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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\lhead{\small}
\lfoot{}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'entrée \`a l'École de Santé de Lyon-Bron~\decofourright}} 


\bigskip

Avertissement : L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée.

Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.

Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.

Les candidats traiteront les trois exercices.

\textbf{\large Année 2012}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}   \hfill 6 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exode.
 
On demande au candidat de signaler \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet (voir l'annexe). 

Toute réponse juste est comptée + 1 point. Toute réponse fausse est comptée 0,5 point.
 
Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\medskip
 
Question \no 1 : On considère, dans le plan complexe, les points M et N d'affixes respectives: 

\[z_{\text{M}} =  \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et}\quad  z_{\text{N}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}.\]

le milieu I du segment [MN] a pour image, par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, le point J. L'affixe de J est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
A : $z_{\text{J}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&
B : $z_{\text{J}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&
C : $z_{\text{J}} = \sqrt{2} \text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$& 
D : $z_{\text{J}} = \sqrt{2} \text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$
\end{tabularx}

\medskip

Question \no 2 : Un élève se présente à deux concours $C_{1}$ et $C_{2}$. Ces deux concours sont indépendants. Il  a une chance sur trois de réussir au concours $C_{1}$ et une chance sur trois de réussir au concours $C_{2}$. 

La probabilité P pour que l'élève réussisse au moins un concours est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
A : $\dfrac{5}{9}$&
B : $\dfrac{2}{3}$&
C : $\dfrac{1}{9}$& 
D : $\dfrac{2}{9}$
\end{tabularx}

\medskip

Question \no 3 : On considère l'intégrale : $I = \displaystyle\int_{0}^1  \dfrac{2}{x^2 + 2x + 1}\:\text{d}x$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
A : $I = - 1$&
B : $I = 0$&
C : $I = 1$& 
D : $I = 2$
\end{tabularx}

\medskip

Question \no 4 : Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par  
$f(x) = \dfrac{x - 1}{\ln (x -1)}$	est, 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
A : $]0~;~+ \infty[$&
B : $]1~;~2[\: \cup\: ]2~;~+ \infty[$&
C : $]1~;~+ \infty[$& 
D : $]0~;~1[\: \cup\: ]1~;~+ \infty[$
\end{tabularx}

\medskip
 
Question \no 5 : Toute suite $\left(u_{n}\right)$ avec $n > 0$ telle que : $\dfrac{2}{n^2}\leqslant u_{n} \leqslant 1 + \dfrac{1}{n}$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
A : croissante&
B : bornée&
C : convergente& 
D : divergente
\end{tabularx}

\medskip
 
Question \no 6 : Une solution de l'équation différentielle $y' =  -3y + 4\text{e}^{- 2x}$	est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
A : $\text{e}^{-3x} + \dfrac{4}{3}\text{e}^{2x}$& 
B : $4\text{e}^{-3x} - 1$&
C : $4\text{e}^{-3x} - \dfrac{1}{3}$& 
D : $4\text{e}^{-2x}$
\end{tabularx}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}   \hfill 6 points}

\medskip
 
On considère le nombre complexe $z = 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique. 
\item Déterminer le module et un argument de $z^2$. 
\item En utilisant les propriétés du module et de l'argument d'un produit déterminer la forme trigonométrique de $z$. 
\item  En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\frac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{7\pi}{12}\right)$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}   \hfill 8 points}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right)\text{e}^{-x}.\]


 
 On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. (Unité graphique : 2~cm). Vous justifierez chacune de vos réponses.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de la fonction $f$. 
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $x$ 
\item Donner le signe de la fonction g définie sur $\R$ par $g(x) = - x^2 + 5x - 4$. 
\item En déduire le signe de la fonction $f'$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ en justifiant soigneusement 
\item Déterminer les variations de $f$ et dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$. 

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on pose  $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1  x^n\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. 
 
\item Montrer que $I_{1} = 1 - 2\text{e}^{-1}$.
 
On admet que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, 
 
\[I_{n} = nI_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}.\]
 
\item Déterminer la valeur exacte de $I_{2}$ et $I_{3}$. 
\item Déterminer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
\end{enumerate}
\end{document}