\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\author{Olivier Garnier}\date{avril \oldstylenums{ 2019}}
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%licence Crative Commons
%CC BY-NC-SA 4.0
%Attribution [BY] (Attribution) : l'oeuvre peut être librement utilisée, à la condition de l'attribuer à l'auteur en citant son nom. Cela ne signifie pas que l'auteur est en accord avec l'utilisation qui est fait de ses oeuvres.
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% Extensions
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%encodage
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T1]{fontenc} % fournit un codage T1 (256 carac) au lieu de OT1 (128 carc)//T1 contient l'essentiel des caractères des langues de l'Europe de l'ouest. Il permet la gestion des césures de la majorité de ces langues/TS1 Encodage C'est un encodage compagnon de T1 qui permet l'accès à des glyphes de type symboles utilisés dans des textes.
\usepackage{lmodern} %toutes les polices de base pour l'écriture en latinmodern, evolution des computermodern

\usepackage{amsmath} %pour le mode maths avancé
\usepackage{amssymb} %pour le mode maths avancé mais inutile si mathdesign
\usepackage{amsfonts} %pour des polices maths plus jolies -->inutile si mathdesign
\usepackage{mathrsfs} %majuscule curvilignes type anglaises par ex \mathscr{A}
\usepackage{mathtools}%pour corriger des bugs de amsmath
\usepackage{nccmath}%amène les environnements taille medium (\mbinom,\mfrac...)
\usepackage{pifont}%une police de symboles
\usepackage{lastpage}%pour avoir une ref sur la dernière page
\usepackage{ifpdf}%pour déterminer le mode de compil
%utilisation
\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
\else
\usepackage[dvips,final]{graphicx}
\fi
\graphicspath{{Images/}}  % Sous-dossiers d'images (path relatif)
\usepackage{xspace}  % Pour rendre les espaces magiques à la fin de macros...
\usepackage{textcomp} %différents symboles et accents dont degré
\usepackage{array}     % Nouveau package de tableau-->remplace tabular
\usepackage{tabularx}  % Nouveau package de tableau de fixe largeur --> type de colonne X
\usepackage{paralist} % Redefinir les etiquettes des listes % ou \usepackage[flushleft,alwaysadjust]{paralist}
%\usepackage{enumitem}% Personnalisation des listes %% Exemple : \begin{enumerate}[label=$\bullet$]...
% Redéfinit les labels de numérotation de enumerate
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
        \renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
        \renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii)}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
% Met en forme les étiquettes des enumerate par défaut.
\setdefaultenum{\bfseries 1.}{\bfseries a.}{\itshape i.)}{}
% Définit les étiquettes des itemize par défaut.
%\setdefaultitem{}{}{}{}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fancyhdr} %réglages au début du corps du document

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%babel et dérivés
%gestion correcte de la typographie des langues
\usepackage[polutonikogreek,english,main=french,noconfigs]{babel} %francisation %options french, frenchb ou francais équivalentes depuis 2004 %à voir pour passer les options de langues en global (dans l'appel de la classe de doc)
%pour améliorer les notes de pied de page
\AddThinSpaceBeforeFootnotes\FrenchFootnotes
%pour ne pas avoir une espace parasite après la virgule, en mode math, on peut utliser {,}...ou si babel en mode french est chargé-->\DecimalMathComma %mais effet de bord dans la virgule comme séparateur de liste :( --> écrire alors (u,\ v) pour forcer l'espace
\DecimalMathComma %\StandardMathComma %rebascule
%pour l'espace entre groupe de trois chiffres avec commande \nombre
\usepackage[autolanguage,np]{numprint}%à charger après babel pour la détection auto de la langue-->vérifier si autolanguage est encore utile, il me semble que non //%pour appeler un nombre \np{12345} et avec unités \np[kg]{12}
\usepackage{microtype} %améliorations typographiques %à charger après babel


