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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 23 février 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes  23 février 2014~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}
\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

%D'après les statistiques du concours des douanes, sur les candidats aux épreuves de contrôleur de l'année $X$, on pouvait dire que :
%
%\begin{itemize}
%\item 55\,\% tentaient ce concours pour la première fois;
%\item 40\,\% le tentaient pour la seconde fois ;
%\item 5\,\% étaient au moins à leur troisième tentative;
%\item 60\,\% de ceux qui le tentaient pour la première fois concouraient pour la branche surveillance ;
%\item 80\,\% de ceux qui le tentaient pour la seconde fois concouraient pour la branche des opérations commerciales ;
%\item 10\,\% de ceux qui le tentaient pour au moins la troisième fois concouraient pour la branche surveillance.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%En choisissant un des candidats au concours de contrôleur de l'année $X$, on note :
%
%\begin{itemize}
%\item $O$ l'évènement: \og le candidat concourt pour la branche des opérations commerciales \fg 
%\item $S$ l'évènement: \og le candidat concourt pour la seconde fois \fg
%\item $P$ l'évènement: \og le candidat concourt pour la première fois \fg
%\item $T$ l'évènement: \og le candidat concourt pour au moins la troisième fois \fg
%\end{itemize}
%
%On notera $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$. L'évènement contraire de $E$ sera noté $\overline{E}$. $p_F(E)$ désignera la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ par rapport à l'évènement $F$.
%
%D'autre part, on supposera que les candidats doivent choisir entre la branche de la surveillance et la branche des opérations commerciales et ne peuvent concourir dans les deux branches.
%
%Les probabilités seront données sous forme décimale au millième près.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donnez $p_P\left(\overline{O}\right),\: p_S(O)$ et $p_T\left(\overline{O}\right)$.
$\bullet~~$Sur les 55\,\% candidats à leur première tentative, 40\,\% concouraient pour la branche des opérations commerciales, donc $p_P\left(\overline{O}\right) = 0,55 \times 0,4 = 0,22$.

$\bullet~~$$p_S(O) = 0,8$ (énoncé) ;

$\bullet~~$$p_T\left(\overline{O}\right) = 0,10$ (énoncé).
\item ~%Construisez un arbre pondéré résumant la situation.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{~$P~~$}\taput{0,55}}
	{\TR{$O~~$}\taput{0,4}
	\TR{$\overline{O}~~$}\tbput{0,6}
	}
\pstree{\TR{$S~~$}\taput{0,40}}
	{\TR{$O~~$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{O}~~$}\tbput{0,2}
	}
	\pstree{\TR{$T~~$}\tbput{0,05}}
	{\TR{$O~~$}\taput{0,9}
	\TR{$\overline{O}~~$}\tbput{0,1}
	}
}
\end{center}

\item %Calculez la probabilité de l'évènement : \og le candidat tente le concours pour la première fois et concourt dans la branche des opérations commerciales \fg.
Il faut calculer $p(P \cap O) = p(P) \times p_P(O) = 0,55 \times 0,4 = 0,22$.
\item On calcule de même : $p(S \cap O) = 0,4 \times 0,8 = 0,32$ et $p(T \cap O) = 0,05 \times 0,9 = 0,045$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(O) = p(P \cap O) + p(S \cap O) + p(T \cap O) = 0,22 + 0,32 + 0,045 = 0,585$.
%Montrez que la probabilité de l'évènement $O$ est égale à $0,585$.
\item %On choisit un candidat au hasard parmi ceux qui concourent pour la branche des opérations commerciales.

%Calculez la probabilité que ce soit sa première participation au concours.
Il faut trouver $p_O(P) = \dfrac{p(O \cap P)}{p(O)} = \dfrac{p(P \cap O}{p(O)}  = \dfrac{0,22}{0,585} \approx 0,376$.
\item %On choisit à présent trois candidats de façon aléatoire et de manière indépendante.

%Calculez la probabilité qu'il s'agisse de candidats concourant dans la branche des opérations commerciales.
On suppose qu'il y a assez de candidats pour que les choix d'un candidat soit une épreuve indépendante des autres  : la probabilité de choisir 3 candidats de la branche des opérations commerciales est donc $0,585^3 \approx 0,200$ au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit

\[f(x) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t\]

(on ne cherchera pas à expliciter $f(x)$)

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifiez que $f$ est définie et croissante sur $\R$.
On sait que quel que soit $x, f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$.

