\documentclass[10pt,a4paper]{article} \author{Olivier Garnier}\date{avril \oldstylenums{ 2019}} %-------------------------------------------------------- %licence Crative Commons %CC BY-NC-SA 4.0 %Attribution [BY] (Attribution) : l'oeuvre peut être librement utilisée, à la condition de l'attribuer à l'auteur en citant son nom. Cela ne signifie pas que l'auteur est en accord avec l'utilisation qui est fait de ses oeuvres. %Pas d'utilisation commerciale [NC] (Noncommercial) : le titulaire de droits peut autoriser tous les types d’utilisation ou au contraire restreindre aux utilisations non commerciales (les utilisations commerciales restant soumises à son autorisation). Elle autorise à reproduire, diffuser, et à modifier une oeuvre, tant que l'utilisation n'est pas commerciale. %Partage dans les mêmes conditions [SA] (ShareAlike) : le titulaire des droits peut autoriser à l'avance les modifications ; peut se superposer l'obligation (SA) pour les oeuvres dites dérivées d'être proposées au public avec les mêmes libertés que l'oeuvre originale (sous les mêmes options Creative Commons). %--------------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------------------------------------- % Extensions %---------------------------------------------------------------------------------------- %encodage \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[TS1,T1]{fontenc} % fournit un codage T1 (256 carac) au lieu de OT1 (128 carc)//T1 contient l'essentiel des caractères des langues de l'Europe de l'ouest. Il permet la gestion des césures de la majorité de ces langues/TS1 Encodage C'est un encodage compagnon de T1 qui permet l'accès à des glyphes de type symboles utilisés dans des textes. \usepackage{lmodern} %toutes les polices de base pour l'écriture en latinmodern, evolution des computermodern \usepackage{amsmath} %pour le mode maths avancé \usepackage{amssymb} %pour le mode maths avancé mais inutile si mathdesign \usepackage{amsfonts} %pour des polices maths plus jolies -->inutile si mathdesign \usepackage{mathrsfs} %majuscule curvilignes type anglaises par ex \mathscr{A} \usepackage{mathtools}%pour corriger des bugs de amsmath \usepackage{nccmath}%amène les environnements taille medium (\mbinom,\mfrac...) \usepackage{pifont}%une police de symboles \usepackage{lastpage}%pour avoir une ref sur la dernière page \usepackage{ifpdf}%pour déterminer le mode de compil %utilisation \ifpdf \usepackage[pdftex]{graphicx} \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \else \usepackage[dvips,final]{graphicx} \fi \graphicspath{{Images/}} % Sous-dossiers d'images (path relatif) \usepackage{xspace} % Pour rendre les espaces magiques à la fin de macros... \usepackage{textcomp} %différents symboles et accents dont degré \usepackage{array} % Nouveau package de tableau-->remplace tabular \usepackage{tabularx} % Nouveau package de tableau de fixe largeur --> type de colonne X \usepackage{paralist} % Redefinir les etiquettes des listes % ou \usepackage[flushleft,alwaysadjust]{paralist} %\usepackage{enumitem}% Personnalisation des listes %% Exemple : \begin{enumerate}[label=$\bullet$]... % Redéfinit les labels de numérotation de enumerate \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)} \renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}} \renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii)} \renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}} % Met en forme les étiquettes des enumerate par défaut. \setdefaultenum{\bfseries 1.}{\bfseries a.}{\itshape i.)