\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{slashbox} \usepackage[body={15cm,23.5cm}]{geometry} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\makeatletter %\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% %\ifx#1\@empty0\else#1\fi %\ifx#2\@empty\else,#2\fi} %\makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small A. P. M. E. P.} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \lhead{\small} \lfoot{} \rfoot{\small{juin 2010}} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'entr\'ee \`a l'École de Sant\'e de Lyon-Bron~\decofourright}} \bigskip Avertissement : L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée. Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe. Les candidats traiteront les trois exercices. Les réponses de l'exercice \no 1 (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet. Les exercices \no 2 et \no 3 seront traités sur une copie à part. \textbf{\large Ann\'ee 2010} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \medskip Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte. On demande au candidat de signaler \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet (Voir annexe). Toute réponse juste est comptée point. Toute réponse fausse est comptée point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$. \medskip \begin{enumerate} \item La solution de l'équation différentielle (E) : $y' = - \dfrac{1}{4}y$ vérifiant la condition initiale $y(0) = \text{e}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.}\:\:$y = \text{e}^{- \frac{1}{4}x + 1}$ &\textbf{B.}\:\:$y = \text{e}^{- \frac{1}{4}x}$ &\textbf{C.}\:\:$y = \text{e}^{- 4x + 1}$ &\textbf{D.}\:\:$y = \text{e}^{\frac{1}{4}x + 1}$.\\ \end{tabularx} \medskip \item Les suites de termes généraux donnés ci-dessous sont divergentes \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.}\:\:$\cos \dfrac{1}{n+1}$ &\textbf{B.}\:\:$\dfrac{\sin n}{\ln (n + 2}$ &\textbf{C.}\:\:$\dfrac{\text{e}^n}{n + 1}$ &\textbf{D.}\:\:$\dfrac{\ln (n + 1)}{n + 1}$ \end{tabularx} \medskip \item Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par $f(x) = 3^x + \sin [\pi x]$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.}\:\:$f^{\prime}(1) = 3 \ln 3 - \pi$ &\textbf{B.}\:\:$f^{\prime}(1) = 0$ &\textbf{C.}\:\:$f^{\prime}(1) = - \pi$ &\textbf{D.}\:\:$f^{\prime}(1) = 3 \ln 3 -1$ \end{tabularx} \medskip \item On considère les intégrales $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \cos ^2 t\:\text{d}t$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin ^2 t\:\text{d}t$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.}\:\:$I + J = \pi$ &\textbf{B.}\:\:$I + J = \dfrac{\pi^2}{4}$ &\textbf{C.}\:\:$I + J = \dfrac{\Pi}{2}$ &\textbf{D.}\:\:$I + J = \dfrac{\Pi^2}{8}$ \end{tabularx} \medskip \item On pose pour tout $x \in \R,\:g(x) = x \text{e}^x$, alors : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.}\:\:$\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = 2\text{e}$ &\textbf{B.}\:\:$\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = \text{e}$ &\textbf{C.}\:\:$\displaystyle\int_{-1}^1 g(x)\:\text{d}x = 0$ &\textbf{D.}\:\:$\displaystyle\int_{-1}^1 g(x)\:\text{d}x = 2\text{e}$ \end{tabularx} \medskip \item Une urne contient $8$ boules dont $3$ rouges et $5$ noires, et $6$ cubes dont $2$ rouges et $4$ noirs. On effectue un tirage de deux objets simultanément, en supposant les tirages équiprobables. Alors la probabilité de tirer un cube et une boule de couleurs différentes est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.}\:\:$\dfrac{22}{91}$ &\textbf{B.}\:\:$\dfrac{69}{91}$ &\textbf{C.}\:\:$\dfrac{1}{182}$ &\textbf{D.}\:\:$\dfrac{2}{91}$ \end{tabularx} \medskip \item Soit $z = \sin \theta + \text{i}\sin \theta$ alors : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.}\:\:$\text{arg}\:(z) = \theta$ &\textbf{B.}\:\:$\text{arg}\:(z) = \pi - \theta$ &\textbf{C.}\:\:$\text{arg}\:(z) = \dfrac{\pi}{2} - \theta$ &\textbf{D.}\:\:$\text{arg}\:(z) = \theta + \dfrac{\pi}{2}$ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~1[~\cup~]1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \text{e}^{\frac{x + 1}{x - 1}}\] et on appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote horizontale et une asymptote verticale dont on précisera les équations. \item Justifier rigoureusement que la fonction $f$ est dérivable sur $]- \infty~;~1[~\cup~]1~;~+ \infty[$ et calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]- \infty~;~1[~\cup~]1~;~+ \infty[$. \item Dresser alors le tableau de variations complet de la fonction $f$ en précisant les limites aux bornes de l'ensemble de définition. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \medskip Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} on considère les points A,\:B,\:C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 4,\:z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère OABC ? Justifier. \item Soit E le point d'intersection des diagonales OB et AC. Démontrer que l'affixe du point E est donnée par $z_{\text{E}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$, puis mettre cette affixe sous forme exponentielle. À partir du point E, on construit la suite de points suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $M_{1}$ est défini par $\vect{\text{O}M_{1}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{OE}}$ et $\left(\vect{\text{OE}},~\vect{\text{O}M_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{3}\quad(2\pi)$. \item[ ] Chaque point est obtenu en fonction du précédent par les relations suivantes : $\vect{\text{O}M_{n+1}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{O}M_{n}}$ et $\left(\vect{\text{O}M_{n}},~\vect{\text{O}M_{n+1}} \right) = \dfrac{\pi}{3}\quad(2\pi)$. \end{description} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel $n$, on appelle $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $z_{1}$ du point $M_{1}$. \item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$. \item En déduire l'expression de $z_{n}$ en fonction de $n$, pour $n$ entier naturel non nul. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}