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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
%Corrigé : Michel Dumesnil
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle Calédonie novembre 2014}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2014\\ Comptabilité et gestion des organisations -- Corrigé\\
Nouvelle--Calédonie}}

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les défauts 1 et 2 sont deux évènements indépendants l'un de l'autre.
Il faut rechercher la probabilité suivante :

$p(A \cap B)= p(A) \times p(B)$

$p(A\cap B) = 0,02 \times 0,05 = 0,001$ ;  $p(A \cap B) = 0,001$.
\item Il faut rechercher la probabilité suivante :

$p(A \cup B) = p(A) + p (B) - p(A \cap B)$ ;

$p(A \cup B) = 0,02 + 0,05 - 0,001 = 0,069$ ;  $p (A\cup B)= 0,069$.
\item Il faut rechercher la probabilité suivante :

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = p\left(\overline{A} )\times p(\overline{B}\right)$ les évènements $A$ et $B$ sont indépendants donc les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont également :

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = (1 - 0,02) \times (1 - 0,05) = 0,98 \times 0,95 = 0,931$.

On peut aussi procéder ainsi :

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 1 - p (A \cup B)$

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 1 - p (A \cup B)$

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 1 - 0,069 = 0,931$ ;  $p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 0,931$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le prélèvement d'un composant est une expérience aléatoire à deux issues possibles :
		
$\bullet~~$succès : \og le composant est conforme \fg{} avec une probabilité $p = 0,93$ ;

$\bullet~~$échec : \og  le composant n'est pas conforme \fg{} avec une probabilité 

$q = 1 - p = 0,07$.

C'est une expérience de Bernoulli de paramètre $p = 0,93$.
		\item Le prélèvement de 100 composants au hasard de manière identique et indépendante est un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 100$ et 
		
$p = 0,93$.
		\item La variable aléatoire $X$ est associée au nombre de composants conformes parmi les $100$~composants prélevés. La variable aléatoire $X$ est donc associée au nombre de succès du schéma de Bernoulli.

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,93$ notée $\mathcal{B}(100~;~0,93)$.
\item E$(X) = n \times p$ ;
		
E$(X)= 100 \times 0,93 = 93$ ;  E$(X) = 93$.
		
$\sigma(X) = \sqrt{n\times p \times (1 - p)}$ ;
		
$\sigma(X) = \sqrt{100 \times 0,93 \times 0,07} = \sqrt{6,51} \approx 2,6$ ;  $\sigma(X) = 2,6$.
	\end{enumerate}
\item Il faut calculer la probabilité $p(F) = p(X = 100)$ à la calculatrice ou bien 

$p(X = 100) = \begin{pmatrix}100\\
100\end{pmatrix} \times 0,93^{100}\times 0,07^0 = 0,93^{100} \approx \np{0,0007}$ ;  $p(X=100) = 0,0007$.
\item Il faut calculer la probabilité $p(X \leqslant 98)$
(au moins 2 composants hors d'usage est équivalent à au plus 98 composants sont conformes)
	
$p(X \leqslant 98) = 1 - p(X > 99) = $

$1 - \begin{pmatrix}100\\
99\end{pmatrix} \times 0,93^{99} \times 0,07^1 - \begin{pmatrix}100\\
100\end{pmatrix} \times 0,93^{100} \times 0,07^{100} \approx 0,99$.
	
La probabilité qu'au moins 2 composants soient hors d'usage est égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(89 \leqslant Z \leqslant 95) = \np{0,7252}$.
\item $P(Z > 89) =1 - P(Z\leqslant 89)$ ; 
$P(Z > 89) = \np{0,9416}$
\item $P(Z \geqslant n) = 1 - P(Z < n) = 0,975$ ; 
$- p(Z < n) = 0,975 - 1$  ; 
$p(Z < n)=0,025$.

Par la calculatrice, on obtient $n = 88$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Nuage de points

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.014cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(7,1000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.5,-50)(7,1000)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{7}{126.429 x mul 82 add}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.75](1,256)(2,330)(3,423)(4,544)(5,698)(6,896)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2.25,linecolor=red](3.5,524.5)
\uput[r](3.5,524.5){\red $G$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Par la calculatrice, on obtient l'équation de la droite de régression de $y$ en $t$ est : $y = 126,429t + 82$.

Le coefficient de corrélation linéaire est égal à $r = 0,984$.
\item Voir le graphique : la droite passe par les points de coordonnées (0~;~82) et (5~;~714,145)
\item Coordonnées du point moyen $G$ :

$x_G = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6}= \dfrac{21}{6} = 3,5$ ; 

$y_G = \dfrac{256+330+423+544+698+896}{6} = \dfrac{3147}{6} = 524,5$.
Donc $G(3,5~;~524,5)$.
\item 2 ans après le lancement correspondent à $t = 8$ ;

$y = 126,429 \times 8 + 82 \approx \np{1093}$.

