\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol,diagbox} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\text{\,e\,}} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Métropole - corrigé} \lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Épreuve obligatoire}} \rfoot{\small{mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- mai 2022~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}} \medskip \textbf{Épreuve obligatoire} %\vspace{0,25cm} % %\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} % %\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} \smallskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 5 points} %\medskip % %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune justification n'est demandée.\\ %Pour chaque question, une seule affirmation est exacte.\\ %Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à l'affirmation exacte.\\ %Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \textbf{Question 1} \medskip Soit $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a \equiv 2\: [7]$ et $b \equiv 4\:[7]$. À quelle valeur $(a + b)^{2022}$ est-il congru modulo $7$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~}1 &\textbf{B :~~} : 6&\textbf{C :~~}4&\textbf{D :~~}$-4$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} $a \equiv 2\: [7]$ et $b \equiv 4\:[7]$ donc $a+b \equiv 2+4\: [7]$ c'est-à-dire $a+b \equiv 6\:[7]$. Or $6 \equiv -1\: [7]$ donc $a+b \equiv -1\: [7]$. On en déduit que $(a+b)^{2022} \equiv (-1)^{2022}\: [7]$ donc que $(a+b)^{2022} \equiv 1\: [7]$. \hfill \textbf{Réponse A} \end{tabular} \medskip \textbf{Question 2} \medskip Soit $E = \{a~;~ b~;~c~;~d\}$ et $F = \{1~;~2~;~3\}$ deux ensembles. Soit $f$ l'application de $E$ dans $F$ définie par le diagramme suivant: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.8,3.5) \psellipse(0.6,1.7)(0.6,1.7)\psellipse(3.9,1.7)(0.6,1.7) \psline{->}(0.8,2.7)(3.6,2.05)\uput[l](0.8,2.7){$a$}\uput[r](3.7,2){2} \psline{->}(0.8,1.9)(3.7,2.7)\uput[l](0.8,1.9){$b$}\uput[r](3.7,2.7){1} \psline{->}(0.8,1.2)(3.7,1)\uput[l](0.8,1.2){$c$}\uput[r](3.7,1){3} \psline{->}(0.8,0.4)(3.6,1.95)\uput[l](0.8,0.4){$d$}\uput[r](3.7,2){2} \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~}$f$ est injective et non surjective. &\textbf{B :~~} $f$ est surjective et non injective.&\textbf{C :~~}f est bijective.&\textbf{D :~~}f est non injective et non surjective. \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} \textbullet~~$f(a)=f(d)=2$ donc $f$ n'est pas injective. \textbullet~~Tout élément de $F$ admet un antécédent par $f$ dans $E$ donc $f$ est surjective. \hfill \textbf{Réponse B} \end{tabular} \medskip \textbf{Question 3} \medskip Soit le nombre $343$ écrit en base dix. Son écriture en base seize est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~}217&\textbf{B :~~}A3C&\textbf{C :~~}F7&\textbf{D :~~}157 \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} $343 = 1\times 16^2 + 5\times 16 + 7 = \overline{157}^{16}$ \hfill \textbf{Réponse D} \end{tabular} \medskip \textbf{Question 4} \medskip Soit $n$ un entier relatif. On considère l'égalité matricielle: $\begin{pmatrix}3&4&5\\-2&1&2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&4\\- 1&n\\3&- 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&-22\\3&- 18\end{pmatrix}$. Elle est vérifiée pour : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~}$n = - 3$&\textbf{B :~~}$n = 4$&\textbf{C :~~}$n = - 6$&\textbf{D :~~}$n = 5$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} $\begin{pmatrix}3&4&5\\-2&1&2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&4\\- 1&n\\3&- 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 & 2+4n\\ 3 & -12+n \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}14 & 2+4n\\ 3 & -12+n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&-22\\3&- 18\end{pmatrix} \iff n=-6$ \hfill \textbf{Réponse C} \end{tabular} \medskip \textbf{Question 5} \medskip Soit $P$ la proposition : \og \emph{Si la télévision est allumée alors quelqu'un la regarde}. \fg Parmi les expressions suivantes laquelle est équivalente à $P$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~}Si la télévision n'est pas allumée alors personne ne la regarde.&\textbf{B :~~}Si la télévision est allumée alors personne ne la regarde&\textbf{C :~~}Si personne ne regarde la télévision alors la télévision n'est pas allumée.