\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\addtolength{\topmargin}{-1.6pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\,\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Contrôleur des douanes : surveillance 2017~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\medskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

Une urne contient trois boules non identifiables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.

Le jeu proposé est le suivant :

Le joueur paye d'abord 10 \euro, puis effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise.

On admet que tous les tirages sont équiprobables. On note dans l'ordre les trois chiffres tirés.

Si ces trois chiffres sont identiques, le joueur reçoit $25$~\euro.

Si ces trois chiffres sont tous différents, il reçoit $15$~\euro.

Si la somme de ces trois chiffres vaut 7, il reçoit $13$~\euro.

Dans tous les autres cas, il ne reçoit rien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En s'aidant d'un arbre comme ci-dessous, donner la liste des $27$ tirages possibles. 
%arbre
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.8cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{1}}
		{\TR{1}
		\TR{2}
		\TR{3}
 		}
\pstree{\TR{2~~}}\Tn
%		{\TR{1}
%		\TR{2}
%		\TR{3}
%		}
\pstree{\TR{3~~}}\Tn
%		{\TR{1}
%		\TR{2}
%		\TR{3}
%		}
}
\end{center}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque combinaison de trois chiffres obtenue, associe le gain algébrique (c'est-à-dire la différence: somme reçue moins le versement initial).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une ville A possède \np{200000} habitants au 1\up{er} janvier 2017. On considère que cette population diminue de 2\,\% par an.

On note $u_n$ le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier de l'année $2017+n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi $u_0 = \np{200000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$ 
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item En déduire la nature de la fonction $\left(u_n\right)$ puis l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer l'arrondi de $u_{10}$.
	\end{enumerate}
\item Une ville B possède \np{120000}~habitants au 1\up{er} janvier 2017.

On note $v_n$ le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier $2017+n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi $v_0 = \np{120000}$.

On considère que pour tout entier naturel $n,\: v_n = \np{120000} \times  1,01^n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre d'habitants au 1\up{er} janvier 2019.
		\item Déterminer l'arrondi de $v_{10}$.
	\end{enumerate}
\item En quelle année la population de la ville B deviendra-t-elle supérieure à celle de la ville A ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[f(x) = \e^{2x} -3 \e^x + x + 2 \]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $D$.
	\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x, \:f(x) = \e^x \left(\e^x - 3 + \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{2}{\e^x}\right)$.

En déduire la limite de $f(x)$ quand  $x$ tend vers $+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Vérifier que $f'(x) = \left(2\e^x - 1\right) \left(\e^x - 1\right)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f'(x) = 0$ puis déterminer le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $\ln \left(\dfrac32 \right)$.
		
Que peut-on dire des droites $T$ et $D$ ?
		\item Tracer dans le repère \Oij{} les droites $D,\: T$ et la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Calculer l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln (3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}