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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parskip{5pt}

\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Métropole - corrigé}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- mai 2022~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\medskip

\textbf{Épreuve obligatoire}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 5 points}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune justification n'est demandée.\\
%Pour chaque question, une seule affirmation est exacte.\\
%Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à l'affirmation exacte.\\
%Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a \equiv 2\: [7]$ et $b \equiv 4\:[7]$.

À quelle valeur $(a + b)^{2022}$ est-il congru modulo $7$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}1 &\textbf{B :~~} : 6&\textbf{C :~~}4&\textbf{D :~~}$-4$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$a \equiv 2\: [7]$ et $b \equiv 4\:[7]$ donc $a+b \equiv 2+4\: [7]$ c'est-à-dire $a+b \equiv 6\:[7]$.

Or $6 \equiv -1\: [7]$ donc $a+b \equiv -1\: [7]$.

On en déduit que $(a+b)^{2022} \equiv (-1)^{2022}\: [7]$ donc que
$(a+b)^{2022} \equiv 1\: [7]$.

\hfill \textbf{Réponse A}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit $E = \{a~;~ b~;~c~;~d\}$ et $F = \{1~;~2~;~3\}$ deux ensembles.

Soit $f$ l'application de $E$ dans $F$ définie par le diagramme suivant:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,3.5)
\psellipse(0.6,1.7)(0.6,1.7)\psellipse(3.9,1.7)(0.6,1.7)
\psline{->}(0.8,2.7)(3.6,2.05)\uput[l](0.8,2.7){$a$}\uput[r](3.7,2){2}
\psline{->}(0.8,1.9)(3.7,2.7)\uput[l](0.8,1.9){$b$}\uput[r](3.7,2.7){1}
\psline{->}(0.8,1.2)(3.7,1)\uput[l](0.8,1.2){$c$}\uput[r](3.7,1){3}
\psline{->}(0.8,0.4)(3.6,1.95)\uput[l](0.8,0.4){$d$}\uput[r](3.7,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}$f$ est injective et non surjective. &\textbf{B :~~} $f$ est surjective et non injective.&\textbf{C :~~}f est bijective.&\textbf{D :~~}f est non injective et non surjective.
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
\textbullet~~$f(a)=f(d)=2$ donc $f$ n'est pas injective.

\textbullet~~Tout élément de $F$ admet un antécédent par $f$ dans $E$ donc $f$ est surjective.

\hfill \textbf{Réponse B}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Soit le nombre $343$ écrit en base dix. Son écriture en base seize est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}217&\textbf{B :~~}A3C&\textbf{C :~~}F7&\textbf{D :~~}157
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$343 =  1\times 16^2 + 5\times 16 + 7 = \overline{157}^{16}$ 

\hfill \textbf{Réponse D}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $n$ un entier relatif.

On considère l'égalité matricielle: $\begin{pmatrix}3&4&5\\-2&1&2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&4\\- 1&n\\3&- 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&-22\\3&- 18\end{pmatrix}$.

Elle est vérifiée pour :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}$n = - 3$&\textbf{B :~~}$n = 4$&\textbf{C :~~}$n = - 6$&\textbf{D :~~}$n = 5$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$\begin{pmatrix}3&4&5\\-2&1&2\end{pmatrix} 
\times 
\begin{pmatrix}1&4\\- 1&n\\3&- 2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}14 & 2+4n\\ 3 & -12+n \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}14 & 2+4n\\ 3 & -12+n \end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}14&-22\\3&- 18\end{pmatrix}
\iff n=-6$

\hfill \textbf{Réponse C}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $P$ la proposition : \og \emph{Si la télévision est allumée alors quelqu'un la regarde}. \fg

Parmi les expressions suivantes laquelle est équivalente à $P$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}Si la télévision n'est pas allumée
alors personne ne la regarde.&\textbf{B :~~}Si la télévision est allumée alors
personne ne la regarde&\textbf{C :~~}Si personne ne regarde la télévision alors la télévision n'est pas allumée.&\textbf{D :~~}Si personne ne regarde la télévision
alors la télévision est allumée.
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
Il s'agit d'une contraposée: $\left [p\implies q\strut\right ]$ équivaut à $\left [(\text{non }q) \implies (\text{non }p)\strut\right ]$.

