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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Corrigé (officiel) du brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Agencement de l'environnement architectural session 2009}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\bullet~$ On prend la valeur centrale de chacune des classes. \hfill 0,5 point
 
$\bullet~$ $m = 50,03$ et $\sigma = 0,27$ à $10^{-2}$ près. \hfill
 0,5 + 0,5 point 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $\bullet~$ On cherche $p(49,5 \leqslant X \leqslant 50,5)$ où $X$ suit la loi $\mathcal{N}(50~;~0,3)$. \hfill 0,5 point 

$\bullet~$ $T = \dfrac{X - 50}{0,3}$ suit la loi $\mathcal{N}(0~;~1)$ et $p(49,5 \leqslant X \leqslant 50,5) =$

$ p\left(- \dfrac{5}{3} \leqslant T \leqslant \dfrac{5}{3}\right)$ \hfill 0,5 point

$\bullet~$  $p\left(- \dfrac{5}{3} \leqslant T \leqslant \dfrac{5}{3}\right) = p\left(T \leqslant \dfrac{5}{3} \right) - p\left(T \leqslant -\dfrac{5}{3} \right) = p\left(T \leqslant \dfrac{5}{3} \right) - \left[1 - p\left(T \leqslant \dfrac{5}{3} \right) \right]$

$ = 2p\left(T \leqslant \dfrac{5}{3} \right) - 1$ \hfill 0,5 point

$\bullet~$ $p\left(T \leqslant \dfrac{5}{3} \right) = p(T \leqslant  1,67) = \nombre{0,9525}$ d'après la table. \hfill 0,5 point 

$\bullet~$ D'où $p( 49,5 \leqslant X \leqslant 50,5) = 2 \times \nombre{0,9525} -1 = 0,905$ à $10^{-3}$ près.  \hfill 0,5 point 
		\item La probabilité que la boule ne soit pas conforme est donc
		
		 $0,100$  \hfill 0,5 point 
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0,10$.  \hfill 1 point 
		\item  $\bullet~$ On cherche $p(Y = 0)$.\hfill 0,5 point
		 
$\bullet~$ Or $p(Y = 0) = \dbinom{4}{0} \times 0,1^0 \times (1- 0,1)^4 = 1\times 1 \times 0,9^4 \approx 0,66$ à 

$10^{-2}$ près \hfill 0,5 point 
 
$\bullet~$ On cherche $p (Y \leqslant  1) = P(Y = 0) + p(Y = 1)$. \hfill 0,5 point

$\bullet~$ Or $p(Y = 1) = \dbinom{4}{1} \times 0,1^1 \times 0,9^3 = 4 \times 0,1 \times 0,9^3$ \hfill 0,5 point

$\bullet~$ D'où $p(Y \leqslant 1) = 0,9^4 + 4\times  0,1 \times 0,9^3 \approx  0,95$ à $10^{-2}$ près. \hfill 0,5 point
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}
 
\begin{enumerate}
\item $\bullet~$ $y' = 2x y$  \hfill 0,5 point 
 
$\bullet~$ une primitive de $x \longmapsto   2x$ est $x \longmapsto x^2$, d'où $y(x) =  K\text{e}^{x^2},~ K \in \R$.  \hfill 1 point 
\item  	$\bullet~$ $g'(x) = a$ et $g'(x) - 2xg(x) = - 2ax^2 - 2bx + a$. 
\hfill 0,5 point
 
$\bullet~$ $g$ est solution de (E) si et seulement si $-2ax^2 - 2bx + a = -4x^2 + 2$ pour tout $x \in \R$, soit $a = 2$ et $b = 0$. $g$ définie par $g(x) = 2x$ est solution de (E).  \hfill 1 point 

$\bullet~$ $S = \left\{f/ f(x) = K\text{e}^{x^2} + 2x,~K \in \R  \right\}$
\hfill  1 point
 
\item  	$\bullet~$ On cherche $K$ tel que $f(0) = 1$. soit $K\text{e}^O + 0 =  1$, soit $K = 1$.  \hfill 0,5 point
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B :} 

\begin{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}
\item $\bullet~$ $h'(x)= \left(1\times \text{e}^{x^2} + x \times  2x\text{e}^{x^2}\right) + 0 = \left(1 + 2x^2\right)\text{e}^{x^2}$. 
\hfill 1 point 
 
\item $\bullet~$ Comme $\left(1+2x^2\right) > 0$ et $\text{e}^{x^2} >0$ sur $\R$ alors $h'(x) > 0$ 

sur $[-2~;~2]$.\hfill 0,5 point 
 
$\bullet~$ Et donc $h$ est strictement croissante sur $[-2~;~2]$. 
\hfill 0,5 point 

\item  $\bullet~$ $h$ est strictement croissante sur $[-2~;~2]$ avec $h (-0,66) < 0$ et

 $h(-0,65) > 0$.  \hfill 1,5 points
 
donc $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [-0,66~;~- 0,65]$.
 
Et comme $h(-0,65)$ est plus proche de $0$ que $h(-0,66)$, on prendra 

$\alpha \approx  -0,65$ à $0,01$ près. 

\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  $\bullet~$  $f'(x) = 2x\text{e}^{x^2} + 2 = 2\left(x\text{e}^{x^2} + 1 \right) = 2h(x)$  \hfill 1 point
\item  $\bullet~$

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(10,4) \psline(0,2)(10,2)\psline(0,3)(10,3)
\psline(2,0)(2,4) \psline(2.15,2)(2.15,3)
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(2.3,1.8)(5.5,0.25)
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(6.5,0.25)(9.7,1.8)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.15,3){$-2$} \uput[u](6,3){$\alpha$} \uput[u](9.8,3){2}
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(3.5,2.5){$-$} \rput(6,2.5){$0$} \rput(7.5,2.5){$+$}\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](6,0){$f(\alpha)$} 
\end{pspicture}\hfill 1,5 point
\end{center}
 
		\item  $\bullet~$ $f$ admet son minimum en $x \approx  -0,65$ à $0,01$ près.\hfill 0,5 point 

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\bullet~$ Le coefficient est $f'(0) = 2h(0) = 2.$ \hfill 0,5 point 
		\item $\bullet~$ Représentation \hfill 0,5 point
	\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-3,-0.5)(3,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.9,-0.5)(3,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=6,gridwidth=1pt](0,0)(-3,-0.5)(3,4.25)
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\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000]{-1.4}{0.932}{2.71828 x dup mul exp x 2 mul add}
\psline(-0.75,-0.5)(1.5,4)
\end{pspicture*}
\end{center} 


\end{document}