}{} % Définit les étiquettes des itemize par défaut. %\setdefaultitem{}{}{}{} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancyhdr} %réglages au début du corps du document %----------------------------------------------------------------------------------------- %babel et dérivés %gestion correcte de la typographie des langues \usepackage[polutonikogreek,english,main=french,noconfigs]{babel} %francisation %options french, frenchb ou francais équivalentes depuis 2004 %à voir pour passer les options de langues en global (dans l'appel de la classe de doc) %pour améliorer les notes de pied de page \AddThinSpaceBeforeFootnotes\FrenchFootnotes %pour ne pas avoir une espace parasite après la virgule, en mode math, on peut utliser {,}...ou si babel en mode french est chargé-->\DecimalMathComma %mais effet de bord dans la virgule comme séparateur de liste :( --> écrire alors (u,\ v) pour forcer l'espace \DecimalMathComma %\StandardMathComma %rebascule %pour l'espace entre groupe de trois chiffres avec commande \nombre \usepackage[autolanguage,np]{numprint}%à charger après babel pour la détection auto de la langue-->vérifier si autolanguage est encore utile, il me semble que non //%pour appeler un nombre \np{12345} et avec unités \np[kg]{12} \usepackage{microtype} %améliorations typographiques %à charger après babel %--------------------------------------------------------------------------- %\usepackage{geometry} %The package pour gestion des marges, option a4paper récupérée de l'option globale au documentclass %%marges=normales (par défaut) %\geometry{tmargin=0.5cm} %marge du haut %\geometry{bmargin=1cm} %marge du bas %\geometry{lmargin=1.5cm} %marge de gauche %\geometry{rmargin=1.5cm} %marge de droite %\geometry{includeheadfoot} %zone en-tête et pied de page incluses dans le corps du document %\geometry{head=1.5cm} %hauteur en-tête %\geometry{headsep=0.5cm} %distance entre en-tête et texte %\geometry{foot=1.5cm} %hauteur pied de page %\geometry{nomarginpar} %pas d'espace pour les notes de marge (à droite du texte) %%fin réglages geometry \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} %pstricks \usepackage{pst-all}%censé fournir tous les packages pstricks...mais en fait il en manque :) \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-node,pst-grad,pst-coil,pst-blur,pst-fill,pst-circ,pst-eucl,pst-func}%y a du doublon, mais pas grave \usepackage{auto-pst-pdf} %----------------------------------------------------------- %majuscules en roman en mode math-->uniquement dans le cas de packs de polices qui ne le fournissent pas (comme lmodern) %amsmath doit être chargé pour la commande DeclareMathSymbol \DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A} \DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B} \DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C} \DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D} \DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{`E} \DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{`F} \DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{`G} \DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{`H} \DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{`I} \DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{`J} \DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{`K} \DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{`L} \DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{`M} \DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{`N} \DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{`O} \DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{`P} \DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{`Q} \DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{`R} \DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{`S} \DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{`T} \DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{`U} \DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{`V} \DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{`W} \DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X} \DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y} \DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z} %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- % Intervalles %définition en deux étapes : %-->d'abord une commande pour choisir comment formater les intervalles \newcommand{\intervalle}[4]{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}} %-->hauteur automatique des crochets, mais quelques effets indésirables sur l'espacement, comme toujours :) \newcommand{\Intervalle}[4]{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4} %-->puis la définition des quatre types d'intervalles avec ou sans adaptation de la taille des crochets ; on a mis un \mathclose{}\mathpunct{} au lieu d'un simple \, afin que l'espace disparaisse lorsque l'intervalle est en exposant ou en indice \newcommand{\intervalleff}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{]}} \newcommand{\intervalleof}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{]}} \newcommand{\intervallefo}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{[}} \newcommand{\intervalleoo}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{[}} \newcommand{\Intervalleff}[2]{\Intervalle{[}{#1}{#2}{]}} \newcommand{\Intervalleof}[2]{\Intervalle{]}{#1}{#2}{]}} \newcommand{\Intervallefo}[2]{\Intervalle{[}{#1}{#2}{[}} \newcommand{\Intervalleoo}[2]{\Intervalle{]}{#1}{#2}{[}} %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ %\ds à la place de \displaystyle \newcommand{\ds}{\displaystyle} % un point-virgule avec un peu d'espace autour pour les intervalles \newcommand{\pv}{\ensuremath{\mathclose{}\mathpunct{};}} %là, l'espace disparaît en scriptsize % raccourcis inférieur ou égal et supérieur ou égal \newcommand{\ie}{\leqslant} % inférieur ou égal \newcommand{\se}{\geqslant} % supérieur ou égal %fonction expo et nombre de Napier \DeclareMathOperator{\e}{e} \renewcommand{\bar}{\overline} % barre pour les conjugués qui s'adapte en taille, contrairement au \bar de base %pour écrire tout en gras dans \textbf même ce qu'il y a en mode maths \renewcommand{\textbf}[1]{\begingroup\bfseries\mathversion{bold}#1\endgroup} %pour pouvoir faire des petites capitales grasses \rmfamily \DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \usepackage{eucal} %----------------------------------- Fin du préambule -----------------------------%%%%%%%%% \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %filigrane %\AddToShipoutPicture*{% %\setlength{\unitlength}{1mm}% %\put(100, 140){% %\makebox(0,0){\rotatebox{60}{\lightgray{\mbox{\MONSTER{Tirage provisoire}\huge{ du 30 septembre}}}}}% % }% % } %définition en-têtes et pieds de page \pagestyle{fancy} % pour le nombre total de pages : \thepage/\pageref{LastPage} %\thispagestyle{empty} \lhead{} %haut de page gauche \chead{} %haut de page centre \rhead{} %haut de page droite \lfoot{} %pied de page gauche \cfoot{\textbf{\thepage ~/ \pageref{LastPage}}} %pied de page centré \rfoot{} %pied de page droit \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} %Trace un trait de séparation de largeur 0,6 point. Mettre 0pt pour supprimer le trait. \renewcommand{\footrulewidth}{0.6pt} %Trace un trait de séparation de largeur 0,6 point. Mettre 0pt pour supprimer le \vspace*{-1.9cm} \begin{center} \textbf{\large Corrigé du BTS groupement A métropole-La Réunion 2018 \vphantom{$\dfrac{1^1}{1}$}} \end{center} \bigskip \noindent\textsc{\textbf{Exercice 1\hfill 12 points}} \medskip %partie A \begin{enumerate} \item[\textbf{A-1}.] %Déterminer une solution particulière constante $x_0$ de l'équation différentielle (E). On pose $x_0(t)=C$ avec $C$ constante réelle. On a $x'_0(t)=0$ et : \[ x_0\text{ solution de (E)}\iff 2x'_0(t)+x_0(t)=6\iff 2\times0+C=6\iff C=6 \] \textbf{La seule fonction constante solution est donc $x_0\colon t\longmapsto 6$}. \item[\textbf{A-2}.] %Résoudre l'équation différentielle sans second membre $\left(\text{E}_0\right)~ 2x'(t) + x(t) = 0$. En utilisant le formulaire avec $a=2$ et $b=1$, on a : \textbf{les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions $t\longmapsto k\e^{-\frac{1}{2}t}$ sur $\intervallefo{0}{+\infty}$ avec $k$ constante réelle}. \item[\textbf{A-3}.] %En déduire les solutions de l'équation différentielle (E). On sait