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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2016}
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\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Contrôleur des douanes : surveillance 2016~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\medskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.

On lit le nombre sur la face cachée.

Pour $k \in \{1~;~2~;~3~;~4\}$ , on note $p_k$ la probabilité d'obtenir le nombre $k$ sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres $p_1 , p_2 , p_3$ et $p_4$ , dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que $p_4 = 0,4$ , démontrez que $p_1 = 0,1 , p_2 = 0,2$ et $p_3 = 0,3$.
\item On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

On lance $n$ fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants.

On note $U_n$ la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au $n$-ième lancer.
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
		\item Calculez $S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^n U_i$ puis étudiez la convergence de la suite $\left(S_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

On considère la suite de nombres réels $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :

\begin{center}$u_0 = - 1,\: u_1 = \dfrac12$ \:et, pour tout entier naturel $n$,\quad $u_{n+2}= u_{n+ 1} - \dfrac14 u_n$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculez $u_2$ et déduisez-en que la suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : \[v_n=u_{n + 1} - \dfrac12 u_n.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $v_0$.
		\item Exprimez $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
		\item Déduisez-en que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.
		
Exprimez $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(w_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : \[w_n= \dfrac{u_n}{v_n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculez $w_0$.
		\item En utilisant l'égalité $u_{n + 1} = v_n + \dfrac12 u_n$, exprimez $w_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et de $v_n$.
		\item Déduisez-en que pour tout $n$ de $\N$, \:$w_{n+1} = w_n + 2$. 
		\item Exprimez $w_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  Montrez que pour tout entier naturel $n$;, \: \: $u_n = \dfrac{2n - 1}{2^n}$.
\item  Pour tout entier naturel $n$ , on pose :
\[S_n =  \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_k = u_0 + u_1 + \ldots + u_n.\]

Démontrez par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ 
\[ S_n = 2 - \dfrac{2n+ 3}{2^n}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 
\[\varphi(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez le sens de variation de la fonction $\varphi$  sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
		\item Calculez $\varphi$(e).
		
Démontrez que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.

(On rappelle que e $\approx 2,718$).
		\item Déterminez le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 
\[f(x)= \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f'(x)$ et montrez que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x)= \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.
		\item Déduisez de la question 1 le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
		\item Démontrez que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a :
\[0 \leqslant f (x) \leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}.\]

		\item  Déduisez-en $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points A(3~;~0~;~6) et I(0~;~0~;~6) et on appelle $(D)$ la droite passant par A et I. 

On appelle $(P)$ le plan d'équation $2y + z - 6 = 0$ et $(Q)$ le plan d'équation $y - 2 z + 12 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrez que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item Démontrez que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est la droite $(D)$.
\item Démontrez que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et déterminez les coordonnées des points B et C, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
\item Démontrez qu’une équation du plan $(T)$ passant par B et de vecteur normal $\vect{\text{AC}}$ est $x +4y + 2z - 12 = 0$.
\end{enumerate}



\end{document}