon(t)$\newline avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$\\[7pt] \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le développement limité de la fonction $f$ à l'ordre 2 au voisinage de zéro est :

$20 - 12t + 4,8t^2 + t^2\varepsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$

\item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$ est donc: \\
$y=20-12t$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une usine fabrique des tubes fluorescents. Des tests de conformité permettent de vérifier
si les tubes présentent un défaut.

%\begin{center}
%\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}
%\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles}

\medskip

L'entreprise possède deux ateliers de production des tubes: atelier 1 et atelier 2.

$\bullet~~$L'atelier 1 produit 30\,\% des tubes.
\begin{itemize}
\item[$\circ$] Parmi eux, 1,5\,\% présentent un défaut.
\end{itemize}
$\bullet~~$L'atelier 2 produit 70\,\% des tubes.
\begin{itemize}
\item[$\circ$] Parmi eux, 2,5\,\% présentent un défaut.
\end{itemize}

On prélève au hasard un tube parmi la production totale de l'usine. On définit les évènements suivants :

$\bullet~~$ $A_1$ : \og le tube provient de l'atelier 1 \fg{} ;

$\bullet~~$ $A_2$ : \og le tube provient de l'atelier 2 \fg{} ;

$\bullet~~$ $D$ : \og le tube présente un défaut \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On réalise un arbre pondéré décrivant la situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_1$}\naput{$0,30$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$0,015$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,015=0,985$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_2$}\nbput{$0,70$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{$0,025$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,025=0,975$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item $P\left(A_1 \cap D\right) = P(A_1)\times P_{A_1}(D) = 0,30\times 0,015=\np{0,0045}$

\item %Montrer que $P(D) = 0,022$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(D)=P(A_1\cap D) + P(A_2\cap D) = \np{0,0045} + 0,70\times 0,025 = 0,022$

\item On sait que le tube ne présente pas de défaut.

La probabilité qu'il provienne de l'atelier 2 est:

$P_{\overline{D}}(A_2) = \dfrac{P\left ( A_2\cap \overline{D}\right )}{P\left (\overline{D}\right )}= \dfrac{0,70\times 0,975}{1-0,022} \approx 0,698$

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -  Durée de vie des tubes fluorescents}

\medskip

On considère la variable aléatoire $T$ qui, à tout tube fluorescent prélevé au hasard dans le stock, associe sa durée de bon fonctionnement en heure.

On suppose que $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0001}$. 

%On rappelle les formules suivantes:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{Loi exponentielle}\\ \hline
%$P(T \leqslant t) = 1 - \e^{- \lambda t}$& $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'espérance $E(T)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
L'espérance de la variable aléatoire $T$ est $E(T)=\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{\np{0,0001}} = \np{10000}$.

La durée de vie moyenne d'un tube fluorescent est donc de \np{10000} heures.

\item %Calculer la probabilité que la durée de bon fonctionnement du tube fluorescent prélevé soit inférieure à \np{8000} heures est:
$P(T \leqslant t) = 1 - \e^{- \lambda t}$ donc $P(T\leqslant \np{8000}) = 1 - \e^{- \np{0,0001} \times \np{8000}}\approx 0,55$

Donc la probabilité, arrondie à $10^{-2}$,  que la durée de bon fonctionnement du tube fluorescent prélevé soit inférieure à \np{8000} heures est de $0,55$.

\item %Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que la durée de bon fonctionnement du tube fluorescent prélevé soit supérieure à \np{10000} heures.

$P(T>\np{10000}) = 1-P(T\leqslant \np{10000}) 
= 1-\left (1 - \e^{- \np{0,0001} \times \np{10000}}\right ) 
=  \e^{- \np{0,0001} \times \np{10000}} \approx 0,37$

Donc la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que la durée de bon fonctionnement du tube fluorescent prélevé soit supérieure à \np{10000} heures est de $0,37$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Intervalle de confiance}

\medskip

La fixation des tubes fluorescents se fait à l'aide de rivets produits dans une usine. 
On cherche la proportion $p$ de rivets conformes parmi l'ensemble de la production.
Pour cela, on prélève au hasard dans la production un échantillon de \np{1000} rivets. Ce prélèvement peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.

On constate que, sur les \np{1000} rivets prélevés, $975$ d'entre eux sont conformes.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ est
$f=\dfrac{975}{\np{1000}}=0,975$. 

\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de \np{1000} rivets ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des rivets conformes.

On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\ds\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{\np{1000}}}$.

%On donne la formule suivante:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%Intervalle de confiance d'une proportion au niveau de confiance de 95\,\%.\\ \hline
%$\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

Un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ au niveau confiance de 95\,\% est:

\medskip

$\left[f - 1,96\ds\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\ds\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]\\[8pt]
\hspace*{1cm}= \left[0,975 - 1,96\ds\sqrt{\dfrac{0,975(1 - 0,975)}{\np{1000}}}~;~0,975 + 1,96\ds\sqrt{\dfrac{0,975(1 - 0,975)}{\np{1000}}}\right]\\[8pt]
\hspace*{1cm}\approx \left [ 0,965\;;\;0,985 \strut\right ]$
%\end{center}

%Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\end{document}