\hfill \textbf{Réponse C}
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Les nombres premiers inférieurs à 25 sont:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23.

\item Pour voir si le nombre $623$ est un nombre premier, on le divise par tous les nombres premiers inférieurs à 623 dont le carré est inférieur ou égal à 623.

\textbullet~~$623 = 2\times 311+1$ donc 623 n'est pas divisible par 2.

\textbullet~~$623 = 3\times 207+2$ donc 623 n'est pas divisible par 3.

\textbullet~~$623 = 5\times 124+3$ donc 623 n'est pas divisible par 5.

\textbullet~~$623 = 7\times 89$ donc 623 n'est pas un nombre premier.

\item %Donner tous les diviseurs de 105.
$105=3\times 5 \times 7$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Les diviseurs de $3\times 5$ sont: 1, 3, 5 et 15.
\item Les diviseurs de $3\times 5 \times 7$ sont: 1, 3, 5 et 15, puis $1\times 7$, $3\times 7$, $5\times 7$ et $15\times 7$.
\end{list}

Les diviseurs de 105 sont donc: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 et 105.

\item On considère l'algorithme ci-dessous écrit en langage naturel où {Div} désigne une fonction de paramètre {Nbre}, {Nbre} étant un nombre entier supérieur ou égal à 2.

\smallskip

Algorithme en langage naturel:

\begin{center}
{
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Fonction} Div(Nbre)\\
\qquad Test $\gets  0$\\
\qquad \textbf{Pour} i allant de 1 à Nbre \textbf{Faire}\\
\qquad \quad \textbf{Si} le reste de la division de Nbre par i est égal à 0 \textbf{Faire}\\
\qquad \qquad Test $\gets$ Test + 1\\
\qquad \quad \textbf{Fin de Si}\\
\qquad \textbf{Fin de Pour}\\
\qquad Retourner Test\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Que renvoie {Div}(6) ? Justifier en expliquant le rôle de cette fonction.

\begin{list}{\textbullet}{On fait tourner la fonction {Div} en prenant 6 pour valeur de {Nbre}.}
\item Au début, $\text{Test}=0$.
\item Pour $\text{i}=1$: le reste de la division de 6 par 1 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 1.
\item Pour $\text{i}=2$: le reste de la division de 6 par 2 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 2.
\item Pour $\text{i}=3$: le reste de la division de 6 par 3 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 3.
\item Pour $\text{i}=4$: le reste de la division de 6 par 4 n'est pas 0, donc on ne fait rien.
\item Pour $\text{i}=5$: le reste de la division de 6 par 5 n'est pas 0, donc on ne fait rien.
\item Pour $\text{i}=6$: le reste de la division de 6 par 6 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 4.
\item La fonction renvoie le nombre 4.
\end{list}
		
La fonction {Div} compte le nombre de diviseurs de la variable {Nbre} à laquelle elle est appliquée.		
		
		\item On veut écrire une fonction {Prem} de paramètre {Nbre}, où {Nbre} est un nombre entier supérieur ou égal à 2, qui renvoie {Vrai} (ou {True}) si {Nbre} est premier, {Faux} (ou {False}) si {Nbre} n'est pas premier. 

%On pourra utiliser la fonction {Div}.

Un nombre entier supérieur ou égal à 2 est premier si et seulement si le nombre de ses diviseurs est égal à 2; il suffit donc de tester la valeur de la variable {Test} en fin d'algorithme. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Fonction} Prem(Nbre)\\
\qquad Test $\gets  0$\\
\qquad \textbf{Pour} i allant de 1 à Nbre \textbf{Faire}\\
\qquad \quad \textbf{Si} le reste de la division de Nbre par i est égal à 0 \textbf{Faire}\\
\qquad \qquad Test $\gets$ Test + 1\\
\qquad \quad \textbf{Fin de Si}\\
\qquad \textbf{Fin de Pour}\\
%\qquad Retourner Test\\ 
\blue \qquad \textbf{Si} Test = 2\\
\blue \qquad \quad \textbf{Alors} Afficher Vrai\\
\blue \qquad \quad \textbf{Sinon} Afficher Faux\\
\blue \qquad \textbf{Fin de Si}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un professeur de lycée souhaite aménager une salle de cours en salle vidéo pour l'option cinéma. Le professeur, responsable du projet, définit les tâches à réaliser avec leur durée.