%---------------------------------------------------------------------------
%\usepackage{geometry} %The package pour gestion des marges, option a4paper récupérée de l'option globale au documentclass
%%marges=normales (par défaut)
%\geometry{tmargin=0.5cm} %marge du haut
%\geometry{bmargin=1cm} %marge du bas
%\geometry{lmargin=1.5cm} %marge de gauche
%\geometry{rmargin=1.5cm} %marge de droite
%\geometry{includeheadfoot} %zone en-tête et pied de page incluses dans le corps du document
%\geometry{head=1.5cm} %hauteur en-tête
%\geometry{headsep=0.5cm} %distance entre en-tête et texte
%\geometry{foot=1.5cm} %hauteur pied de page
%\geometry{nomarginpar} %pas d'espace pour les notes de marge (à droite du texte)
%%fin réglages geometry
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} 
%pstricks
\usepackage{pst-all}%censé fournir tous les packages pstricks...mais en fait il en manque :)
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-node,pst-grad,pst-coil,pst-blur,pst-fill,pst-circ,pst-eucl,pst-func}%y a du doublon, mais pas grave
\usepackage{auto-pst-pdf}




%-----------------------------------------------------------
%majuscules en roman en mode math-->uniquement dans le cas de packs de polices qui ne le fournissent pas (comme lmodern)
%amsmath doit être chargé pour la commande DeclareMathSymbol
\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B}
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\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z}

%-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Intervalles                                 
%définition en deux étapes :  
%-->d'abord une commande pour choisir comment formater les intervalles
\newcommand{\intervalle}[4]{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}
%-->hauteur automatique des crochets, mais quelques effets indésirables sur l'espacement, comme toujours :)
\newcommand{\Intervalle}[4]{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}
%-->puis la définition des quatre types d'intervalles avec ou sans adaptation de la taille des crochets ; on a mis un \mathclose{}\mathpunct{} au lieu d'un simple \, afin que l'espace disparaisse lorsque l'intervalle est en exposant ou en indice
\newcommand{\intervalleff}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\intervalleof}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\intervallefo}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{[}}
\newcommand{\intervalleoo}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{[}}
\newcommand{\Intervalleff}[2]{\Intervalle{[}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\Intervalleof}[2]{\Intervalle{]}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\Intervallefo}[2]{\Intervalle{[}{#1}{#2}{[}}
\newcommand{\Intervalleoo}[2]{\Intervalle{]}{#1}{#2}{[}}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


%\ds à la place de \displaystyle
\newcommand{\ds}{\displaystyle}


% un point-virgule avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\mathclose{}\mathpunct{};}} %là, l'espace disparaît en scriptsize

% raccourcis inférieur ou égal et supérieur ou égal
\newcommand{\ie}{\leqslant}  % inférieur ou égal
\newcommand{\se}{\geqslant}  % supérieur ou égal


%fonction expo et nombre de Napier
\DeclareMathOperator{\e}{e}


\renewcommand{\bar}{\overline}  % barre pour les conjugués qui s'adapte en taille, contrairement au \bar de base


%pour écrire tout en gras dans \textbf même ce qu'il y a en mode maths
\renewcommand{\textbf}[1]{\begingroup\bfseries\mathversion{bold}#1\endgroup}

%pour pouvoir faire des petites capitales grasses
\rmfamily
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\usepackage{eucal}


%----------------------------------- Fin du préambule -----------------------------%%%%%%%%%
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%filigrane
%\AddToShipoutPicture*{%
%\setlength{\unitlength}{1mm}%
%\put(100, 140){%
%\makebox(0,0){\rotatebox{60}{\lightgray{\mbox{\MONSTER{Tirage provisoire}\huge{ du 30 septembre}}}}}%
%               }%
%                      } 
%définition en-têtes et pieds de page
\pagestyle{fancy}  	 
% pour le nombre total de pages : \thepage/\pageref{LastPage}
%\thispagestyle{empty}
\lhead{} 	%haut de page gauche
\chead{} 	%haut de page centre
\rhead{} 	%haut de page droite
\lfoot{} 	%pied de page gauche
\cfoot{\textbf{\thepage ~/ \pageref{LastPage}}} %pied de page centré
\rfoot{} 	%pied de page droit 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 	%Trace un trait de séparation de largeur 0,6 point. Mettre 0pt pour supprimer le trait.
\renewcommand{\footrulewidth}{0.6pt} 	%Trace un trait de séparation de largeur 0,6 point. Mettre 0pt pour supprimer le 

