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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\lhead{\small }
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'entrée \`a l'École de Santé de Lyon-Bron~\decofourright}} 


\bigskip

Avertissement : L'utilisation de calculatrices, de règles à calcul, de formulaires et de papier millimétré
n'est pas autorisée. Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.

\textbf{\large Année 2009}
\end{center}

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 1}   \hfill 8 points}

\medskip

On considère la fonction réelle $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) =   x \text{e}^{-x},\]

et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in \R$, donner une expression de $f'(x)$.
\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $\R$ .
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Soit $m \in \N^{*},~m \geqslant 2$. Prouver que l'aire, en unité d'aires, de la portion de plan comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et
les droites d'équations respectives  $x = 1$ et $x = m$ est égale à $\dfrac{2}{\text{e}} -  (m + 1)\text{e}^{-m}$.

Quelle est la valeur limite de cette aire lorsque $m$ tend vers $ +\infty$ ?
\item  On considère la suite $\left(u_{n}\right)$  définie par : 
$u_{1} = \dfrac{1}{\text{e}}$ et, quel que soit $n \in \N^{*},~u_{n+1} = \dfrac{1}{\text{e}}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)u_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item Conjecturer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis démontrer cette conjecture. 
		\item En utilisant les questions précédentes, déterminer le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$ puis sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}   \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des complexes l'équation suivante :

\[z^2 - 8z +  25 = 0.\]

\item  Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes
respectives $z_{\text{A}} = 4  + 3\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 1 + 7\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}$. On donnera le résultat sous forme algébrique.
		\item  Interpréter géométriquement le résultat obtenu, et en déduire la nature du triangle OAB.
 	\end{enumerate}
\item  Soit I le milieu de [OB]. On désigne par C le symétrique de A par rapport à I. Quelle est l'affixe du point C ? Que peut-on en déduire concernant le quadrilatère OABC ?
\end{enumerate}
`
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}   \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.\\
On demande au candidat de signaler sans justification la réponse qui lui paraît exacte \textbf{en répondant sur la grille prévue à cet effet}.\\
Toute réponse juste est comptée $+ 0,5$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point.\\
Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{Pour les quatre premières questions,} on considère une fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ , dont on note $\mathcal{C}$ la représentation
graphique dans un repère orthonormal \Oij
et dont le tableau de variations est le suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)
\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)
\psline(2,0)(2,3) \psline(2.1,0)(2.1,2.5) \psline(2.2,0)(2.2,2.5)
\psline{->}(2.4,1.7)(3.5,0.3)\psline{->}(4.4,0.3)(5.5,1.7)
\psline{->}(6.4,1.7)(7.4,0.3)   \psline{->}(8.4,0.3)(9.5,1.7)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \rput(4,2.75){$\frac{1}{\text{e}}$} 
\uput[u](6,2.5){$\text{e}$} \uput[u](8,2.5){$5$} \uput[u](9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5,2.25){$+$} 
\rput(6,2.25){$0$} \rput(7,2.25){$-$} \rput(8,2.25){$0$} \rput(9,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](2.3,2){5}\uput[u](4,0){$\ln \left(\frac{1}{2}\right)$} \uput[d](6,2){3}\uput[u](8,0){$\text{e} - 2$} \uput[d](9.8,2){2}  
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 On peut alors affirmer que :
 