Le tableau suivant regroupe l'ensemble de ces données.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tâche à réaliser&Repère&Durée en semaines&Tâches précédentes\\ \hline
Acceptation du projet par l'administration.&A&2&\\ \hline
Acceptation du projet par la région.&B&3&\\ \hline
Préparation de la salle.&C&6&A\\ \hline
Câblage électrique de la salle.&D&7&C, E\\ \hline
Choix du matériel vidéo.&E&4&A, B\\ \hline
Commande du matériel vidéo.&F&6&E\\ \hline
Installation du matériel vidéo.&G&2&D, F \\ \hline
Test et réglage du matériel vidéo.&H&1&G\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le but de cet exercice est d'ordonner la réalisation de ces tâches de façon à ce que la salle soit disponible le plus rapidement possible. 

On considère le graphe orienté correspondant
aux conditions d'antériorité données par le tableau précédent. 

Les sommets A, B, C, D, E, F{}, G et H représentent les repères des tâches à réaliser.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine le niveau de chacun des sommets du graphe.

\newpage

\begin{multicols}{2}
On part du tableau des prédécesseurs.\\
\\
On cherche les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de A et de B.\\
\\
Les sommets A et B sont donc de niveau 0.

\columnbreak


\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs\\
\hline
A & \\
\hline
B & \\
\hline
C & A\\
\hline
D & C - E\\
\hline
E & A - B\\
\hline
F &  E\\
\hline
G & D - F\\
\hline
H & G\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
On supprime dans le tableau les sommets de niveau 0, puis on cherche dans le nouveau  tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de C et E.\\
\\
Les sommets C et E sont donc de niveau 1.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs\\
\hline
\psCancel A & \\
\hline
\psCancel B & \\
\hline
C & \psCancel A\\
\hline
D & C - E\\
\hline
E & \psCancel A - \psCancel B\\
\hline
F &  E\\
\hline
G & D - F\\
\hline
H & G\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
On supprime dans le tableau les sommets de niveau 1, puis on cherche dans le nouveau  tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de D et F.\\
\\
Les sommets D et F sont donc de niveau 2.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs\\
\hline
\psCancel A & \\
\hline
\psCancel B & \\
\hline
\psCancel C & \psCancel A\\
\hline
D & \psCancel C - \psCancel  E\\
\hline
\psCancel E & \psCancel A - \psCancel B\\
\hline
F &  \psCancel E\\
\hline
G & D - F\\
\hline
H & G\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
On supprime dans le tableau les sommets de niveau 2, puis on cherche dans le nouveau  tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de G.\\
\\
Le sommet G est donc de niveau 3.\\
\\
Il reste le sommet H qui est donc de niveau 4.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs\\
\hline
\psCancel A & \\
\hline
\psCancel B & \\
\hline
\psCancel C & \psCancel A\\
\hline
\psCancel D & \psCancel C - \psCancel  E\\
\hline
\psCancel E & \psCancel A - \psCancel B\\
\hline
\psCancel F &  \psCancel E\\
\hline
G & \psCancel D - \psCancel F\\
\hline
H & G\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Niveaux & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
Sommets & A - B & C  - E & D - F & G & H\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\item On donne le tableau des successeurs de chacun des sommets du graphe.

\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs&\blue Successeurs\\
\hline
A & & \blue C - E\\
\hline
B & & \blue E\\
\hline
C & A & \blue D\\
\hline
D & C - E & \blue G\\
\hline
E & A - B & \blue D - F\\
\hline
F &  E & \blue G\\
\hline
G & D - F & \blue H\\
\hline
H & G & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item% Construire le graphe d'ordonnancement du projet (Méthode P{}. E. R. T. ou M. P{}. M.).
On construit par étapes le graphe d'ordonnancement du projet (méthode M. P. M.); pour cela on construit le graphe par niveaux en rajoutant une tâche fictive \og fin \fg{}.