\vspace*{-1.9cm}

\begin{center}
\textbf{\large Corrigé du BTS groupement A métropole-La Réunion 2018 \vphantom{$\dfrac{1^1}{1}$}}
\end{center}

\bigskip

\noindent\textsc{\textbf{Exercice 1\hfill 12 points}}

\medskip

%partie A
\begin{enumerate}
\item[\textbf{A-1}.] %Déterminer une solution particulière constante $x_0$ de l'équation différentielle (E).
On pose $x_0(t)=C$ avec $C$ constante réelle. On a $x'_0(t)=0$ et :
\[
x_0\text{ solution de (E)}\iff 2x'_0(t)+x_0(t)=6\iff 2\times0+C=6\iff C=6
\]
\textbf{La seule fonction constante solution est donc $x_0\colon t\longmapsto 6$}.
\item[\textbf{A-2}.] %Résoudre l'équation différentielle sans second membre $\left(\text{E}_0\right)~ 2x'(t) + x(t) = 0$.
En utilisant le formulaire avec $a=2$ et $b=1$, on a : \textbf{les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions $t\longmapsto k\e^{-\frac{1}{2}t}$ sur $\intervallefo{0}{+\infty}$ avec $k$ constante réelle}. 
\item[\textbf{A-3}.] %En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
On sait que les solutions de $(E)$ sont somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation sans second membre. On a donc : \textbf{les solutions de $(E)$ sont les fonctions $t\longmapsto 6+k\e^{-\frac{t}{2}}$ sur $\intervallefo{0}{+\infty}$, avec $k$ constante réelle}.
\item[\textbf{A-4}.] %Justifier que la fonction $s$ vérifie, pour tout $t \geqslant 0$ :\: $s(t) = 6\left(1 - \text{e}^{- \frac{t}{2}}\right)$.
On a $s$ solution de $(E)$ donc, pour $t\se0$, $s(t)=6+k\e^{-\frac{1}{2}t}$. Puisque $s(0)=0$, on a $6+k\e^{0}=0$, d'où $k=-6$. On a donc, pour $t\se0$ : $s(t)=6-6\e^{-\frac{1}{2}t}$, soit \textbf{$s(t)=6\left (1-\e^{-\frac{t}{2}}\right )$}.
\item[\textbf{A-5}.] %La représentation graphique de la fonction est donnée ci-dessous.
%\begin{center}
%\newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274}
%\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(11.5,6.5)
%\multips(0,0)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(11.5,0)}
%\multips(0,0)(1.0,0){13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,6.5)}
%\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(11.5,6.5)
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{11.5}{6*(1-EXP((-x)/2))}
%\begin{scriptsize}
%\rput(10.1,5.75){\red{$y=s(t)$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%Pour ce circuit on considère que la tension finale aux bornes du condensateur est de 6~V.
	\begin{enumerate}
		\item %Que représente cette valeur 6 pour la fonction $s$ ? On n'attend pas de justification.
La droite d'équation $y=6$ semble être une asymptote à la courbe en $+\infty$. 		\textbf{$6$ est la limite en $+\infty$ de la fonction $s$}.