&\textbf{D :~~}Si personne ne regarde la télévision alors la télévision est allumée. \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} Il s'agit d'une contraposée: $\left [p\implies q\strut\right ]$ équivaut à $\left [(\text{non }q) \implies (\text{non }p)\strut\right ]$. \hfill \textbf{Réponse C} \end{tabular} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points} %\medskip \begin{enumerate} \item Les nombres premiers inférieurs à 25 sont: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23. \item Pour voir si le nombre $623$ est un nombre premier, on le divise par tous les nombres premiers inférieurs à 623 dont le carré est inférieur ou égal à 623. \textbullet~~$623 = 2\times 311+1$ donc 623 n'est pas divisible par 2. \textbullet~~$623 = 3\times 207+2$ donc 623 n'est pas divisible par 3. \textbullet~~$623 = 5\times 124+3$ donc 623 n'est pas divisible par 5. \textbullet~~$623 = 7\times 89$ donc 623 n'est pas un nombre premier. \item %Donner tous les diviseurs de 105. $105=3\times 5 \times 7$ \begin{list}{\textbullet}{} \item Les diviseurs de $3\times 5$ sont: 1, 3, 5 et 15. \item Les diviseurs de $3\times 5 \times 7$ sont: 1, 3, 5 et 15, puis $1\times 7$, $3\times 7$, $5\times 7$ et $15\times 7$. \end{list} Les diviseurs de 105 sont donc: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 et 105. \item On considère l'algorithme ci-dessous écrit en langage naturel où {Div} désigne une fonction de paramètre {Nbre}, {Nbre} étant un nombre entier supérieur ou égal à 2. \smallskip Algorithme en langage naturel: \begin{center} { \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Fonction} Div(Nbre)\\ \qquad Test $\gets 0$\\ \qquad \textbf{Pour} i allant de 1 à Nbre \textbf{Faire}\\ \qquad \quad \textbf{Si} le reste de la division de Nbre par i est égal à 0 \textbf{Faire}\\ \qquad \qquad Test $\gets$ Test + 1\\ \qquad \quad \textbf{Fin de Si}\\ \qquad \textbf{Fin de Pour}\\ \qquad Retourner Test\\ \hline \end{tabular} } \end{center} \begin{enumerate} \item% Que renvoie {Div}(6) ? Justifier en expliquant le rôle de cette fonction. \begin{list}{\textbullet}{On fait tourner la fonction {Div} en prenant 6 pour valeur de {Nbre}.} \item Au début, $\text{Test}=0$. \item Pour $\text{i}=1$: le reste de la division de 6 par 1 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 1. \item Pour $\text{i}=2$: le reste de la division de 6 par 2 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 2. \item Pour $\text{i}=3$: le reste de la division de 6 par 3 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 3. \item Pour $\text{i}=4$: le reste de la division de 6 par 4 n'est pas 0, donc on ne fait rien. \item Pour $\text{i}=5$: le reste de la division de 6 par 5 n'est pas 0, donc on ne fait rien. \item Pour $\text{i}=6$: le reste de la division de 6 par 6 est 0, donc on ajoute 1 à la variable {Test} qui vaut maintenant 4. \item La fonction renvoie le nombre 4. \end{list} La fonction {Div} compte le nombre de diviseurs de la variable {Nbre} à laquelle elle est appliquée. \item On veut écrire une fonction {Prem} de paramètre {Nbre}, où {Nbre} est un nombre entier supérieur ou égal à 2, qui renvoie {Vrai} (ou {True}) si {Nbre} est premier, {Faux} (ou {False}) si {Nbre} n'est pas premier. %On pourra utiliser la fonction {Div}. Un nombre entier supérieur ou égal à 2 est premier si et seulement si le nombre de ses diviseurs est égal à 2; il suffit donc de tester la valeur de la variable {Test} en fin d'algorithme. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Fonction} Prem(Nbre)\\ \qquad Test $\gets 0$\\ \qquad \textbf{Pour} i allant de 1 à Nbre \textbf{Faire}\\ \qquad \quad \textbf{Si} le reste de la division de Nbre par i est égal à 0 \textbf{Faire}\\ \qquad \qquad Test $\gets$ Test + 1\\ \qquad \quad \textbf{Fin de Si}\\ \qquad \textbf{Fin de Pour}\\ %\qquad Retourner Test\\ \blue \qquad \textbf{Si} Test = 2\\ \blue \qquad \quad \textbf{Alors} Afficher Vrai\\ \blue \qquad \quad \textbf{Sinon} Afficher Faux\\ \blue \qquad \textbf{Fin de Si}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 3 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un professeur de lycée souhaite aménager une salle de cours en salle vidéo pour l'option cinéma. Le professeur, responsable du projet, définit les tâches à réaliser avec leur durée. Le tableau suivant regroupe l'ensemble de ces données. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Tâche à réaliser&Repère&Durée en semaines&Tâches précédentes\\ \hline Acceptation du projet par l'administration.&A&2&\\ \hline Acceptation du projet par la région.&B&3&\\ \hline Préparation de la salle.&C&6&A\\ \hline Câblage électrique de la salle.&D&7&C, E\\ \hline Choix du matériel vidéo.&E&4&A, B\\ \hline Commande du matériel vidéo.&F&6&E\\ \hline Installation du matériel vidéo.&G&2&D, F \\ \hline Test et réglage du matériel vidéo.&H&1&G\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le but de cet exercice est d'ordonner la réalisation de ces tâches de façon à ce que la salle soit disponible le plus rapidement possible. On considère le graphe orienté correspondant aux conditions d'antériorité données par le tableau précédent. Les sommets A, B, C, D, E, F{}, G et H représentent les repères des tâches à réaliser. \medskip \begin{enumerate} \item On détermine le niveau de chacun des sommets du graphe. \newpage \begin{multicols}{2} On part du tableau des prédécesseurs.