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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2021~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt] 23 février 2021\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Une école d'ingénieurs organise la sélection de ses futurs étudiants de la manière suivante :

Après examen de leur dossier scolaire, $15$\,\% des candidats sont admis directement ;

Tous les autres candidats passent une épreuve écrite dont le taux de réussite est estimé à $60$\,\% ;

Tous les candidats ayant réussi l'épreuve écrite sont convoqués pour passer une épreuve orale.

Ceux qui réussissent l'épreuve orale sont alors admis.

On estime que les candidats qui passent l'épreuve orale ont une chance sur trois de réussir.

On choisit un candidat au hasard.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ : \og Le candidat est admis sur dossier \fg
\item[$\bullet~~$] $E$ : \og Le candidat passe et réussit l'épreuve écrite \fg 
\item[$\bullet~~$] $O$ : \og Le candidat passe et réussit l'épreuve orale \fg 
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le candidat est admis \fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir l'arbre pondéré décrivant les différentes étapes de la sélection.
\item Calculer les probabilités $P(E)$ et $P(O)$.
\item Justifier que la probabilité que le candidat soit admis est $P(A) = 0,32$.
\item Parmi les candidats admis, quelle est la proportion de ceux qui ont été admis sur dossier (résultat donné sous forme de fraction) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Le nombre de clients potentiels du marché sur lequel sont en concurrence les sociétés SFT et Vert Télécom est supposé stable et égal à $70$ millions de clients.

Au premier janvier 2010, la société SFT possède $7$ millions de clients, tandis que la société Vert Télécom en détient $63$ millions.

Chaque année, $20$\,\% de la clientèle de SFT change pour Vert Télécom et de même, $20$\,\% de la clientèle de Vert Télécom change pour SFT.

Soit $u_n$ le nombre de clients (en millions) de la société SFT au premier janvier de l'année $2010 + n.$

On a donc $u_0 = 7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_1 = 18,2$.
\item Montrer que $u_{n+1} = 0,6u_n + 14$ pour tout naturel $n$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout naturel $n$, par $v_n = u_n - 35$.

La suite $\left(v_n\right)$ est-elle arithmétique ou géométrique ?

onner sa raison et son premier terme.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
\item Déterminer la limite de $u_n$ en $+ \infty$ et conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par :
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\text{e}^x\\
g(x)&=&2\text{e}^{\frac x2} - 1
\end{array}\]

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g $ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation.
\item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_g$ et de la droite $\Delta$.

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[h(x) = 2\text{e}^{\frac x2} - x - 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
		\item Justifier que, pour tout réel $x$,\: $h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac x2}}{\frac x2} - 1 - \dfrac 2x\right)$.

En déduire la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\R$.

Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\R$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$,\: $ 2\text{e}^{\frac x2} - 1 \geqslant x + 1$.
		\item Que peut-on en déduire quant à la position relative des courbes $\mathcal{C}_g$ et de la droite $\Delta$ ?
	\end{enumerate}
\item Étude de la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\text{e}^{\frac x2} - 1\right)^2$.
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fraction, sauf pour la question~4}

\medskip

On dispose de deux urnes et d'un dé tétraédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4.

L'urne $U_1$ contient deux boules rouges et une boule noire.

L'urne $U_2$ contient une boule rouge et deux boules noires.

Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1,
 il tire au hasard une boule dans l'urne $U_1$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_2$.

On considère les évènements suivants :

$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 

$B$ : \og obtenir une boule noire \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir l'arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
\item Calculer la probabilité $P(B)$.
\item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé.
\item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. 

Une personne joue quatre parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. 

On notera que $\left(\dfrac{5}{12}\right)^4 \approx 0,03$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points 

\begin{center}A(1~;~0~;~2),\qquad B(1~;~1~;~4)\quad et \quad C$(-1~;~1~;~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
\item Soit le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$.

Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
\end{enumerate}
\end{document}