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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2016~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]21 mars 2016\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et 
\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2- u_n}\: \text{pour tout entier naturel}\: n.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1,\:u_2$ et $u_3$.

On exprimera chacun de ces termes sous forme de fraction irréductible.
		\item Comparez les quatre premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ aux quatre premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$ définie sur $\N$ par $w_n = \dfrac{n}{n+1}$.
		\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrez que, pour tout entier naturel $n, u_n = w_n$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$  la suite de terme général $v_n$ définie par $v_n = \ln \left(\dfrac{n}{n + 1}\right)$ où ln désigne la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $v_1 + v_2 + v_3 = - \ln 4$.
		\item Soit $S_n$ la somme définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : $S_n =\displaystyle\sum_{1}^n v_n$.
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez $S_n$ en fonction de $n$.
			\item Déterminez la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 

Soit $(P)$ le plan d'équation : $3x + y - z - 1 = 0$ et $(D)$ la droite dont une représentation paramétrique est :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-t + 1\\
y&=&2t\\
z&=&-t + 2
\end{array}\right., \quad \]

où $t$ désigne un nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(P)$ ? Justifiez votre réponse.
		\item Démontrez que la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $(Q)$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(D)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une équation cartésienne du plan $(Q)$.
		\item Calculez les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(Q)$ et de la droite $(D)$.
		\item Montrez que CI $= \sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = x + \dfrac{\ln x}{x} \]

et la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[g(x) = x^2+ 1 - \ln x.\]

\smallskip

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item Déduisez-en le signe de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la limite en $0$ de $f$.
		\item Déterminez la limite en $+\infty$ de $f$ puis montrez que la droite $(D)$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Calculez $f'(x)$ pour tout réel de $]0~;~+\infty[$.
		\item Déduisez-en le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+\infty[$, puis vous dresserez le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Déterminez le point A de la courbe $(\mathcal{C})$ en lequel la tangente $(T)$ est parallèle à la droite $(D)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher: deux vertes et trois rouges.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que $P(X = 0)= \dfrac{3}{10}$ puis déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculez la probabilité de l'évènement suivant :

$A$ : \og les deux boules tirées sont de même couleur \fg.
	\end{enumerate}
\item On effectue deux tirages consécutifs d'une boule en respectant la règle suivante :

\emph{Si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne,}

\emph{si elle est verte, on ne la remet pas.}
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant un arbre pondéré, calculez la probabilité des évènements suivants : $B$ : \og seule la première boule tirée est verte \fg{} ;

$C$ : \og une seule des deux boules tirées est verte \fg.
		\item Sachant que l'on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}