que les solutions de $(E)$ sont somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation sans second membre. On a donc : \textbf{les solutions de $(E)$ sont les fonctions $t\longmapsto 6+k\e^{-\frac{t}{2}}$ sur $\intervallefo{0}{+\infty}$, avec $k$ constante réelle}. \item[\textbf{A-4}.] %Justifier que la fonction $s$ vérifie, pour tout $t \geqslant 0$ :\: $s(t) = 6\left(1 - \text{e}^{- \frac{t}{2}}\right)$. On a $s$ solution de $(E)$ donc, pour $t\se0$, $s(t)=6+k\e^{-\frac{1}{2}t}$. Puisque $s(0)=0$, on a $6+k\e^{0}=0$, d'où $k=-6$. On a donc, pour $t\se0$ : $s(t)=6-6\e^{-\frac{1}{2}t}$, soit \textbf{$s(t)=6\left (1-\e^{-\frac{t}{2}}\right )$}. \item[\textbf{A-5}.] %La représentation graphique de la fonction est donnée ci-dessous. %\begin{center} %\newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274} %\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} %\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} %\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(11.5,6.5) %\multips(0,0)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(11.5,0)} %\multips(0,0)(1.0,0){13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,6.5)} %\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(11.5,6.5) %\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{11.5}{6*(1-EXP((-x)/2))} %\begin{scriptsize} %\rput(10.1,5.75){\red{$y=s(t)$}} %\end{scriptsize} %\end{pspicture*} %\end{center} %Pour ce circuit on considère que la tension finale aux bornes du condensateur est de 6~V. \begin{enumerate} \item %Que représente cette valeur 6 pour la fonction $s$ ? On n'attend pas de justification. La droite d'équation $y=6$ semble être une asymptote à la courbe en $+\infty$. \textbf{$6$ est la limite en $+\infty$ de la fonction $s$}. \item %Quel pourcentage de la tension finale a-t-on aux bornes du condensateur lorsque $t = 2$ ? La tension finale est de \np[V]{6} et on a $s(2)=6(1-\e^{-1})\approx3,793$. %Arrondir ce pourcentage à l'unité. De plus : $\dfrac{3,793}{6}\times100\approx63,2$. On conclut : \textbf{à $t=2$, on a atteint environ $63\,\%$ de la tension finale}. \end{enumerate} \item[\textbf{A-6}.] %On considère que le condensateur est chargé lorsque la tension à ses bornes atteint 95\,\% de la tension finale. On dit alors que le condensateur est passé en régime permanent. \begin{enumerate} \item %Estimer graphiquement au bout de combien de temps le condensateur est chargé. Faire apparaitre sur le graphique fourni les traits nécessaires à la lecture graphique. On a $6\times95/100=5,7$. On doit donc déterminer lorsque $s(t)\se5,7$. On construit la droite d'équation $y=5,7$. On regarde l'abscisse du point où la courbe la dépasse. On obtient : \textbf{le condensateur est chargé au bout d'environ 6 secondes}. \item %Déterminer par la méthode de votre choix, que vous préciserez, une valeur approchée au centième de la durée nécessaire pour atteindre le régime permanent. On résout algébriquement l'inéquation $s(t)>5,7$ : \[ s(t)>5,7\iff 1-\e^{-\frac{t}{2}}>\dfrac{5,7}{6}\iff \e^{-t/2}<0,05\iff -\dfrac{t}{2}<\ln(0,05)\iff t>-2\ln(0,05) \] On a $-2\ln(0,05)=-2\ln\dfrac{5}{100}=2\ln\dfrac{100}{5}=\ln20^2=\ln(400)\approx5,99$. Ainsi, \textbf{on atteint le régime permanent au bout de $5,99$ secondes}. \end{enumerate} \end{enumerate} %partie B \begin{enumerate} \item[\textbf{B-1}.] \begin{enumerate} \item %Représenter la fonction $e$ dans le repère donné ci-dessous. On a immédiatement : \begin{center} \newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274} \newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-5,-0.9)(12,8) \multips(0,0)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(-5,0)(11,0)} \multips(-5,0)(1.0,0){17}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,7)} \psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4.99,-1)(12,8) \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{-(}(-5,0)(0,0) \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{*-(}(0,6)(2,6) \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{-}(2,0)(12,0) %\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{11.5}{6*(1-EXP((-x)/2))} %\begin{scriptsize} %\rput(10.1,5.75){\red{$y=s(t)$}} %\end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \item %Déterminer $E(p)$. On a $\mathscr{L}[\mathcal{U}(t)]=\dfrac{1}{p}$ et $\mathscr{L}[\mathcal{U}(t-2)]=\dfrac{1}{p}\e^{-2p}$ (théorème du retard avec un retard de $2$). Puisque $e(t)=6\mathcal{U}(t)-6\mathcal{U}(t-2)$, on a $E(p)=6\mathscr{L}[\mathcal{U}(t)]-6\mathscr{L}[\mathcal{U}(t-2)]$, donc \textbf{$E(p)=\dfrac{6}{p}-\dfrac{6}{p}\e^{-2p}$}. \end{enumerate} \item[\textbf{B-2}.] %On rappelle que pour $t$ différent de 0 et 2 : $2s'(t) + s(t) = e(t)$ et que $s(0) = 0$. \begin{enumerate} \item %Écrire l'égalité obtenue en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'égalité : %\[2s'(t) + s(t) = e(t)\ .\] En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle, on a : \[2\mathscr{L}[s'(t)]+\mathscr{L}[s(t)]=E(p)\ . \] On sait que $\mathscr{L}[s'(t)]=pS(p)-s(0^+)=pS(p)$ puisque $s(0)=0$. En reportant, on obtient : \textbf{$2pS(p)+S(p)=E(p)$}. \item %En déduire que : $S(p) = \dfrac{6}{p(2p + 1)} - \dfrac{6}{p(2p + 1)}\text{e}^{-2p}$. On reprend ce qui précède : \[ 2pS(p)+S(p)=E(p)\iff (2p+1)S(p)=\dfrac{6}{p}-\dfrac{6}{p}\e^{-2p}\iff S(p)=\dfrac{6}{p(2p+1)}-\dfrac{6}{p(2p+1)}\e^{-2p} \] \textbf{On a bien obtenu l'égalité proposée}. \end{enumerate} \item[\textbf{B-3}.] %On recherche dans cette question l'original de $A(p) = \dfrac{6}{p(2p+1)}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que : $\dfrac{6}{p(2p + 1)} = \dfrac{6}{p} - \dfrac{12}{2p+1}$. $\dfrac{6}{p}-\dfrac{12}{2p+1}=\dfrac{6(2p+1)-12p}{p(2p+1)}=\dfrac{6}{p(2p+1)}$, donc on a bien \textbf{$\dfrac{6}{p(2p+1)}=\dfrac{6}{p}-\dfrac{12}{2p+1}$}. \item %Comme $\dfrac{12}{2p+1} = \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$, on peut écrire : $A(p) = \dfrac{6}{p} - \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$. En déduire l'original $a(t)$ de $A(p)$ $A(p)=\dfrac{6}{p}-\dfrac{6}{p+\frac{1}{2}}$, donc $a(t)=\mathscr{L}^{-1}[A(p)]=6\mathscr{L}^{-1}\left [\dfrac{1}{p}\right ]-6\mathscr{L}^{-1}\left [\dfrac{1}{p+\frac{1}{2}}\right ]$. À l'aide du formulaire, on déduit : \textbf{$a(t)=6\mathcal{U}(t)-6\e^{-\frac{1}{2}t}\mathcal{U}(t)$}. \end{enumerate} \item[\textbf{B-4}.] %En remarquant que $S(p) = A(p) - A(p)\text{e}^{-2p}$, déduire des questions précédentes une expression de $s(t)$. $S(p)=A(p) - A(p)\text{e}^{-2p}$, donc $s(t)=\mathscr{L}^{-1}[A(p)]-\mathscr{L}^{-1}[A(p)\e^{-2p}]$. Dans le terme $A(p)\text{e}^{-2p}$, on reconnaît un retard de $2$. Son original est donc $a(t-2)\mathcal{U}(t-2)$. Il suit $s(t)=a(t)\mathcal{U}(t)-a(t-2)\mathcal{U}(t-2)$. En remplaçant $a(t)$ par son expression, on a finalement : \[ s(t)=6\mathcal{U}(t)-6\e^{-\frac{1}{2}t}\mathcal{U}(t)-(6\mathcal{U}(t-2)-6\e^{-x\frac{1}{2}(t-2)}\mathcal{U}(t-2)) \] soit \textbf{$s(t)=6\left (1-\e^{-\frac{1}{2}t}\right )\mathcal{U}(t)-6\left (1-\e^{-\frac{1}{2}(t-2)}\right )\mathcal{U}(t-2)$}. \item[\textbf{B-5}.] %On s'intéresse dans cette question à la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervallefo{2}{\pli}$. On admet que pour $t \geqslant 2$ :\: $s(t) = 6(\text{e} - 1)\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$. \begin{enumerate} \item %Étudier les variations de la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervallefo{2}{\pli}$. Pour $t\se2$: $s(t)=6(\e-1)\e^{-\frac{1}{2}t}$ induit $s'(t)=6(\e-1)\times\left (-\dfrac{1}{2}\right )\e^{-\frac{1}{2}t}$, donc $s'(t)=3(1-\e)\e^{-\frac{1}{2}t}$. On a $3>0$, $1-e<0$ (car $e>1$) et $\e^{-\frac{1}{2}t}>0$ car une exponentielle est toujours strictement positive. On en déduit $\forall t\se 2$, $s'(t)<0$. On peut donc affirmer que \textbf{la fonction $s$ est décroissante sur $\intervallefo{2}{+\infty}$}. \item %Déterminer la limite de la fonction $s$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Justifier. $\ds\lim_{t\to+\infty}\left (-\dfrac{1}{2}t\right )=-\infty$ et $\ds\lim_{T\to-\infty}\e^T=0$, donc, par composition, on a $\ds\lim_{t\to+\infty}\e^{-\frac{1}{2}t}=0$. On en déduit par opérations \textbf{$\ds\lim_{t\to+\infty}s(t)=0$}. \end{enumerate} \item[\textbf{B-6}.] %On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervalleff{0}{2}$. \begin{enumerate} \item %Compléter la représentation graphique de $s$. ~\\ \begin{center} \newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274} \newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(11.5,6.5) \multips(0,0)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(11.5,0)} \multips(0,0)(1.0,0){13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,6.5)} \psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(11.5,6.5) \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{2}{6*(1-EXP((-x)/2))} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{2}{11}{6*(EXP(1)-1)*EXP(-x/2)} \begin{footnotesize} \rput(0.85,0.8){\red{$y=s(t)$}} \end{footnotesize} \end{pspicture*} \end{center} \item %Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la représentation graphique de la fonction $s$ sur l'intervalle $\intervallefo{0}{\pli}$ obtenue. Dans un premier temps, lorsque la tension à l'entrée est de \np[V]{6}, le condensateur se charge. À $t=\np[s]{2}$, lorsque la tension à l'entrée devient nulle, le condensateur se décharge progressivement dans le circuit. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2\hfill 8 points}} \medskip \begin{enumerate} \item[\textbf{A-1}.] %\textbf{On suppose, dans cette question uniquement, que : } \boldmath$\sigma = 3,5$.\unboldmath On a $R\hookrightarrow\mathcal{N}(200\pv3,5)$. %Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit accepté? Arrondir à $0,01$ près. La probabilité que le composant soit accepté est $P(195\ie R\ie 205)$ ; on l'évalue avec \texttt{normalFrép(195,205,200,3.5)}($\approx0,8469$). \textbf{La probabilité que le composant soit accepté est d'environ $0,85$}. \item[\textbf{A-2}.] %Avec un meilleur réglage de la machine qui ne modifie pas $\mu$, mais qui agit sur $\sigma $, on souhaite pouvoir accepter 95\,\% des composants produits. \begin{enumerate} \item %Quel est la probabilité que : $R \in [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$ ? Arrondir à $0,01$ près. On centre et on réduit : \[ P(R\in [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma])=P(\mu-2\sigma\ie R \ie \mu+2\sigma)=P\left (-2\sigma\ie R-\mu \ie 2\sigma\right )=P\left (-2\ie \dfrac{R-\mu}{\sigma} \ie 2\right ) \] On a $R\hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\pv \sigma)$, donc $\dfrac{R-\mu}{\sigma}$ suit la loi $\mathcal{N}(0\pv 1)$. On obtient donc $P\left (-2\ie \dfrac{R-\mu}{\sigma} \ie 2\right )$ en tapant \texttt{normalFrép(-2,2,0,1)}($\approx0,9545)$. On a ainsi \textbf{$P(R\in [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma])\approx0,95$}. \item %On rappelle qu'un composant est accepté s'il admet une résistance électrique comprise entre $195$ et $205$ ohms. %Quelle valeur peut-on donner à $\sigma$, en réglant la machine, pour que 95\,\% des composants produits soient acceptés ? On veut que $P(195\ie R\ie 205)=0,95$. On peut donc prendre en utilisant la question précédente $\mu-2\sigma=195$ et $\mu+2\sigma=205$. Ceci conduit à $2\sigma=5$, donc on a \textbf{$\sigma=2,5$}. