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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2022},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance -- session 2022
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :}
\begin{itemize}
\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Une entreprise doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de \np{30000}~tonnes de déchets par an.

En 2010, l'entreprise rejetait \np{40000}~tonnes de déchets.

Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5\,\% par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs $200$~tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année 

$(2010 + n)$. On a donc $u_0= \np{40000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+ 1} = 0,95u_n + 200$.
\item On considère la suite $\left(s_n\right)$ définie, pour tout naturel $n$, par $s_n = u_n - \np{4000}$.

Démontrer que la suite $\left(s_n\right)$ est une suite géométrique. Précisez sa raison et son premier terme.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimez $s_n$ en fonction de $n$.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = \np{36000}  \times 0,95^n + \np{4000}$.
\item Déterminer la limite de $u_n$ en $+\infty$ et commenter.
\item À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à
respecter son engagement ? On notera que :

\[\dfrac{13}{18} \approx 0,722 ; \quad  0,95^5 \approx 0,774 ;\quad  0,95^6\approx 0,735 ;\quad 0,95^7\approx 0,698 , 0,95^8\approx 0,663\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une entreprise vend des calculatrices de marque Calculmax.

Le service après-vente s'est aperçu qu'elles pouvaient présenter deux types de défauts, l'un lié au clavier et l'autre à l'affichage.

Des études statistiques ont permis à l'entreprise d'utiliser la modélisation suivante:

La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à 0,04.

En présence du défaut de clavier, la probabilité que la calculatrice soit en panne d'affichage est de 0,03.

En l'absence de défaut de clavier, la probabilité de ne pas présenter de défaut d'affichage est de 0,94.

On notera $A$ l'évènement \og  la calculatrice présente un défaut d'affichage \fg{} et

\phantom{On notera }$C$ l'évènement \og la calculatrice présente un défaut de clavier \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir l'arbre pondéré décrivant cette situation.
\item Préciser les probabilités suivantes:

\[P_C\left(\overline{A}\right),\quad  P_C(A)\quad  \text{et} \quad  P(C)\]

\item On choisit au hasard une calculatrice de la marque Calculmax.

Pour cette question 3., les résultats seront donnés sous forme décimale au dix millième près.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts.
		\item Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d'affichage mais pas le défaut de clavier.
		\item Montrer que la probabilité que la calculatrice présente le défaut d'affichage est \np{0,0588}.
	\end{enumerate}	
\item On choisit une calculatrice de la marque Calculmax qui présente le défaut d'affichage.

Calculer la probabilité qu'elle présente aussi le défaut de clavier.

Pour cette question 4. le résultat sera donné sous forme de fraction.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{-2x}}\]

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{3 1 2.71828 2 x mul neg exp add div}
\uput[ul](-1,0.45){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[u](-2.5,3){$\Delta$}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,3)(5,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=3 - f(x)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\R$.
\item On désigne par $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = - \dfrac32 \ln \left(1 + \text{e}^{-2x}\right)$.

Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
\item Soit $a$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{a} f(x)\:\text{d}x$.
		\item Démontrer que $\displaystyle\int_0^{a} h(x)\:\text{d}x = \dfrac32 \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- x}} \right)$.
		\item On note $D$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par $x \geqslant 0$  et $f(x) \leqslant y \leqslant 3$. 
		
Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB $= 6$, AD $= 4$ et AE $= 2$.

I, J et K sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac16\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AJ}} =\dfrac14\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{AK}} = \dfrac12\vect{\text{AE}}$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.5,2.2)
\psframe(0.2,0.2)(3.2,1.2)%ABFE
\psline(3.2,0.2)(4,0.7)(4,1.7)(3.2,1.2)%BCGF
\psline(4,1.7)(1,1.7)(0.2,1.2)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1,0.7)(4,0.7)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1,0.7)(1,1.7)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.2,0.2){B} \uput[r](4,0.7){C} \uput[ur](1,0.7){D}
\uput[ul](0.2,1.2){E} \uput[u](3.2,1.2){F} \uput[ur](4,1.7){G} \uput[u](1,1.7){H}
\uput[d](0.7,0.2){I} \uput[u](0.4,0.3){J} \uput[l](0.2,0.7){K}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,0.2)(0.7,0.2)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,0.2)(0.4,0.33)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,0.2)(0.2,0.7)
\end{pspicture}
\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A},~\vect{\text{AI}},~\vect{\text{AJ}}, \vect{\text{AK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées du point G dans ce repère.
\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~2~;~-9)$ est normal au plan (IJG).
\item Déterminer une équation du plan (IJG).
\item Déterminer un vecteur $\vect{v}$ normal au plan (BCG) et en déduire une équation de ce plan.
\end{enumerate}

\end{document}