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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours surveillance et aéronautique : pilote d'avion }
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2012~\decofourright\\[7pt]Concours : surveillance et aéronautique  :pilote d'avion  des douanes}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
--  L'usage de la calculatrice est interdit,\\
-- Tous les exercices devront être traités,\\
-- Chaque réponse devra être rigoureusement justifiée et devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte.
}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit la fonction $f : \R \to  \R$ définie par 
\[f(x) = 2^{\sin^2 x} - \cos x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculez numériquement les valeurs de $f(x)$ pour
\[x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2},\quad x = \pi, \quad, \quad x = \dfrac{3\pi}{2}, \quad x = 2\pi.\]
\item En détaillant votre réponse, calculez les valeurs de $x \in ]0~;~2\pi[$ pour lesquelles $f$ s'annule.
\item En remarquant que $f$ est périodique de périodicité $2\pi$, donnez l'ensemble des nombres réels racines de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère un dé à six faces pipé.

La probabilité d'obtenir l'une des face est proportionnelle au chiffre inscrit dessus.

\emph{Dans cet exercice, les résultats devront être exprimés sous  forme de fractions irréductibles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On lance le dé. Calculer la probabilité $p_i$ d'obtenir la face $i$.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face impaire ?

Justifiez que la probabilité d'obtenir
une face paire est de $\dfrac47$.
\item On joue à un jeu avec ce dé.

Si une face paire sort, le joueur gagne 100\,\% de sa mise.

Si une face impaire sort, le joueur perd 50\,\% de sa mise.

Une partie se déroule en trois jets de dés successifs. 

Le joueur dispose d'une somme d'argent en début de partie. Il est obligé de parier la totalité de son argent à chaque jet de dé.
	\begin{enumerate}
		\item Détaillez de combien Sophie dispose à l'issue de chaque jet de dé. Donnez, en les justifiant ces résultats sous forme d'un arbre.
		\item Quelle est la probabilité associée à chacun des gains possibles à l'issue du troisième jet de dé.
		\item Ce jeu est-il en faveur ou défaveur de Sophie ? Justifiez.
		\item Si le dé n'était pas pipé, le jeu serait-il en faveur ou en défaveur de Sophie ? Justifiez.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

En vous aidant des propriétés de la fonction exponentielle, répondez en détaillant vos calculs aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont dans $\R$ les solutions -- si elles existent-- de l'équation 
\[x^{\sqrt x} = \left(\sqrt x\right)^x.\]

\item Calculez la limite quand  $x \to + \infty$ de la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = \dfrac{\left(x^x \right)^x}{x^{\left(x^x\right)}} ?\]

\item Quelle est la solution -- si elle existe -- de l'équation
\[x^{\frac{\ln (\ln x)}{\ln x}} = \sin ^2 x + \cos^2 x.\]

\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Soit la fonction réelle
\[f(x)= \dfrac{\ln(x)}{x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donnez le domaine de définition de $f$.
\item Calculez la dérivée de $f$ et donnez son domaine de définition.
\item Étudiez le signe de la dérivée de $f$ et déduisez-en les variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'équation 
\[n^p= p^n,\]
 où $p$ et $n$ sont des entiers naturels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les propriétés du logarithme népérien et de la fonction exponentielle, réexprimez l'équation sous la forme de quotients.

Exprimez $\ln (4)$ en fonction de $\ln (2)$.
\item En utilisant les résultats obtenus dans la partie A, prouvez que l'équation $n^p= p^n$ n'admet qu'une seule solution $(n~;~p)$ avec $n \in \N$ et $p \in \N$. Donnez cette solution.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\medskip

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies sur $\N$ par

\begin{center}$u_0 = 2, \quad v_n = \dfrac{2}{u_n}$\quad et \quad $u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2}$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrez par récurrence que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont minorées par 1 et majorées par 2.
\item Montrez que pour tout $n \in \N, \quad  u_{n+1} - v_{n + 1} = \dfrac{\left(u_n - v_n\right)^2}{2\left(u_n  v_n\right)}$.

Indication: remarquez que $v_n = \dfrac{2}{u_n} \iff v_n u_n = 2$.
\item Montrez que pour tout $n \in \N, \: u_n > v_n$.
\item Montrez que $\left(u_n\right)$ est décroissante et $\left(v_n\right)$ croissante.
\item On considère la relation suivante: $u_n - v_n \leqslant  \dfrac{1}{4^n}$ pour tout $n \in \N$. (On ne demande pas de démontrer cette relation)

En déduire un encadrement de $u_n- v_n$.
\item Calculez la limite de la suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n = u_n - v_n$.

Qu'en déduisez-vous ?
\item En déduire la limite des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Justifiez.
\end{enumerate}
\end{document}