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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
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pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2025},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance — session 2025
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :
\begin{itemize}
\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet. Le sujet et les feuilles de brouillon ne seront ni ramassés ni corrigés.}
\end{itemize}}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Dans une fête foraine, un ticket enfant permet d'effectuer autant de tirs successifs qu'il est nécessaire pour crever un ballon.

À chacun de ses tirs, on considère qu'un enfant a la probabilité $0,2$ de crever le ballon.

Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
		\item Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
		\item Quelle est la probabilité $p$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon ?
	\end{enumerate}
\item Un deuxième stand de tir propose la règle suivante :

\begin{itemize}
\item le joueur lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée).
\item Soit $k$ le numéro de la face obtenue, le joueur peut réaliser au maximum $k$ tirs pour crever le ballon.
\end{itemize}

Déterminer la probabilité de crever le ballon.

Pour indications $0,8^3 = 0,512$ et $0,8^4 \approx 0,41$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f (x) = 2x \e^{- x}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~1].

Pour l'exercice on considérera que $\ln (2) \approx 0,69$, \quad $\e^{-0,1} \approx 0,90$ \quad et $\e^{-1} \approx 0,37$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur l'intervalle [0~;~1] l'équation $f (x)= x$.
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0\,; 1],

\[f'(x) = 2(1 - x)\e^{- x}.\]

		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&0,1\\
u_{n+1}&=& f\left(u_n\right)\:\: \text{pour tout entier naturel }\:n,
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, 
		\[0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1\]
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\item Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln (2)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On considère le plan $P$ caractérisé par le point A$(4~;~2~;~-1)$ et les vecteurs $\vect{u}(3~;~1~;~5)$ et $\vect{v}(-2~;~-1~;~0)$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ ne sont pas colinéaires.
\item Les points P(5~;~2~;~4) et Q$(0~;~- 1~;~10)$ appartiennent-ils au plan $P$ ?
\item Le point S$\left(7~;~- 2~;~\dfrac{10}{3}\right)$ appartient-il à la droite (PR) où R(2~;~3~;~3) ?
\item Calculer les distances PQ et PR.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x)= \displaystyle\int_1^x \ln (t)\,\text{d}t.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Que vaut $f(1)$ ?
\item Étudier le signe de $f$ sur $]1~;~+\infty[$, puis sur ]0~;~1[.
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x > 0$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ (on n'étudiera pas les limites en 0 et $+\infty$).

Vérifier les réponses obtenues à la question 2.
\item Une intégration par partie nous donne :

\[\displaystyle\int \ln(t)\,\text{d}t = [t \ln (t)] - \displaystyle\int 1 \,\text{d}t.\]

Calculer $f(x)$ pour tout $x > 0$.
\item En déduire :
	\begin{enumerate}
		\item la valeur de $f(\e)$.
		\item la limite de $f$ en $0$.
		\item la limite de $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}