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%tapuscrit : Laurent Mérat
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\textbf{\textsl{Exercice \arabic{numeroexo} (sur #1) :}}}
%Corrigé et tapuscrit : L. Mérat, Lycée Les Lombards, Troyes
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\begin{document}
\titre{\decofourleft~Correction BTS Broupement B~\decofourright\\Nouvelle Calédonie Novembre 2010}

\exo{12}	

\emph{A.}
\medskip

\begin{enumerate}
\item $y'-3y=0 \Leftrightarrow y'= 3y$

$x\mapsto 3$ admet pour primitive $x\mapsto 3x$ donc les solutions sont de la forme $y=\lambda\text{e}^{3x}$
\item  $h(x) = - x\text e ^{3x}$, $h'(x) = - \text e ^{3x}- 3x\text e ^{3x}$

$h'(x) - 3h(x) = - \text e ^{3x}- 3x\text e ^{3x}+3x\text e ^{3x} = - \text e ^{3x}$

Donc $h$ est une solution particulière de (E). 
\item  Les solutions de l'équation différentielle (E) sont de la forme $y=\lambda\text{e}^{3x}- x\text e ^{3x}$. 
\item  $f(0) = 1 \Leftrightarrow \lambda\text{e}^{3\times0}- x\text e ^{3\times0} = 1 \Leftrightarrow \lambda-1=0\Leftrightarrow \lambda = 1$.

Donc, $f(x)=\text{e}^{3x}- x\text e ^{3x}$
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - x= -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text e ^{3x}=+\infty$
donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)=-\infty$.
		\item Réponse $C$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = -\text{e}^{3x}+3(1-x)\text{e}^{3x} = (3-3x-1)\text{e}^{3x} = (2 - 3x) \text{e}^{3x}$. 
		\item $f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow (2 - 3x)\text{e}^{3x} \geqslant 2-3x \geqslant 0 \Leftrightarrow 2 \geqslant 3x \Leftrightarrow \dfrac23 \geqslant x$	
		\item 
$\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x&-\infty& &\dfrac23& &+\infty\\
\hline
f'(x)& &+&0&-& \\
\hline
 & & &\dfrac13\text{e}^{2}& & \\
f(x)& &\nearrow& &\searrow& \\
 & & & & &-\infty\\
\hline
\end{array}$		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\text{e}^{3x} = 1 + 3x + \dfrac{(3x)^2}{2} + x^2\epsilon(x)=1 + 3x + \dfrac{(9x^2}{2} + x^2\epsilon(x) $ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0}\epsilon(x)= 0$
		\item  $f(x) = (1 - x)\left(1 + 3x +\dfrac{(9x^2}{2}\right)+x^2\epsilon_1(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0}\epsilon_1(x)=0$\\
Donc, $f(x) = 1 +3x +\dfrac{(9x^2}{2} - x - 3x^2 + x^2 \epsilon(x) = 1 + 2x + \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)$  avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$		 
 		\item  Réponse $B$
		\item  Réponse $B$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{C. }
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $I = \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\:\text{d}x
		= \displaystyle\int_{-1}^{1} (1-x)\text{e}^{3x}\:\text{d}x
		= \left[\dfrac{(1-x)\text{e}^{3x}}{3}\right]_{-1}^{1}+\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{\text{e}^{3x}}{3}\:\text{d}x
		= 0-2\text{e}^{-3}+\left[\dfrac{\text{e}^{3x}}{9}\right]_{-1}^{1}$
		
$		= -2\text{e}^{-3}+\dfrac{\text{e}^{3}}{9}-\dfrac{\text{e}^{-3}}{9} = \dfrac{\text{e}^3 - 7\text{e}^{-3}}{9}$. 
		\item  $I\approx 2,19$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)\geqslant 0$ pour $x$ dans l'intervalle $[- 1~;~1]$. 
		\item $I$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan compris entre l'axe des abscisses et la courbe d'une part, les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$ .
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\exo{8}\emph{A.}

\begin{enumerate}
\item $X$ est la somme des résultats de 50 expériences indépendantes à deux issues possibles, l'issue favorable ayant une probabilité de $0,02$. $X$ suit donc une loi binomiale de paramètre $n=50$, $p = 0,02$ et $q=0,98$. 
\item $P(X = 0)= C_{50}^0\times 0,02^0\times 0,98^{50} \approx 0,36$ 
$P(X = 1)= C_{50}^1\times 0,02^1\times 0,98^{49} \approx 0,37$. 
\item La probabilité qu'au plus deux plaques soient défectueuses est :

$P(X \leq 2) = P(X = 0)+ P(X = 1)+P(X = 2)\\= C_{50}^0\times 0,02^0\times 0,98^{50} + C_{50}^1\times 0,02^1\times 0,98^{49}
+ C_{50}^2\times 0,02^2\times 0,98^{48} \approx 0,92$
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $L_{1}$ suit la loi $\mathcal{N}(550;1)$ donc $T_1 = \dfrac{L_{1}-550}{1} = L_{1}-550$ 
suit la loi $\mathcal{N}(0;1)$. Donc,

$P(548 \leqslant  L_{1} \leqslant 552)
= P(548-550 \leqslant  L_{1} -550\leqslant 552-550)
= P(-2 \leqslant  T_{1} -550\leqslant 2)
= \Pi(2)-\Pi(-2) =  \Pi(2)-(1- \Pi(2)) = 2\times \Pi(2)-1
= 2\times 0,9772-1 \approx 0,95$ 
\item La probabilité que la plaque soit conforme est :
$P((548 \leqslant  L_{1} \leqslant 552\cap(108 \leqslant L_{2} \leqslant 112))=\\
P(548 \leqslant  L_{1} \leqslant 552)\times P(108 \leqslant L_{2} \leqslant 112)$
($L_{1}$ et $L_{2}$ sont indépendantes)

$0,95\times0,95 \approx 0,90$
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue est $p=\dfrac{94}{100}= 0,94$. 
\item On pose $t$ tel que $\Pi(t)=\dfrac{1+0,95}{2} = 0,975$. D'apr\`es le formulaire,
$t=1,96$.

On pose $h = t\times \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}} = 
1,96\times \sqrt{\dfrac{0,94(1 - 0,94)}{100}} \approx 0,05$

Un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\,\% est :

$[0,94-0,05~;~0,94 + 0,05] = [0,89~;~0,99]$                                                                                                                                                                      \end{enumerate}
\end{document}