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{enumerate} \item[\textbf{B-1}.] %Représenter la situation par un arbre pondéré. On note $D$ l'évènement \og le composant a un défaut \fg. On obtient l'arbre ci-dessous. \begin{center} %pour poser l'étiquette parallèlement à l'arête : % \psset{nrot=:U} %réglages dim arbre \psset{nodesep=0mm,levelsep=15mm,treesep=5mm} \pstree[treemode=R]{\Tr{}} {\pstree[ref=c] {\Tr{$\ A \ $}\naput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize$0{,}6$}} {\Tr{$\ D \ $}\naput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}05$} \Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}95$}} \pstree[ref=c] {\Tr{$\ B \ $}\nbput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}4$}} {\Tr{$\ D \ $}\naput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}08$} \Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput[labelsep=0.1mm]{\scriptsize $0{,}92$}} } \end{center} \item[\textbf{B-2}.] \textbf{Affirmation 1 :} %Sachant que la pièce prélevée est produite par la machine B, la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse est: % %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~~} 0,368&\textbf{b.~~} 0,92 &\textbf{c.~~} 0,08 &\textbf{d.~~} 0,032 %\end{tabularx} %\medskip $P_B\left (\bar{D}\right ) = 0,92$, donc réponse \textbf{b} \textbf{Affirmation 2 :} %La probabilité que la pièce prélevée soit produite par la machine A et qu'elle soit défectueuse est: % %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~~} 0,05 &\textbf{b.~~}0,92 &\textbf{c.~~} 0,03 &\textbf{d.~~} 0,95 %\end{tabularx} %\medskip $P(A\cap D)=0,6\times 0,05 = 0,03$, donc réponse \textbf{c} \textbf{Affirmation 3 :} %La probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse est: % %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~~} 0,938 &\textbf{b.~~}0,13 &\textbf{c.~~} 0,062 &\textbf{d.~~} 0,065 %\end{tabularx} %\medskip $P(D)=0,6\times0,05+0,4\times 0,08=0,062$, donc réponse \textbf{c} \textbf{Affirmation 4 :} %Sachant que la pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle ait été produite par la machine B est à $10^{-4}$ près: % %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~~} $0,5161$ &\textbf{b.~~} $0,0320$ &\textbf{c.~~} $0,0800$ &\textbf{d.~~} $0,483$ %\end{tabularx} %\medskip %\end{enumerate} $P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,4\times0,08}{0,062}\approx0,5161$, donc réponse \textbf{a} \end{enumerate} \begin{enumerate} \item[\textbf{C-1}.] %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Donner ses paramètres. Dans le tirage au hasard d'un composant, on prend pour succès l'évènement \og il a un défaut \fg. La probabilité de ce succès est $0,06$. Constituer une boîte revient à répéter $150$ fois l'expérience dans des conditions d'indépendance. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès, donc \textbf{$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(150\pv 0,06)$}. \item[\textbf{C-2}.] %Un client mécontent se présente : il a trouvé $18$ composants défectueux dans une boite. % %Un commercial de l'entreprise lui répond que moins de 2\,\% des boites commercialisées comportent plus de $15$ composants défectueux. %\emph{Dans cette question, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.} % \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement $18$~composants défectueux dans une boite. La probabilité qu'il y ait exactement $18$ composants défectueux est $P(X=18)$. On l'évalue par \texttt{binomFdp(0.023,0.06,18)}$(\approx0,0023)$. On a donc \textbf{$P(X=18)\approx0,002$}. \item %Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $16$~composants défectueux dans une boite. La probabilité qu'il y ait au moins $16$ composants défectueux est $P(X\se16)$. On a $P(X\se 16)=1-P(X<16)=1-P(X\ie15)$. On évalue $P(X\ie15)$ par \texttt{binomFrép(150,0.06,15)}($\approx0,9814$). On en déduit \textbf{$P(X\se16)\approx0,019$}. \item %Le commercial a-t-il raison ? Si on comprend la phrase du commercial (\og plus de 15 composants défectueux \fg) au sens strict (c'est-à-dire $P(X>15)$), on a : $P(X>15)=P(X\se16)\approx0,019<2\,\%$. \textbf{Le commercial a donc raison}. \end{enumerate} \item[\textbf{C-3}.] %Estimer le nombre moyen de composants défectueux dans une boite. On sait que si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n\pv p)$, on a $E(X)=np$. On a donc ici $E(X)=150\times0,06$, donc $E(X)=9$. \textbf{Le nombre moyen de composants défectueux par boîte est de $9$}. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}