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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\lhead{\small}
\lfoot{}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'entr\'ee \`a l'École de Sant\'e de Lyon-Bron~\decofourright}} 


\bigskip

Avertissement : L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée.

Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.

Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.
Les candidats traiteront les trois exercices.

Les réponses de l'exercice \no 1 (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet.

Les exercices \no 2 et \no 3 seront traités sur une copie à part.

\textbf{\large Ann\'ee 2011}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}   \hfill 6 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
 
On demande au candidat de signaler sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet (Voir annexe). 

Toute réponse juste est comptée + 1 point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,5$ point. Une ahsence de réponse est comptée 0 point. 

Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$. 

\medskip
 
\textbf{Question \no 1 :} Soit $z$ un nombre complexe. Si $\theta = \text{arg}\:(z)$ alors un argument de $\dfrac{\text{i}}{\overline{z}}$ est  

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}\:\:$\dfrac{\pi}{2} + \theta$
&\textbf{B.}\:\:$\theta$
&\textbf{C.}\:\:$\dfrac{\pi}{2} - \theta$ 
&\textbf{D.}\:\:$\dfrac{3\pi}{2} + \theta$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question \no 2 :} Déterminer la limite $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{2x^3 }$

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}\:\:$0$
&\textbf{B.}\:\:$+ \infty$
&\textbf{C.}\:\:$1$ 
&\textbf{D.}\:\:$\dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question \no 3 :} Soit $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ deux suites réelles. 

\textbf{A.}\:\:Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ converge. 

\textbf{B.}\:\: Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_{n} + v_{n}\right) = + \infty = 0$. 

\textbf{C.}\:\:Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul, si $\left(v_{n}\right)$ est une suite positive et convergente vers $0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ converge. 

\textbf{D.}\:\:Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul et si la suite $\left(v_{n}\right)$ diverge vers $+ \infty$ alors la suite $\left(u_{n} \times v_{n}\right)$ diverge.
 
 
\medskip

\textbf{Question \no 4 :}  L'ensemble des points $M(x,\:y,\:z)$ de l'espace tel que $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + 3k\\
y &=& -1 + 2k\\ 
z &=& -3-k
\end{array}\right.$ où $k$ est un réel, est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}\:\:Un point.
&\textbf{B.}\:\:Une droite.
&\textbf{C.}\:\:Un plan. 
&\textbf{D.}\:\:Une sphère.
\end{tabularx}
  
\medskip

\textbf{Question \no 5 :}  Une solution de l'équation diff\'erentielle (E) : $y^{\prime} - 3y = 5$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}\:\:$y(x) = 5\text{e}^{3x} + \dfrac{5}{3}$
&\textbf{B.}\:\:$y(x) = 3\text{e}^{3x} - \dfrac{5}{3}$
&\textbf{C.}\:\:$y(x) = 5\text{e}^{3x} - \dfrac{5}{3}$ 
&\textbf{D.}\:\:$y(x) = 3\text{e}^{3x} + \dfrac{5}{3}$
\end{tabularx}

\medskip  

\textbf{Question \no 6 :} On considère l'intégrale suivante : $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\:\text{d}x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}\:\:$I = 1$
&\textbf{B.}\:\:$I = [x \ln x]_{1}^{\text{e}} + \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \text{d}x$
&\textbf{C.}\:\:$I = \text{e} - 1$ 
&\textbf{D.}\:\:$I = \text{e}$.
\end{tabularx}

\medskip 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}   \hfill 8 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie par 

\[f(x)= \dfrac{1}{4}x + \ln \left(\dfrac{x + 1}{x - 1} \right)\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$. 
\item Montrer que la fonction $f$ est impaire. Qu'en déduire pour sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ ? 
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y= \dfrac{1}{4}x$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et $\Delta$. 
\item Déterminer les points de $\mathcal{C}_{f}$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation $5x+12y = 0$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}   \hfill 6 points}

\medskip
 
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif sur $[0~;~+ \infty[$. On rappelle que la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0~;~+ \infty[$ a pour densité la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \lambda \text{e}^{- \lambda x}.\]

\begin{enumerate}
\item Le mode de X est le réel $x$ pour lequel la densité est maximale. Quel est le mode de X ? 
\item La médiane de X est le réel $x$ pour lequel $p(\text{X} \leqslant x) = p(\text{X} \geqslant x)$. Quelle est la médiane de X ? 
\item On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d'un composant électronique. On admet que cette durée de vie est une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{2}$.
 
Calculer la probabilité des év\`enements suivants: 
	\begin{enumerate}
		\item La durée de vie du composant est comprise entre $2$ et $3$ semaines. 
		\item La durée de vie du composant électronique est strictement inférieure à $7$ semaines. 
		\item Le composant électronique n'est pas défectueux après $5$ semaines de fonctionnement.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE EXERCICE \no 1- À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\No  question& A &B &C &D \\ \hline
1&&&&\\ \hline 
2&&&&\\ \hline 
3 &&&&\\ \hline
4&&&&\\ \hline 
5&&&&\\ \hline 
6&&&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}