		\item %Quel pourcentage de la tension finale a-t-on aux bornes du condensateur lorsque $t = 2$ ?
La tension finale est de \np[V]{6}	 et on a $s(2)=6(1-\e^{-1})\approx3,793$.
%Arrondir ce pourcentage à l'unité.
De plus : $\dfrac{3,793}{6}\times100\approx63,2$. On conclut : \textbf{à $t=2$, on a atteint environ $63\,\%$ de la tension finale}.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{A-6}.] %On considère que le condensateur est chargé lorsque la tension à ses bornes atteint 95\,\% de la tension finale. On dit alors que le condensateur est passé en régime permanent.
	\begin{enumerate}
		\item %Estimer graphiquement au bout de combien de temps le condensateur est chargé. Faire apparaitre sur le graphique fourni les traits nécessaires à la lecture graphique.
On a $6\times95/100=5,7$. On doit donc déterminer lorsque $s(t)\se5,7$. On construit la droite d'équation $y=5,7$. On regarde l'abscisse du point où la courbe la dépasse. On obtient : \textbf{le condensateur est chargé au bout d'environ 6 secondes}.		
		\item %Déterminer par la méthode de votre choix, que vous préciserez, une valeur approchée au centième de la durée nécessaire pour atteindre le régime permanent.
On résout algébriquement l'inéquation $s(t)>5,7$ :
\[
s(t)>5,7\iff 1-\e^{-\frac{t}{2}}>\dfrac{5,7}{6}\iff \e^{-t/2}<0,05\iff  -\dfrac{t}{2}<\ln(0,05)\iff t>-2\ln(0,05)
\]		
On a $-2\ln(0,05)=-2\ln\dfrac{5}{100}=2\ln\dfrac{100}{5}=\ln20^2=\ln(400)\approx5,99$.
Ainsi, \textbf{on atteint le régime permanent au bout de $5,99$ secondes}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%partie B
\begin{enumerate}
\item[\textbf{B-1}.] 
	\begin{enumerate}
		\item %Représenter la fonction $e$ dans le repère donné ci-dessous.
On a immédiatement :		
\begin{center}
\newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-0.9)(12,8)
\multips(0,0)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(-5,0)(11,0)}
\multips(-5,0)(1.0,0){17}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,7)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4.99,-1)(12,8)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{-(}(-5,0)(0,0)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{*-(}(0,6)(2,6)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{-}(2,0)(12,0)
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{11.5}{6*(1-EXP((-x)/2))}
%\begin{scriptsize}
%\rput(10.1,5.75){\red{$y=s(t)$}}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
		\item %Déterminer $E(p)$.
On a $\mathscr{L}[\mathcal{U}(t)]=\dfrac{1}{p}$ et $\mathscr{L}[\mathcal{U}(t-2)]=\dfrac{1}{p}\e^{-2p}$ (théorème du retard avec un retard de $2$).

