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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2018}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance 21 février 2018}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Remarque préliminaire :}
\begin{itemize}
\item Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.
\item Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 1 :}

\medskip

Deux sociétés spécialisées dans le commerce de voitures, les sociétés \og Bonne Route\fg{} et
\og Voyage \fg, se partagent un marché stable de 20 millions de clients.

Au 1\up{er} janvier 2018, la société \og Bonne Route\fg{} compte 16 millions de clients et la société \og Voyage\fg{} compte 4 millions de clients.

Les prévisions du marché laissent apparaître que, chaque année, la société \og Bonne Route\fg{} perdra 20\,\% de ses clients au profit de la société \og Voyage\fg{} et que la société \og Voyage\fg{} perdra elle aussi 20\,\% de ses clients au profit de la société \og Bonne Route \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $U_n$ le nombre de clients (en millions) de la société \og Voyage \fg{} au 1\up{er} janvier de l'année $2018+n$. On déduit de l'énoncé que $U_0 = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $U_1 = 6,4$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\, $U_{n+1} = 0,6 \times U_n + 4$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(V_n\right)$  définie, pour tout naturel $n$, par $V_n = U_n - 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
		\item Calculer $V_0$.
		\item Sachant que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique, exprimer $V_n$ en fonction de $n$ et
de $V_0$.
		\item En déduire $U_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} U_n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 2 :}

\medskip

\textbf{N. B. : Pour cet exercice les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

Une classe comprend 20 élèves : 12 filles et 8 garçons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trois élèves de la classe sont tirés au sort pour devenir délégués de classe.
	\begin{enumerate}
		\item Une combinaison correspondant au tirage au sort de 3 élèves parmi les 20 présents,
montrer que le nombre total de combinaisons possibles est de \np{1140}.
		\item Montrer que la probabilité que 3 filles soient déléguées de classe est de $\dfrac{11}{57}$.
	\end{enumerate}
\item  Le professeur fait effectuer 3 exercices successivement au tableau. 

À chaque exercice, il effectue un tirage au sort parmi l'intégralité de la classe pour désigner l'élève qui résout l'exercice (un même élève peut donc se retrouver plusieurs fois au tableau).
	\begin{enumerate}
		\item Pour chaque tirage au sort, montrer que la probabilité (appelée $P_F$) qu'une fille soit tirée au sort est de $\dfrac{3}{5}$ et que la probabilité (appelée $P_G$ ) qu'un garçon soit tiré
au sort est de $\dfrac{2}{5}$.
		\item À partir de ces résultats, montrer que la probabilité pour qu'une seule fille et deux garçons soient tirés au sort sur les 3 tirages successifs est de $\dfrac{36}{125}$ (la méthode est laissée au choix du candidat).
	\end{enumerate}
\item  Soit $P_A$ la probabilité qu'un évènement $A$ se produise et $P_B$ la probabilité qu'un évènement $B$ se produise.

On a $P_A = 0,6$ ;\, $P_B = 0,5$ et $P(A \cup B) = 0,8$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(A \cap B)$.
		\item Déterminer la probabilité de \og $A$ sachant $B$ \fg{} notée $P(A/B)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 3 :}

\medskip

On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est $x$, exprimé en centaines d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout $x > 0$  comme:

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\e^x - 1\qquad \text{et}\qquad  g(x) = \dfrac{15}{\dfrac{1}{2}\e^x + 1}
.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'unique solution exacte (ni arrondie, ni encadrée) de l'équation 

$f(x) = g(x)$.

On appelle cette solution le \og prix d'équilibre \fg{}, c'est-à-dire le prix en centaines d'euros qui permet l'égalité entre l'offre et la demande.
\item À partir de la solution trouvée précédemment, déterminer l'offre, exprimée en nombre d'objets, au prix d'équilibre.
\item En admettant que $\ln (8) = 2,08$ ,  quel est le chiffre d'affaires généré par les ventes au prix d'équilibre ?
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $h(x)$ définie par $h(x) = 2x^2  - 3x +4$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h(x)$.
		\item En déduire une primitive $K(x)$ de la fonction $k(x)$ définie par :
		
 \[k(x)  = - \dfrac{4x - 3}{\left(2x^2 - 3x + 4\right)^2}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}