Le nombre de machines vendues 2 ans après le lancement est estimé à \np{1093}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_3 = u_1 \times q^2$
$u_3 = 256 q^2$.
\item $q^2 = \dfrac{423}{256} \Rightarrow 
q = \sqrt{\dfrac{423}{256}} \approx 1,29$.
\item On admet que $u_n = 256 \times 1,28^{n-1}$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.
	\begin{enumerate}
		\item 2 ans après le lancement correspondent à $n = 8$ donc $u_8 = 256 \times 1,28{8 - 1} = 256 \times 1,28^7 \approx \np{1441}$.
		
Le nombre de machines vendues est estimé à \np{1441}.
		\item Il faut résoudre l'inéquation $u_n > \np{2000}$ soit $256 \times 1,28^{n-1} > \np{2000}$ ou 
		
$1,28^{n-1} > \np{2000}$.

En passant par le logarithme népérien, on a :
		
$\ln \left(1,28n-1\right) > \ln \left(\dfrac{\np{2000}}{256}\right)$, car la fonction ln est croissante sur $]0~;~+\infty[$ :
		
$(n-1)\ln (1,28) > \ln\left(\frac{\np{2000}}{256}\right)$
		
$n -1 > \frac{\ln\left(\frac{\np{2000}}{256}\right)}{\ln(1,28)}$

$n > 1 + \frac{\ln\left(\frac{\np{2000}}{256}\right)}{\ln(1,28)}$

Finalement $n > 9,32$ ; 
$n$ est un entier donc $n = 10$.
		
C'est à partir du dixième trimestre que la quantité de machines dépassera \np{2000} machines
		
$n = 9  : u_9 = 256 \times 1,288   \approx \np{1845}$.
		
$n = 10 : u_{10} = 256 \times 1,289 \approx \np{2361}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_n = 256 \times 1,28^{n-1}$ ; 
$u_n = \dfrac{256 \times 1,28^n}{1,28} = 200 \times 1,28^n$.

Or $\ln (1,28n) = n \ln (1,28)$ et $\text{e}^{\ln \left(1,28^n\right)} = 1,28^n = \text{e}^{n\ln (1,28)} = \text{e}^{0,25n}$.

$u_n = 200 \times \text{e}^{0,25 n}$.

Il est exact de modéliser la quantité de machines par $u_n = f(n)$ avec 

$f (x) = 200 \text{e}^{0,25 x},\: f$ étant définie sur l'intervalle [1~;~10]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = 200\times 0,25 \times \text{e}^{0,25 x} = 50 \text{e}^{0,25 x}$.
		
$50>0$ et $\text{e}^{0,25 x}> 0$ donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur [1~;~10].
		\item Il faut résoudre l'inéquation suivante $f(x) > \np{5000}$, soit 
		
$200 \text{e}^{0,25 x} > \np{5000}$ ou $\text{e}^{0,25 x} > \dfrac{\np{5000}}{200}$ ou 

$\text{e}^{0,25 x} >25$ ; donc 

$\ln \left(\text{e}^{0,25 x}\right) > ln (25)$, la fonction logarithme népérien étant croissante sur [1~;~10 ]

$0,25 x > \ln (25)$ soit  $x > \frac{\ln (25)}{0,25}$ soit 
$x > 12,87$.

$f (12)=200 \text{e}^{0,25 \times 12} = 200 \text{e}^3 \approx \np{4017}$.

$f (13)= 200 \text{e}^{0,25 \times 13} = 200 \text{e}^{3,25} \approx \np{5158}$.

$x = 12$ correspond à un nombre de trimestres égal à 12 soit 3 ans.

Au delà de la troisième année, le modèle ne pourra plus convenir.
		\item $I = \displaystyle\int_1^{10}f(x)\:\text{d} x = \displaystyle\int_1^{10}\left(200 \text{e}^{0,25 x}\right)\:\text{d} x$
		
$I = \left[\dfrac{200}{0,25}\text{e}^{0,25 x}\right]_1^{10} = \left[800\text{e}^{0,25 x}\right]_1^{10} = 800\left(\text{e}^{0,25 \times 10} -  \text{e}^{0,25 \times 1}\right] = 800 \left(\text{e}^{2,5} - \text{e}^{0,25}\right)$.
		\item $V_m= \dfrac{1}{10 - 1}\times I = \dfrac{1}{9} I = \dfrac{800}{9}
\left(\text{e}^{2,5} - \text{e}^{0,25}\right) \approx 969$.

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10] est égal à $969$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}