%%%%% 1
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,0)(23,7)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[subgriddiv=2,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){\textbf{#1}}
\rput(-0.5,0.5){\blue{}#2}
\rput(0.5,0.5){\rb{}#3}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{}{}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{}{}}  
\cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{}{}}  
\cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{}{}} 
\cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{}{}}
\cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{}{}}  
\cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{}{}}  
\cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{}{}}  
\cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{}{}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{2}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{2}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{3}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{6}  
\ncline{->}{E}{D}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*{7}  
\ncline{->}{F}{G} \ncput*{6}  
\ncline{->}{G}{H}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{H}{I}    \ncput*{1}   
\end{pspicture} 
\end{center}

\item% Déterminer, pour chaque tâche, les dates au plus tôt et au plus tard.
Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tôt \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant du début. Puis pour chaque sommet, on note la date qui est la longueur du plus \textbf{long} chemin depuis le début.

%%%%% 2
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,0)(23,7)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[subgriddiv=2,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){\textbf{#1}}
\rput(-0.5,0.5){\blue{}#2}
\rput(0.5,0.5){\rb{}#3}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{0}{}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{}}  
\cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{2}{}}  
\cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{3}{}} 
\cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{8}{}}
\cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{7}{}}  
\cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{15}{}}  
\cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{17}{}}  
\cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{18}{}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{2}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{2}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{3}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{6}  
\ncline{->}{E}{D}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*{7}  
\ncline{->}{F}{G} \ncput*{6}  
\ncline{->}{G}{H}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{H}{I}    \ncput*{1}   
\end{pspicture} 
\end{center}

Ce graphe donne la durée minimale du projet qui est de 18 semaines.

Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tard \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant de la fin et en marquant 18 pour le sommet \og fin \fg{}.
La date \og au plus tard \fg{} d'une tâche s'obtient en retirant de la date au plus tard de la tâche qui lui succède sa propre durée.
S'il y a plusieurs successeurs, on garde la date la plus \textbf{petite}.

%%%%% 3
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,0)(23,7)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[subgriddiv=2,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){\textbf{#1}}
\rput(-0.5,0.5){\blue{}#2}
\rput(0.5,0.5){\rb{}#3}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{0}{0}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{1}}  
\cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{2}{2}}  
\cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{3}{4}} 
\cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{8}{8}}
\cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{7}{9}}  
\cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{15}{15}}  
\cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{17}{17}}  
\cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{18}{18}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{2}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{2}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{3}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{6}  
\ncline{->}{E}{D}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*{7}  
\ncline{->}{F}{G} \ncput*{6}  
\ncline{->}{G}{H}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{H}{I}    \ncput*{1}   
\end{pspicture} 
\end{center}


\item %En déduire le chemin critique et la durée minimale de réalisation du projet.
Le chemin critique passe par les sommets pour lesquels les dates \og au plus tôt \fg{} et \og au plus tard \fg{} coïncident.

Le chemin critique est donc: A $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ D $\longrightarrow$ G $\longrightarrow$ H $\longrightarrow$ fin.

\smallskip

La durée minimale de réalisation du projet est de 18 semaines.

\item La tâche E prend une semaine de retard.

La tâche E n'est pas dans le chemin critique; de plus il y a une semaine de décalage entre la date \og au plus tôt \fg{} et la date \og au plus tard \fg{} de E. Donc la semaine de retard de E n'aura aucune incidence sur la durée totale de ce projet.

\smallskip

On peut également refaire le graphe d'ordonnancement en considérant que la tâche E se réalise en 5 semaines et plus en 4 semaines.

%%%%% 4
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,0)(23,7)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[subgriddiv=2,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){\textbf{#1}}
\rput(-0.5,0.5){\blue{}#2}
\rput(0.5,0.5){\rb{}#3}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{0}{0}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{0}}  
\cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{2}{2}}  
\cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{3}{3}} 
\cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{8}{8}}
\cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{8}{9}}  
\cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{15}{15}}  
\cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{17}{17}}  
\cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{18}{18}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{2}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{2}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{3}  
\ncline{->}{C}{D}  \ncput*{6}  
\ncline{->}{E}{D}  \ncput*{\rb{}5}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*{\rb{}5}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*{7}  
\ncline{->}{F}{G} \ncput*{6}  
\ncline{->}{G}{H}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{H}{I}    \ncput*{1}   
\end{pspicture} 
\end{center}


