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%Tapuscrit : François Hache
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\begin{document}

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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2024
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{Remarques préliminaires:}
\item Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.
\item Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur les copies destinées à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.
\end{list}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 1}

\medskip


En 2020, M. DUFISC a fait sa première déclaration de revenus : il a déclaré un revenu annuel de \np{90000}~\euro, l'impôt correspondant s'est élevé à \np{8000}~\euro{} et son revenu après impôt a donc été de \np{82000}~\euro. Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté de 2\;\% et l'impôt correspondant a augmenté de 3\;\%.

M. DUFISC souhaite étudier ce qu'il adviendrait de son revenu après paiement de l'impôt
si l'évolution constatée se poursuivait.

Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit et, pour tout entier $n$ positif ou nul, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $R_n$ le montant exprimé en euros du revenu annuel de M. DUFISC en l'an $(2020+n)$;
\item $I_n$ le montant exprimé en euros de l'impôt correspondant;
\item $U_n = R_n - I_n$.
\end{list}

Ainsi $R_0=\np{90000}$ ; $I_0=\np{8000}$ ; $U_0=\np{82000}$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $R_1$; $I_1$; $U_1$; $R_2$; $I_2$; $U_2$.
		\item  Montrer que, pour tout entier $n$ positif on a : 

$R_n=\np{90000}\times (1,02)^n$ et  $I_n=\np{8000}\times (1,03)^n$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n$ positif, 
$U_{n+1}-U_{n} = \np{1800}\times (1,02)^n - 240\times (1,03)^n$.

		\item Montrer que: $U_{n+1} < U_n$ équivaut à: $n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left (\dfrac{15}{2} \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admettra que les entiers $n$ supérieurs ou égaux à 207 vérifient $n\times \ln \left (\dfrac{1,03}{1,02}\right) > \ln \left (\dfrac{15}{2} \right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Si l'évolution que M. DUFISC a constatée concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit, voit-il son revenu après l'impôt diminuer?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 2}

\medskip

Depuis une décennie, le nombre de candidats admis au baccalauréat augmente régulièrement à Clermont-Ferrand. Les responsables du campus universitaire décident de mener une étude sur les besoins en infrastructures et équipements du campus puis une enquête auprès d'un échantillon d'étudiants sur leur préférence entre le renforcement du parc automobile et la construction de nouvelles résidences universitaires.

L'étude menée sur la période allant de 2015 à 2020 a permis de modéliser l'évolution du nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements dans les résidences universitaires par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[u_n= \np{1000} \left [ \dfrac{1}{2}n+1 - \ln \left ( \dfrac{1}{2}n+1\right ) \right ];\] 

$(u_n)$ étant le nombre d'étudiants en $(2015+n)$.

Arthur, le premier responsable des étudiants, a pris connaissance des résultats de l'étude menée. Afin de connaître l'évolution du nombre d'étudiants demandeurs de logements dans les résidences universitaires, il se propose d'étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ par:

\[f(x)=  \dfrac{1}{2}x+1 - \ln \left ( \dfrac{1}{2}x+1\right ).\]

Il se propose également d'analyser les résultats issus de l'enquête.

\bigskip

\textbf{\large{}Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements dans les résidences en 2015 puis en 2020.

Vous pourrez utiliser les approximations suivantes pour exprimer les résultats:

$\ln \left ( \dfrac{3}{2}\right ) \approx \np{0,4054}$ ; \hfill
$\ln (2) \approx \np{0,6931}$; \hfill
$\ln \dfrac{5}{2}\approx \np{0,9163}$; \hfill
$\ln (3) \approx \np{1,0986}$; \hfill
$\ln \left ( \dfrac{7}{2} \right ) \approx \np{1,2528}$;

$\ln (4)\approx \np{1,3863}$; \hfill
$\ln \left (\dfrac{9}{2}\right )\approx \np{1,5041}$; \hfill
$\ln (5) \approx \np{1,6094}$; \hfill
$\ln \left ( \dfrac{11}{2}\right )\approx \np{1,7047}$; \hfill
$\ln (6) \approx \np{1,7918}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f ( x )$ pour tout $x$ appartenant à $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$.
\item Étudier le sens de variation de $f ( x )$.
\end{enumerate}

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f ( x )$ sur l'intervalle $\left [0\;;\;10\strut\right ]$.

\item Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Partie B}

\medskip

Un groupe de $100$ étudiants composé de $60$ garçons et $40$ filles a participé à l'enquête sur la préférence entre le renforcement du parc automobile et la construction des résidences universitaires. 40\;\% des garçons sont favorables au renforcement du parc et 60\;\% des filles optent pour la construction des résidences universitaires.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer:
	\begin{enumerate}
		\item le nombre de garçons ayant opté pour la construction de nouvelles résidences.
		\item  le nombre total d'étudiants ayant opté pour la construction des nouvelles résidences. 
	\end{enumerate}
\item On interroge un étudiant au hasard. \\
Déterminer la probabilité des évènements suivants:
	\begin{enumerate}
		\item A : l'étudiant préfère la construction de nouvelles résidences.
		\item B : l'étudiant est une fille qui a opté pour le renforcement du parc automobile.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ par $f(x)=x^2-8\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur son ensemble de définition et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.

\item Étudier les variations de $f$ sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ et dresser son tableau de variation complet. On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$.

\item Démontrer que sur l'intervalle $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).

\item On admet que sur l'intervalle $\left [2\;;\;+\infty\strut \right [$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).\\
En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $\left]0\;;\;+\infty\strut \right[$.

\item Pour tout réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ par: 

$g_k(x)=x^2-8\ln(x)+k$.

En s'aidant du tableau de variation de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 4}

\medskip

On dispose d'une urne contenant 6 jetons indiscernables au toucher dont :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item trois jetons numérotés 1;
\item deux jetons numérotés 2;
\item un jeton numéroté 3.
\end{list}

et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées 1, 1, 2, 2, 2, 3.

L'épreuve $(E)$ consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l'urne et à lancer une fois le dé.

On effectue une épreuve. On suppose que tous les évènements élémentaires sont équiprobables.

\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilités des évènements suivants :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item A : \og le produit des trois numéros obtenus est égal à 4 \fg{};
\item B : \og la somme des trois numéros obtenus est égale à 5 \fg.
\end{list}

\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 lors d'une épreuve.

Donner la loi de probabilité de $X$ et en dresser le tableau.
\item Lors d'une épreuve, on appelle \og   succès  \fg{} l'obtention de trois numéros impairs.

Montrer que la probabilité d'avoir un succès est égale à $\dfrac{1}{5}$.

\item Soit $n\in\N\setminus \left \lbrace0\;;\;1\strut\right \rbrace$. On répète $n$ fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve $(E)$. Calculer la probabilité $P_n$ de l'évènement $A_n$: \og   obtenir au moins un succès lors des $n$ épreuves  \fg{}.
\end{enumerate}
\end{document}