\\ \\ On cherche les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de A et de B.\\ \\ Les sommets A et B sont donc de niveau 0. \columnbreak \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs\\ \hline A & \\ \hline B & \\ \hline C & A\\ \hline D & C - E\\ \hline E & A - B\\ \hline F & E\\ \hline G & D - F\\ \hline H & G\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \begin{multicols}{2} On supprime dans le tableau les sommets de niveau 0, puis on cherche dans le nouveau tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de C et E.\\ \\ Les sommets C et E sont donc de niveau 1. \columnbreak \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs\\ \hline \psCancel A & \\ \hline \psCancel B & \\ \hline C & \psCancel A\\ \hline D & C - E\\ \hline E & \psCancel A - \psCancel B\\ \hline F & E\\ \hline G & D - F\\ \hline H & G\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \begin{multicols}{2} On supprime dans le tableau les sommets de niveau 1, puis on cherche dans le nouveau tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de D et F.\\ \\ Les sommets D et F sont donc de niveau 2. \columnbreak \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs\\ \hline \psCancel A & \\ \hline \psCancel B & \\ \hline \psCancel C & \psCancel A\\ \hline D & \psCancel C - \psCancel E\\ \hline \psCancel E & \psCancel A - \psCancel B\\ \hline F & \psCancel E\\ \hline G & D - F\\ \hline H & G\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \begin{multicols}{2} On supprime dans le tableau les sommets de niveau 2, puis on cherche dans le nouveau tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de G.\\ \\ Le sommet G est donc de niveau 3.\\ \\ Il reste le sommet H qui est donc de niveau 4. \columnbreak \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs\\ \hline \psCancel A & \\ \hline \psCancel B & \\ \hline \psCancel C & \psCancel A\\ \hline \psCancel D & \psCancel C - \psCancel E\\ \hline \psCancel E & \psCancel A - \psCancel B\\ \hline \psCancel F & \psCancel E\\ \hline G & \psCancel D - \psCancel F\\ \hline H & G\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Niveaux & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline Sommets & A - B & C - E & D - F & G & H\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \item On donne le tableau des successeurs de chacun des sommets du graphe. \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs&\blue Successeurs\\ \hline A & & \blue C - E\\ \hline B & & \blue E\\ \hline C & A & \blue D\\ \hline D & C - E & \blue G\\ \hline E & A - B & \blue D - F\\ \hline F & E & \blue G\\ \hline G & D - F & \blue H\\ \hline H & G & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item% Construire le graphe d'ordonnancement du projet (Méthode P{}. E. R. T. ou M. P{}. M.). On construit par étapes le graphe d'ordonnancement du projet (méthode M. P. M.); pour cela on construit le graphe par niveaux en rajoutant une tâche fictive \og fin \fg{}. %%%%% 1 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,0)(23,7) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \newrgbcolor{rb}{0.804 0 0} \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){\textbf{#1}} \rput(-0.5,0.5){\blue{}#2} \rput(0.5,0.5){\rb{}#3}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{}{}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{}{}} \cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{}{}} \cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{}{}} \cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{}{}} \cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{}{}} \cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{}{}} \cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{}{}} \cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{}{}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{2} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{2} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{3} \ncline{->}{C}{D} \ncput*{6} \ncline{->}{E}{D} \ncput*{4} \ncline{->}{E}{F} \ncput*{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*{7} \ncline{->}{F}{G} \ncput*{6} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{2} \ncline{->}{H}{I} \ncput*{1} \end{pspicture} \end{center} \item% Déterminer, pour chaque tâche, les dates au plus tôt et au plus tard. Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tôt \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant du début. Puis pour chaque sommet, on note la date qui est la longueur du plus \textbf{long} chemin depuis le début. %%%%% 2 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,0)(23,7) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \newrgbcolor{rb}{0.804 0 0} \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){\textbf{#1}} \rput(-0.5,0.5){\blue{}#2} \rput(0.5,0.5){\rb{}#3}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{0}{}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{}} \cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{2}{}} \cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{3}{}} \cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{8}{}} \cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{7}{}} \cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{15}{}} \cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{17}{}} \cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{18}{}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{2} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{2} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{3} \ncline{->}{C}{D} \ncput*{6} \ncline{->}{E}{D} \ncput*{4} \ncline{->}{E}{F} \ncput*{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*{7} \ncline{->}{F}{G} \ncput*{6} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{2} \ncline{->}{H}{I} \ncput*{1} \end{pspicture} \end{center} Ce graphe donne la durée minimale du projet qui est de 18 semaines. Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tard \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant de la fin et en marquant 18 pour le sommet \og fin \fg{}. La date \og au plus tard \fg{} d'une tâche s'obtient en retirant de la date au plus tard de la tâche qui lui succède sa propre durée. S'il y a plusieurs successeurs, on garde la date la plus \textbf{petite}. %%%%% 3 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,0)(23,7) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \newrgbcolor{rb}{0.804 0 0} \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){\textbf{#1}} \rput(-0.5,0.5){\blue{}#2} \rput(0.5,0.5){\rb{}#3}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{0}{0}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{1}} \cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{2}{2}} \cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{3}{4}} \cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{8}{8}} \cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{7}{9}} \cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{15}{15}} \cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{17}{17}} \cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{18}{18}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{2} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{2} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{3} \ncline{->}{C}{D} \ncput*{6} \ncline{->}{E}{D} \ncput*{4} \ncline{->}{E}{F} \ncput*{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*{7} \ncline{->}{F}{G} \ncput*{6} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{2} \ncline{->}{H}{I} \ncput*{1} \end{pspicture} \end{center} \item %En déduire le chemin critique et la durée minimale de réalisation du projet. Le chemin critique passe par les sommets pour lesquels les dates \og au plus tôt \fg{} et \og au plus tard \fg{} coïncident. Le chemin critique est donc: A $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ D $\longrightarrow$ G $\longrightarrow$ H $\longrightarrow$ fin. \smallskip La durée minimale de réalisation du projet est de 18 semaines. \item La tâche E prend une semaine de retard. La tâche E n'est pas dans le chemin critique; de plus il y a une semaine de décalage entre la date \og au plus tôt \fg{} et la date \og au plus tard \fg{} de E. Donc la semaine de retard de E n'aura aucune incidence sur la durée totale de ce projet. \smallskip On peut également refaire le graphe d'ordonnancement en considérant que la tâche E se réalise en 5 semaines et plus en 4 semaines. %%%%% 4 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,0)(23,7) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \newrgbcolor{rb}{0.804 0 0} \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){\textbf{#1}} \rput(-0.5,0.5){\blue{}#2} \rput(0.5,0.5){\rb{}#3}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,5){A}{\boxh{A}{0}{0}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{0}} \cnodeput*(7,5){C}{\boxh{C}{2}{2}} \cnodeput*(7,1){E}{\boxh{E}{3}{3}} \cnodeput*(12,5){D}{\boxh{D}{8}{8}} \cnodeput*(12,1){F}{\boxh{F}{8}{9}} \cnodeput*(17,3){G}{\boxh{G}{15}{15}} \cnodeput*(22,1){H}{\boxh{H}{17}{17}} \cnodeput*(22,6){I}{\boxh{fin}{18}{18}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{2} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{2} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{3} \ncline{->}{C}{D} \ncput*{6} \ncline{->}{E}{D} \ncput*{\rb{}5} \ncline{->}{E}{F} \ncput*{\rb{}5} \ncline{->}{D}{G} \ncput*{7} \ncline{->}{F}{G} \ncput*{6} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{2} \ncline{->}{H}{I} \ncput*{1} \end{pspicture} \end{center} %Quelle est l'incidence de ce retard sur la durée totale de ce projet ? Justifier. On arrive heureusement à la même conclusion. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le gestionnaire du lycée considère que le projet est envisageable lorsqu'il satisfait à l'une au moins des conditions suivantes : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et est de fabrication française. \item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo n'est pas de fabrication française et il coûte moins de 500 euros; \item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo n'a pas été acheté dans un magasin local, est de fabrication française et a coûté moins de 500 euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On définit les variables $a,\;b,\:c$ de la façon suivante: \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$a$ le matériel vidéo coûte moins de 500 euros et $\overline{a}$ le matériel vidéo coute 500 euros ou plus ; \item[$\bullet~~$]$b$ le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et $\overline{b}$ le matériel vidéo n'est pas acheté dans un magasin local. \item[$\bullet~~$]$c$ le matériel vidéo est de fabrication française et $\overline{c}$ le matériel vidéo n'est pas de fabrication française. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} %\medskip \begin{enumerate} \item On écrit une expression booléenne $E$ traduisant que le projet est envisageable, à l'aide des variables booléennes $a$, $b$, $c$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et est de fabrication française correspond à $b.c$. \item Le \og ou \fg{} se traduit par +. \item Le matériel vidéo n'est pas de fabrication française et il coûte moins de 500 euros correspond à $\barre c.a$. \item Le \og ou \fg{} se traduit par +. \item Le matériel vidéo n'a pas été acheté dans un magasin local, est de fabrication française et a coûté moins de 500 euros correspond à $\barre b.c.a$. \end{list} Donc: $E=b.c + a.\barre c + a.\barre b.c$. \item \begin{enumerate} % \item À l'aide d'un tableau de Karnaugh, déterminer une écriture simplifiée de $E$ à deux termes. \item On représente l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh. \begin{multicols}{3} \begin{center} $b.c$ \end{center} {\footnotesize \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & \blue 1 & \\ \hline 1 & & & \blue 1& \\ \hline \end{tabular} } \columnbreak \begin{center} $a.\barre c$ \end{center} {\footnotesize \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \\ \hline 1 & \blue 1 & & & \blue 1 \\ \hline \end{tabular} } \columnbreak \begin{center} $a.\barre{b}.c$ \end{center} {\footnotesize \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \\ \hline 1 & & \blue 1 & & \\ \hline \end{tabular} } \end{multicols} \begin{center} $E= b.c + a.\barre c + a.\barre b.c$ \medskip \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & \blue 1 & \\ \hline 1 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} On en déduit une écriture simplifiée de l'expression booléenne $E$ sous la forme d'une somme de deux termes. \begin{pspicture}(-5,-2.5)(6,2) %\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=orange] %\uput[u](2.5,2){$E= b.c + a.\barre c + a.\barre b.c$} \psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](1.8,-1.2)(4.7,-0.6)%%% a \psline[linecolor=blue](4.7,-0.9)(5.1,-0.9) \uput[r](5.1,-0.9){\blue $a$} \psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](3.4,-1.3)(3.9,0.6)%%% b.c \psline(3.65,-1.3)(3.65,-1.8) \uput[d](3.65,-1.8){$b.c$} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & \blue 1 & \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline 1 &\blue 1 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabular} \end{pspicture} Donc $E=a+b.c$. \item %On déduit une interprétation simplifiée des conditions pour que le projet soit envisageable. \begin{list}{\textbullet}{Le projet est envisageable lorsqu'il satisfait à l'une au moins des conditions suivantes:} \item le matériel vidéo coûte moins de 500 euros (qui correspond à $a$); \item le matériel vidéo est acheté dans un magasin local, et il est de fabrication française (qui correspond à $b.c$). \end{list} \end{enumerate} \item Dans le projet présenté, le matériel vidéo coûte plus de $500$ euros, n'est pas de fabrication française mais sera acheté localement. Cela correspond à $\barre a.\barre c.b$ soit $\barre a.b.\barre c$. On place, au moyen d'une croix rouge, cet événement dans la table de Karnaugh représentant $E$: \begin{center} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & \blue 1 & \red $\times$\\ \hline 1 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} %Ce projet est-il envisageable ? On peut en conclure que ce projet n'est pas envisageable. \end{enumerate} \end{document}