%Quelle est l'incidence de ce retard sur la durée totale de ce projet ? Justifier.
On arrive heureusement à la même conclusion.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le gestionnaire du lycée considère que le projet est envisageable lorsqu'il satisfait à l'une
au moins des conditions suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et est de fabrication française.
\item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo n'est pas de fabrication française et il coûte moins de 500 euros;
\item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo  n'a pas été acheté dans un magasin local, est de fabrication française et a coûté moins de 500 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On définit les variables $a,\;b,\:c$ de la façon suivante:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a$ le matériel vidéo coûte moins de 500 euros et $\overline{a}$ le matériel vidéo
coute 500 euros ou plus ;
\item[$\bullet~~$]$b$ le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et $\overline{b}$  le matériel vidéo  n'est pas acheté dans un magasin local.
\item[$\bullet~~$]$c$  le matériel vidéo est de fabrication française et $\overline{c}$ le matériel vidéo n'est pas de fabrication française.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On écrit une expression booléenne $E$ traduisant que le projet est envisageable, à l'aide des variables booléennes $a$, $b$, $c$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et est de fabrication française correspond à $b.c$.
\item Le \og ou \fg{} se traduit par +.
\item Le matériel vidéo n'est pas de fabrication française et il coûte moins de 500 euros  correspond à $\barre c.a$.
\item Le \og ou \fg{} se traduit par +.
\item Le matériel vidéo  n'a pas été acheté dans un magasin local, est de fabrication française et a coûté moins de 500 euros correspond à $\barre b.c.a$.
\end{list}

Donc: $E=b.c + a.\barre c + a.\barre b.c$.

\item 
	\begin{enumerate}
%		\item À l'aide d'un tableau de Karnaugh, déterminer une écriture simplifiée de $E$ à deux termes.
	\item On représente l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh.

\begin{multicols}{3}
\begin{center}
$b.c$
\end{center}

{\footnotesize
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & \blue 1 &  \\
 \hline
1 & & & \blue 1& \\
 \hline
\end{tabular}
}

\columnbreak

\begin{center}
$a.\barre c$
\end{center}

{\footnotesize
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & & \\
 \hline
1 & \blue 1 &   &   & \blue 1  \\
 \hline
\end{tabular}
}

\columnbreak


\begin{center}
$a.\barre{b}.c$
\end{center}


{\footnotesize
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  & & \\
 \hline
1 &   &  \blue 1 & & \\
 \hline
\end{tabular}
}
\end{multicols}

\begin{center}
$E= b.c + a.\barre c  + a.\barre b.c$

\medskip

\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  & \blue 1 & \\
 \hline
1 &  \blue 1 &  \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

On en déduit une écriture simplifiée de l'expression booléenne $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.

\begin{pspicture}(-5,-2.5)(6,2)
%\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=orange]
%\uput[u](2.5,2){$E= b.c + a.\barre c + a.\barre b.c$}
\psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](1.8,-1.2)(4.7,-0.6)%%% a
\psline[linecolor=blue](4.7,-0.9)(5.1,-0.9) \uput[r](5.1,-0.9){\blue $a$}
\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](3.4,-1.3)(3.9,0.6)%%% b.c
\psline(3.65,-1.3)(3.65,-1.8) \uput[d](3.65,-1.8){$b.c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & &  & \blue 1 &   \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 &\blue 1  & \blue 1  & \blue 1  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

Donc $E=a+b.c$.

		\item %On déduit une interprétation simplifiée des conditions pour que le projet soit envisageable.
\begin{list}{\textbullet}{Le projet est envisageable lorsqu'il satisfait à l'une au moins des conditions suivantes:}
\item le matériel vidéo coûte moins de 500 euros (qui correspond à $a$);
\item le matériel vidéo est acheté dans un magasin local, et il est de fabrication française (qui correspond à $b.c$).
\end{list}

	\end{enumerate}
\item Dans le projet présenté, le matériel vidéo coûte plus de $500$ euros, n'est pas de fabrication française mais sera acheté localement.

Cela correspond à $\barre a.\barre c.b$ soit $\barre a.b.\barre c$.

On place, au moyen d'une croix rouge, cet événement dans la table de Karnaugh représentant $E$:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  & \blue 1 & \red $\times$\\
 \hline
1 &  \blue 1 &  \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

%Ce projet est-il envisageable ?
On peut en conclure que ce projet n'est pas envisageable.

\end{enumerate}
\end{document}