$f'(x)$ quotient de termes positif est positive donc la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
\item %Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un  repère orthonormal \Oij.

%Montrez que $\mathcal{C}$ passe par O et donnez l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$en O.
On a $f(0) = \displaystyle\int_0^0 \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$ intégrale sur un intervalle de largeur nulle, cette intégrale est nulle : $f(0) = 0$. O $\in \mathcal{C}$.
\item %Pour tout $x \in \left]-\frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right[$, on pose 

\[g(x) = f(\tan x) = \displaystyle\int_0^{\tan x} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t.\]

%Démontrez que $g$ est dérivable sur $\left]-\frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right[$ et déterminez $g'(x)$.
$g$ est dérivable comme fonction composée de fonctions dérivables et 

$g'(x) = f'(\tan x) \times (\tan x)' = \dfrac{1}{1 + \tan x^2} \times \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{1}\times \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1$.

%Déduisez-en une expression simple de $g(x)$ en fonction de $x$.
On a donc $g(x) = x + K$, avec $K \in \R$ et comme $g(0) = K = f(0) = 0$, on a $g(x) = x$.
\item ~%Définissez $f(1)$ et $f\left(\sqrt 3\right)$.

$\bullet~~$Avec $\tan x = 1$, on a $x = \dfrac{\pi}{4}$, donc $f(1) = \displaystyle\int_0^{1} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t = \dfrac{\pi}{4}$.

$\bullet~~$Avec $\tan x = \sqrt 3$, on a $x = \dfrac{\pi}{3}$, donc $f(\sqrt 3) = \displaystyle\int_0^{\sqrt 3} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t = \dfrac{\pi}{3}$.
\item %Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, on pose :

%\[h(x) = f(x) + f\left(\dfrac 1x\right) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t + \displaystyle\int_0^{\frac 1x} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t.\]

%Montrez que $h$ est constante et déterminez cette constante.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$.

La fonction $x \longmapsto \dfrac 1x$ est dérivable dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et à valeurs dans cet intervalle, donc la fonction $x \longmapsto f\left(\dfrac 1x\right)$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$.

Enfin la fonction $h$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

Pour $x \in ]0~;~+ \infty[, \: h'(x) = f'(x) + f'\left(\dfrac 1x\right) \times \left(- \dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{1 + \left(\frac 1x\right)^2}\times \left(- \dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{1 + x^2} - \dfrac{1}{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{1 + x^2} - \dfrac{1}{x^2 + 1} = 0$.

$h'(x) = 0$ sur $]0~;~+ \infty[$ entraîne $h(x) = K, \: K \in \R$.

En particulier  : $h(1) = f(1) + f\left(\frac{1}{1}\right) = 2f(1) = 2 \times \dfrac{\pi}{4}$ \: (d'après la question précédente), donc $h(1) = \dfrac{\pi}{2}$.

Quel que soit $x \in ]0~;~+ \infty[, \: f(x)  + f\left(\dfrac 1x\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
\item %Déterminez $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}h(x) = \dfrac{\pi}{2}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f\left(\frac 1x\right) = f(0) = 0$ ($f$ est dérivable donc continue en 0)

On a donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \dfrac{\pi}{2}$.
\item %Démontrez que $f$ est une fonction impaire.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ les courbes d'équations respectives
\begin{center} $y = x^3$ \qquad et \qquad $y = \dfrac 1x$\end{center} 

%Expliquez pourquoi $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C'}$ ne peuvent pas avoir de tangentes parallèles.
Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $x$ ont un coefficient directeur égal à 

$3x^2 \geqslant 0$, quel que soit $x \in \R$.

Les tangentes à la courbe $\mathcal{C'}$ en un point d'abscisse $x'$ ont un coefficient directeur égal à $- \dfrac{1}{x'^2} < 0$, quel que soit $x' \in \R$.

Donc $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C'}$ ne peuvent pas avoir de tangentes parallèles.
\bigskip
\end{document}