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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Mohamed Hassnaoui
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}

%\input{BTS2015_CGOcorrige-concordance}
\title{Corrigé du BTS CGO Métropole 13 mai 2015}
\author{Mohamed Hassnaoui\\ UPO lyon }
%\date{\today}
\maketitle

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%CORRIGE ******************
%********************
%\textbf{Corrigé de l'épreuve de maths BTS 2015 CGO }
\section*{Exercice 1 }

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé: $P(C)=0,02$ et $P(J)=0,03$
\item $P(E) = P(\text{\og le sac présente les deux défauts\fg}) = P(C\cap J)$.
Les évènements $C$ et $J$ sont indépendants donc $P(E)=P(C)\times P(J) = \np{0,0006}$
\item $P(D)= P(\text{\og le sac présente au moins un des deux défauts \fg}) = P(C \cup J) = P(C)+ P(J) - P(C\cap J) = 0,02 + 0,03 - \np{0,0006} = \np{0,0494}$. 
\item On peut remarquer que les évènements $A$ et $D$ sont complémentaires, donc $P(A) = 1- P(D)=0,9506$
\item On cherche $P_D(E) = \dfrac{P(D\cap E)}{P(D)}$, mais $D \cap E = E$, donc $P_D(E) = \dfrac{P(E)}{P(D)}\approx \np{0,0121}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Chaque prélèvement d'un  sac est une épreuve de Bernoulli, avec les deux évènements contraires : \textbf{succès} qui correspond à  un sac \textbf{défectueux} et échec qui correspond à  un sac non défectueux, d'après l'énoncé \textbf{P(succès)=0,0494}. Cette \textbf{même épreuve} est \textbf{répétée 40 fois}, de plus les épreuves sont \textbf{indépendantes} car le prélèvement des 40 sacs  est assimilé à  un tirage avec remise. La variable aléatoire  $X$ qui est égale au nombre de succès, à  l'issue de cette expérience aléatoire,  est la somme de 40 variables de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p = \np{0,0494}$. D'où $X$  suit la \textbf{loi binomiale de paramètres} \boldmath $n = 40$ \unboldmath \textbf{et} \boldmath$p = \np{0,0494}$\unboldmath. 

On écrit : $X \sim > \mathcal{B}(40~;~0,0494)$
\item La probabilité qu'il y ait exactement un sac défectueux \[P(X = 2) = 0,278\]
\item La probabilité qu'il y ait au moins 3 sacs non défectueux est:

\[P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2).~ \text{mais}~P(X \leqslant 2) \approx 0,683, ~\text {donc }~P(X\geqslant 3)\approx 0,317\] 
\end{enumerate}
  
\subsection*{Partie C}

\textbf{Rappel}:
 
Si $X \sim > \mathcal{N}(m~; \sigma)$, ~ pour tout réel $a$, strictement positif,

\textbf{i.} $P(X\leqslant m-a)= P(X\geqslant m + a)$ ;

\textbf{ii.} Si $P( m-a \leqslant X\leqslant  m + a) = 1 - \alpha$, alors $P(X \leqslant m - a) = P(X\geqslant m + a) = \dfrac{\alpha}{2}$

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item $ V \sim > \mathcal{N}(3,15~; ~0,1)$ (cette année les étudiants n'avaient pas la possibilité d'utiliser les fameuses tables de probabilité. Inutile de centrer et réduire,  il faut savoir utiliser la calculatrice en exploitant  les propriétés   de la densité de probabilité de la loi normale).
 
Dans cette question il fallait préciser que $a>0$. 
 