\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 0$ admet :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~0 solution &\textbf{B.}~~1 seule solution &\textbf{C.}~~exactement 2 solutions &\textbf{D.}~~3 solutions ou plus \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  La courbe C :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~n'admet aucune asymptote &\textbf{B.}~~admet une unique asymptote &\textbf{C.}~~admet 2 asymptotes &\textbf{D.}~~admet 3 asymptotes ou plus \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La tangente à C au point d'abscisse 3 peut avoir pour équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~$y = 2x + 4$ &\textbf{B.}~~$y = - x +  5$ &\textbf{C.}~~$y = - 4$ &\textbf{D.}~~$x = 3$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Le réel $I = \displaystyle\int_{5}^7 f(x)\:\text{d}x$ vérifie la relation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~$I \geqslant 6$ &\textbf{B.}~~$1 \leqslant I \leqslant 4$ &\textbf{C.}~~$0 \leqslant I \leqslant 1$ &\textbf{D.}~~$4 \leqslant I \leqslant 6$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item $\displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{x \ln x}\:\text{d}x$
 est égal à :  
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~$\ln 2$ &\textbf{B.}~~$2$ &\textbf{C.}~~$3$ &\textbf{D.}~~$1$ \\
\end{tabularx} 

\item  La valeur moyenne sur [0~;~2] de la fonction : $f : \:x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{2}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~$\text{e} + 1$ &\textbf{B.}~~$2(\text{e} - 1)$ &\textbf{C.}~~$\dfrac{1}{2}(\text{e} - 1)$ &\textbf{D.}~~$\text{e} - 1$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  $A$ et $B$ sont deux évènements tels que $p(A \cap B) = \dfrac{2}{5}, \: 
p_{A}B  = \dfrac{3}{5}$. Alors $p(A)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~$\dfrac{2}{3}$ &\textbf{B.}~~$\dfrac{3}{2}$ &\textbf{C.}~~$\dfrac{6}{25}$ &\textbf{D.}~~$\dfrac{3}{5}$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Dans une loterie de fête foraine, on considère que le nombre de billets est suffisamment grand pour affirmer qu'un billet sur quatre est gagnant. Un joueur achète quatre billets. La probabilité qu'il possède au moins un billet gagnant est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~1 &\textbf{B.}~~$\dfrac{3}{4}$ &\textbf{C.}~~$\dfrac{175}{256}$ &\textbf{D.}~~$\dfrac{27}{64}$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  On considère l'équation différentielle $(E) : 2 y' -  3y = 6$. Une fonction $f$ solution de $(E)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~$f : \:x \to \text{e}^{\frac{3}{2}x} + 2$ &\textbf{B.}~~$f : \:x \to \text{e}^{- \frac{3}{2}x} - 2$ &\textbf{C.}~~$f : \:x \to \dfrac{2}{3}\left(\text{e}^{\frac{3}{2}x + 1} - 3\right)$ &\textbf{D.}~~$f : \:x \to \dfrac{2}{3}\left(\text{e}^{-\frac{3}{2}x + 1} - 3\right)$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  $\left(u_{n}\right),\: \left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont trois suites réelles telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante, $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.

On suppose de plus que, pour tout $n \in \N , u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n}$ . On peut alors affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~$\left(u_{n}\right)$ diverge &\textbf{B.}~~$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes &\textbf{C.}~~$\left(v_{n}\right)$ converge&\textbf{D.}~~$\left(w_{n}\right)$ converge\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace. Parmi les égalités suivantes, quelle est celle pour laquelle
l'ensemble des points $M$ solutions est une sphère de l'espace ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.}~~$\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}  \right\| = 3$ &\textbf{B.}~~$\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}  \right\| = \left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}}  \right\|$ \\
\textbf{C.}~$\left\|\vect{M\text{A}} \right\|  = \left\|\vect{M\text{B}} \right\|$~ &\textbf{D.}~~$\left(\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} \right) \cdot \left(\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} \right) = 0$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  L'espace étant rapporté à un repère orthonormal \Oijk, le plan d'équation $3x - z + 1 = 0$ est parallèle à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.}~~l'axe $\left(\text{O}~ ;~\vect{\imath}\right)$ &\textbf{B.}~~l'axe $\left(\text{O}~ ;~\vect{\jmath}\right)$ &\textbf{C.}~~le plan \Oij &\textbf{D.}~~la droite passant par O et de vecteur directeur $\vect(3~;~ 0~;~- 1)$ \\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}
\end{document}