Puisque $e(t)=6\mathcal{U}(t)-6\mathcal{U}(t-2)$, on a $E(p)=6\mathscr{L}[\mathcal{U}(t)]-6\mathscr{L}[\mathcal{U}(t-2)]$, donc \textbf{$E(p)=\dfrac{6}{p}-\dfrac{6}{p}\e^{-2p}$}.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{B-2}.] %On rappelle que pour $t$ différent de 0 et 2 : $2s'(t) + s(t) = e(t)$ et que $s(0) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire l'égalité obtenue en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'égalité :
%\[2s'(t) + s(t) = e(t)\ .\]
En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle, on a : 
\[2\mathscr{L}[s'(t)]+\mathscr{L}[s(t)]=E(p)\ .
\]
On sait que $\mathscr{L}[s'(t)]=pS(p)-s(0^+)=pS(p)$ puisque $s(0)=0$.

En reportant, on obtient : \textbf{$2pS(p)+S(p)=E(p)$}.
		\item %En déduire que : $S(p) = \dfrac{6}{p(2p + 1)} - \dfrac{6}{p(2p + 1)}\text{e}^{-2p}$.
On reprend ce qui précède :
\[
2pS(p)+S(p)=E(p)\iff (2p+1)S(p)=\dfrac{6}{p}-\dfrac{6}{p}\e^{-2p}\iff S(p)=\dfrac{6}{p(2p+1)}-\dfrac{6}{p(2p+1)}\e^{-2p}
\]
\textbf{On a bien obtenu l'égalité proposée}.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{B-3}.] %On recherche dans cette question l'original de $A(p) = \dfrac{6}{p(2p+1)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que : $\dfrac{6}{p(2p + 1)} = \dfrac{6}{p} - \dfrac{12}{2p+1}$.		
$\dfrac{6}{p}-\dfrac{12}{2p+1}=\dfrac{6(2p+1)-12p}{p(2p+1)}=\dfrac{6}{p(2p+1)}$, donc on a bien \textbf{$\dfrac{6}{p(2p+1)}=\dfrac{6}{p}-\dfrac{12}{2p+1}$}.		
		\item %Comme $\dfrac{12}{2p+1} = \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$, on peut écrire : $A(p) = \dfrac{6}{p} - \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$. En déduire l'original $a(t)$ de $A(p)$
		$A(p)=\dfrac{6}{p}-\dfrac{6}{p+\frac{1}{2}}$, donc $a(t)=\mathscr{L}^{-1}[A(p)]=6\mathscr{L}^{-1}\left [\dfrac{1}{p}\right ]-6\mathscr{L}^{-1}\left [\dfrac{1}{p+\frac{1}{2}}\right ]$.

À l'aide du formulaire, on déduit : \textbf{$a(t)=6\mathcal{U}(t)-6\e^{-\frac{1}{2}t}\mathcal{U}(t)$}.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{B-4}.] %En remarquant que $S(p) = A(p) - A(p)\text{e}^{-2p}$, déduire des questions précédentes une expression de $s(t)$.
$S(p)=A(p) - A(p)\text{e}^{-2p}$, donc $s(t)=\mathscr{L}^{-1}[A(p)]-\mathscr{L}^{-1}[A(p)\e^{-2p}]$. Dans le terme $A(p)\text{e}^{-2p}$, on reconnaît un retard de $2$. Son original est donc $a(t-2)\mathcal{U}(t-2)$. Il suit $s(t)=a(t)\mathcal{U}(t)-a(t-2)\mathcal{U}(t-2)$.

En remplaçant $a(t)$ par son expression, on a finalement :
\[
s(t)=6\mathcal{U}(t)-6\e^{-\frac{1}{2}t}\mathcal{U}(t)-(6\mathcal{U}(t-2)-6\e^{-x\frac{1}{2}(t-2)}\mathcal{U}(t-2))
\]
soit \textbf{$s(t)=6\left (1-\e^{-\frac{1}{2}t}\right )\mathcal{U}(t)-6\left (1-\e^{-\frac{1}{2}(t-2)}\right )\mathcal{U}(t-2)$}.
\item[\textbf{B-5}.] %On s'intéresse dans cette question à la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervallefo{2}{\pli}$. On admet que pour $t \geqslant 2$ :\: $s(t) = 6(\text{e} - 1)\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier les variations de la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervallefo{2}{\pli}$.
	Pour $t\se2$: 	$s(t)=6(\e-1)\e^{-\frac{1}{2}t}$ induit $s'(t)=6(\e-1)\times\left (-\dfrac{1}{2}\right )\e^{-\frac{1}{2}t}$, donc $s'(t)=3(1-\e)\e^{-\frac{1}{2}t}$.
	
On a $3>0$, $1-e<0$ (car $e>1$) et $\e^{-\frac{1}{2}t}>0$ car une exponentielle est toujours strictement positive. On en déduit $\forall t\se 2$, $s'(t)<0$. On peut donc affirmer que \textbf{la fonction $s$ est décroissante sur $\intervallefo{2}{+\infty}$}.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $s$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Justifier.
		$\ds\lim_{t\to+\infty}\left (-\dfrac{1}{2}t\right )=-\infty$ et $\ds\lim_{T\to-\infty}\e^T=0$, donc, par composition, on a $\ds\lim_{t\to+\infty}\e^{-\frac{1}{2}t}=0$.
		