En effet, $P(3,15 - a\leqslant V\leqslant 3,15 + a) = 0,95 = 1 - 0,05$ est équivaut à  $P(3,15 - a \leqslant X) = 0,025$, avec une calculatrice on obtient : $3,15 - a \approx 2,95$, d'où \fbox{$a = 0,20$}

\medskip
 
\item Interprétation : $95\%$ des sacs ont un volume compris entre $2,95$ litres et $3,35$ litres.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item P(\og sac rejeté \fg) = $P(X < 2,9)$, avec une calculatrice on trouve $P(X < 2,9)\approx 0,006$
		\item On remarque que $P(X <2,9) = P(X <3,15 - 0,25)$, d'après le rappel ci-dessus,$P(X < 3,15 - 0,25) = P(X>3,15 + 0,25) = P(X > 3,4)$, finalement :\fbox{$P(X > 3,4) \approx 0,006$}.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\section*{Exercice 2 }

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Les points du nuage semblent alignés, on peut envisager un ajustement affine sur la période de 2004 à  2011.
		\item le coefficient de corrélation linéaire est $r \approx 0,997$, $r\approx 1$, donc les deux variables  $x$, rang de l'année et $y$,  taux d'équipement, sont fortement corrélées. Donc cette forte corrélation permet d'envisager  un ajustement affine (en tenant compte de la disposition des points du nuage).
	\end{enumerate}
\item Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est \[y=4,06x+41,68\]   La droite de régression passe par  le point moyen $G(4,5~;~58,9625)~$ et le point $M (10~;~82,309)$ (Voir annexe)
\item $x = 9$ est le rang de l'année 2012, d'après l'ajustement affine, le taux d'équipement est \fbox{$y_{2012}= 78,22\,\%$}.
 
\item On utilise toujours le même ajustement. On cherche $x$ tel que $4,06x + 41,68>85$, ce qui équivaut à  $x>10,67$. on peut en déduire que le taux d'équipement dépassera $85\%$ à  partir de l'année 2014.
\item On cherche $x$ tel que $4,06x + 41,68 = 100$, c'est à  dire $x \approx 14,36$, ce qui signifie le modèle d'ajustement employé montre qu'en 2018, le taux d'équipement dépassera les $100\,\%$, ce qui ne semble pas réaliste. Car à  très long terme on n'atteindra probablement pas un taux d'équipement de $100\,\%$
\end{enumerate}
% 
\subsection*{Partie B}

\[f(x) = - 0,154x^2 + 5,45x + 39,36\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item   $f$ est dérivable  sur $\R$ et $f'(x)= - 0,308x + 5,45$ , $f'$ s'annule en $x_0 = \frac{5,45}{0,308}\approx 17,68$
		\item $f'(x)\leqslant 0$ si $x \geqslant \frac{5,45}{0,308}=\frac{2725}{154} $ et $f'(x)\leqslant 0$ sur $\big[1~;~\frac{2725}{154}\big]$
		\item $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to +\infty}- 0,154x^2 = - \infty$ et $f(\frac{5,45}{0,308}) \approx 87,58 $.
		
$f(1) = - 0,154 + 5,45 + 39,36 = 44,656$.

Le tableau de variation complet de la fonction $f$ est
      
%\definecolor{qqqqtt}{rgb}{0.,0.,0.2}
%\definecolor{ffffff}{rgb}{1.,1.,1.}
%\begin{enumerate}gin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
%\clip(-0.3,-1.42) rectangle (6.3,2.32);
%\fill[color=ffffff] (0.,2.) -- (6.,2.) -- (6.,1.) -- (0.,1.) -- cycle;
%\draw [color=qqqqtt] (0.,2.)-- (6.,2.);
%\draw [color=qqqqtt] (6.,2.)-- (6.,1.);
%\draw [color=qqqqtt] (6.,1.)-- (0.,1.);
%\draw [color=qqqqtt] (0.,1.)-- (0.,2.);
%\draw (0.,1.)-- (0.,-1.);
%\draw (6.,1.)-- (6.,-1.);
%\draw (0.,-1.)-- (6.,-1.);
%\draw (1.,2.)-- (1.,-1.);
%\draw (0.38,1.84) node[anchor=north west] {$x$};
%\draw (1.12,1.94) node[anchor=north west] {$1$};
%\draw (2.8,2.14) node[anchor=north west] {$\frac{2725}{154}$};
%\draw (5.3,1.94) node[anchor=north west] {$+\infty$};
%\draw [->] (1.26,-0.82) -- (2.92,0.1);
%\draw [->] (3.78,0.16) -- (5.58,-0.72);
%\draw (5.3,-0.44) node[anchor=north west] {$-\infty$};
%\draw (2.9,0.58) node[anchor=north west] {$87,58$};
%\draw (0.,0.42)-- (6.,0.42);
%\draw (0.24,1.14) node[anchor=north west] {$f'(x)$};
%\draw (0.32,0.18) node[anchor=north west] {$f$};
%\draw (3.14,1.16) node[anchor=north west] {$0$};
%\draw (4.52,0.86) node[anchor=north west] {-};
%\draw (2.1,0.84) node[anchor=north west] {+};
%\end{tikzpicture}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$1$} \uput[u](4,2.35){$\frac{2725}{154}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f$}\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(4,2.25){$0$}
\rput(5.5,2.25){$-$}\uput[u](1.4,0){\footnotesize 44,656}\uput[d](4,2){\footnotesize 87,58}\uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Le coefficient directeur de la tangente à  la courbe de $f$ au point d'abscisse 1 est $f'(1) = 5,142$
      \item Pour tracer la courbe, on place les points remarquables, ici $(17,69~;~87,58)$, le maximum, puis on établit un tableau de valeurs :
      