On en déduit par opérations \textbf{$\ds\lim_{t\to+\infty}s(t)=0$}.
	\end{enumerate}	
\item[\textbf{B-6}.] %On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervalleff{0}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Compléter la représentation graphique de $s$.
~\\
\begin{center}
\newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(11.5,6.5)
\multips(0,0)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(11.5,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,6.5)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(11.5,6.5)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{2}{6*(1-EXP((-x)/2))}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{2}{11}{6*(EXP(1)-1)*EXP(-x/2)}
\begin{footnotesize}
\rput(0.85,0.8){\red{$y=s(t)$}}
\end{footnotesize}
\end{pspicture*}

\end{center}		
		\item %Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la représentation graphique de la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervallefo{0}{\pli}$ obtenue.
Dans un premier temps, lorsque la tension à l'entrée est de \np[V]{6}, le condensateur se charge.	À $t=\np[s]{2}$, lorsque la tension à l'entrée devient nulle, le condensateur se décharge progressivement dans le circuit.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2\hfill 8 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{A-1}.] %\textbf{On suppose, dans cette question uniquement, que : } \boldmath$\sigma = 3,5$.\unboldmath
On a $R\hookrightarrow\mathcal{N}(200\pv3,5)$.
%Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit accepté? Arrondir à $0,01$ près.
La probabilité que le composant soit accepté est $P(195\ie R\ie 205)$ ; on l'évalue avec \texttt{normalFrép(195,205,200,3.5)}($\approx0,8469$). \textbf{La probabilité que le composant soit accepté est d'environ $0,85$}. 
\item[\textbf{A-2}.]  %Avec un meilleur réglage de la machine qui ne modifie pas $\mu$, mais qui agit sur $\sigma $, on souhaite pouvoir accepter 95\,\% des composants produits.
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est la probabilité que : $R \in  [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$ ? Arrondir à $0,01$ près.
		On centre et on réduit :
		\[
P(R\in	[\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma])=P(\mu-2\sigma\ie R \ie \mu+2\sigma)=P\left (-2\sigma\ie R-\mu \ie 2\sigma\right )=P\left (-2\ie \dfrac{R-\mu}{\sigma} \ie 2\right )
\]
On a $R\hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\pv \sigma)$, donc $\dfrac{R-\mu}{\sigma}$ suit la loi $\mathcal{N}(0\pv 1)$.
On obtient donc $P\left (-2\ie \dfrac{R-\mu}{\sigma} \ie 2\right )$ en tapant \texttt{normalFrép(-2,2,0,1)}($\approx0,9545)$. On a ainsi \textbf{$P(R\in	[\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma])\approx0,95$}.
		\item %On rappelle qu'un composant est accepté s'il admet une résistance électrique comprise entre $195$ et $205$ ohms.
%Quelle valeur peut-on donner à $\sigma$, en réglant la machine, pour que 95\,\% des composants produits soient acceptés ?
On veut que $P(195\ie R\ie 205)=0,95$.

On peut donc prendre en utilisant la question précédente $\mu-2\sigma=195$ et $\mu+2\sigma=205$.

Ceci conduit à $2\sigma=5$, donc on a \textbf{$\sigma=2,5$}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{enumerate}
\item[\textbf{B-1}.] %Représenter la situation par un arbre pondéré.
On note $D$ l'évènement  \og le composant a un défaut \fg. On obtient l'arbre ci-dessous.
\begin{center}
	%pour poser l'étiquette parallèlement à l'arête :
%	\psset{nrot=:U}
	%réglages dim arbre
	\psset{nodesep=0mm,levelsep=15mm,treesep=5mm}
	\pstree[treemode=R]{\Tr{}}
	{\pstree[ref=c]
	   {\Tr{$\ A \ $}\naput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize$0{,}6$}}
	   {\Tr{$\ D \ $}\naput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}05$}
	    \Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}95$}}
	\pstree[ref=c]   
	   {\Tr{$\ B \ $}\nbput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}4$}}
	   {\Tr{$\ D \ $}\naput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}08$}
	    \Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}92$}}
	}
\end{center}
\item[\textbf{B-2}.] 
\textbf{Affirmation 1 :} %Sachant que la pièce prélevée est produite par la machine B, la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse est:
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,368&\textbf{b.~~} 0,92 &\textbf{c.~~} 0,08 &\textbf{d.~~} 0,032
%\end{tabularx}
%\medskip
$P_B\left (\bar{D}\right ) = 0,92$, donc réponse \textbf{b}

\textbf{Affirmation 2 :} %La probabilité que la pièce prélevée soit produite par la machine A et qu'elle soit défectueuse est:
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,05 &\textbf{b.~~}0,92 &\textbf{c.~~} 0,03 &\textbf{d.~~} 0,95
%\end{tabularx}
%\medskip
$P(A\cap D)=0,6\times 0,05 = 0,03$, donc réponse \textbf{c}

\textbf{Affirmation 3 :} %La probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse est:
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,938 &\textbf{b.~~}0,13 &\textbf{c.~~} 0,062 &\textbf{d.~~} 0,065
%\end{tabularx}
%\medskip
$P(D)=0,6\times0,05+0,4\times 0,08=0,062$, donc réponse \textbf{c}

\textbf{Affirmation 4 :} %Sachant que la pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle ait été produite par la machine B est à $10^{-4}$ près:
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $0,5161$ &\textbf{b.~~} $0,0320$ &\textbf{c.~~} $0,0800$ &\textbf{d.~~} $0,483$
%\end{tabularx}
%\medskip
%\end{enumerate}
$P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,4\times0,08}{0,062}\approx0,5161$, donc réponse \textbf{a}
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{C-1}.] %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Donner ses paramètres.
Dans le tirage au hasard d'un composant, on prend pour succès l'évènement  \og il a un défaut \fg. La probabilité de ce succès est $0,06$. Constituer une boîte revient à répéter $150$ fois l'expérience dans des conditions d'indépendance. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès, donc \textbf{$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(150\pv 0,06)$}. 
\item[\textbf{C-2}.]  %Un client mécontent se présente : il a trouvé $18$ composants défectueux dans une boite.
%
%Un commercial de l'entreprise lui répond que moins de 2\,\% des boites commercialisées comportent plus de $15$ composants défectueux.
%\emph{Dans cette question, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.}
%
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement $18$~composants défectueux dans une boite.
La probabilité qu'il y ait exactement $18$ composants défectueux est $P(X=18)$.

On l'évalue par \texttt{binomFdp(0.023,0.06,18)}$(\approx0,0023)$. On a donc \textbf{$P(X=18)\approx0,002$}.		
		\item %Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $16$~composants défectueux dans une boite.
La probabilité qu'il y ait au moins $16$ composants défectueux est $P(X\se16)$.

On a $P(X\se 16)=1-P(X<16)=1-P(X\ie15)$.

On évalue $P(X\ie15)$ par \texttt{binomFrép(150,0.06,15)}($\approx0,9814$). On en déduit \textbf{$P(X\se16)\approx0,019$}.
		\item %Le commercial a-t-il raison ?
		Si on comprend la phrase du commercial (\og plus de 15 composants défectueux \fg) au sens strict (c'est-à-dire $P(X>15)$), on a : $P(X>15)=P(X\se16)\approx0,019<2\,\%$. \textbf{Le commercial a donc raison}.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{C-3}.]  %Estimer le nombre moyen de composants défectueux dans une boite.
On sait que si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n\pv p)$, on a $E(X)=np$. On a donc ici $E(X)=150\times0,06$, donc $E(X)=9$. \textbf{Le nombre moyen de composants défectueux par boîte est de $9$}.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}