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1		&6		&11		&16		&21		&26		&31\\ \hline
$y$&44,66	&66,52	&80,68	&87,14	&85,90	&76,96	&60,32\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
    \end{enumerate}

\medskip

%\bc
%\begin{enumerate}gin{Schunk}
%\begin{enumerate}gin{Soutput}
%   x     y
%  1 44.66
%  6 66.52
% 11 80.68
% 16 87.14
% 21 85.90
% 26 76.96
% 31 60.32
%\end{Soutput}
%\end{Schunk}
%\ec
\item D'après cet ajustement, le taux d'équipement dépassera $85\,\%$ pour les rangs 14 à 21 soit de 2017 à 2024 (voir annexe). 
\item 
    \begin{enumerate}
      \item $f(x)$ est un polynôme du second degré, son discriminant $\Delta>0$, donc l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions : $x_1 \approx  - 6,152$ et $x_2 \approx 41,542$ 
      \item  Sur une longue période le taux d'équipement ne peut pas s'annuler, ceci contredit le résultat obtenu dans 3. a., par conséquent l'ajustement de l'évolution du taux d'équipement par une fonction polynôme du second degré n'est pas réaliste.
      
\end{enumerate}
 \medskip
 \end{enumerate}
 
\subsection*{Partie C}
\[ g(x)=\dfrac{100}{1+1,47\text{e}^{- 0,17x}}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x) = \dfrac{100}{1 + 1,47\times 0} = 100$,
		\item Ce résultat permet de dire que la courbe de $g$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=100$ au voisinage de $+\infty$
		\item Cette limite permet d'affirmer que le taux d'équipement en micro-ordinateurs des ménages français atteindra $100\,\%$ à  long terme.
	\end{enumerate}
\item Le rang de l'année 2016 est $x = 13$, et $f(13) \approx 86,11$, donc en 2016 on peut espérer, avec ce modèle d'ajustement, un taux d'équipement de micro-ordinateur de l'ordre de $86\,\%$
\end{enumerate}  
%\bc
%\includegraphics{BTS2015_CGOcorrige-microOrdi}
% \ec
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.0625cm}
%\begin{pspicture*}(-5,-10)(35,100)
%%\psgrid
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(35,100)
%\psline(0,85)(35,85)
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{0}{35}{4.06 x mul 41.68 add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{35}{5.45 x mul 39.36 add x dup mul 0.154 mul sub}
%\psline[linestyle=dashed](13.6,0)(13.6,85)
%\psline[linestyle=dashed](21.8,0)(21.8,85)
%\psdots(4.5,59.95)(10,82.309)
%\uput[ul](4.5,59.95){$G$}\uput[ul](10,82.309){$M$}
%\end{pspicture*}

\newpage
\begin{center}
{\red \bf \Large Annexe à rendre avec la copie \\
Exercice 2 Partie A et B}
\end{center}
\rotatebox{-90}{
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-10)(37,110)
\def\xmin{0} \def\xmax{35} \def\ymin{0} \def\ymax{100}
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}
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\uput[ul](4.5,59.95){$G$}\uput[ul](10,82.309){$M$}
\uput[u](31,85){$y = 85$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
}

\end{center}		
\end{document}