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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2021}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance -- session 2021
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

Remarque préliminaire:

-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.

-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les points A(1~;~2) et $M(-1~;~m)$, $m \in \R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une équation cartésienne de la droite $D_m$ passant par A et $M$.

Tracer $D_1$ et $D_2$ .
\item Quel est le coefficient directeur de $D_m$ ?
\item Déterminer $m$ tel que: 
\setlength\parindent{1cm}

$D_m$ passe par B(2~;~1) ;

$D_m$ soit parallèle à l'axe O$x$ ;

$D_m$ coupe l'axe O$x$ en un point C d'abscisse $-2$ ;

$D_m$ coupe l'axe O$y$ en un point D d'ordonnée 3.
\setlength\parindent{0cm}

Représenter $D_m$ dans chaque cas, sur le même dessin.
\item A-t-on toutes les droites passant par A, lorsque l'on fait décrire à $m$ l'ensemble $\R$ ?

Soit maintenant $\Delta_m$ la droite d'équation:

\[(m+ 7)x + (m + 3)y - 2m - 9 = 0\]

\item Montrer que $\Delta_m$ passe par un point fixe E dont on déterminera les coordonnées. 
\item Étudier suivant les valeurs de $m$ la position relative de $D_m$ et $\Delta_m$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On lance trois dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on considère les événements suivants :

$\bullet~~$ $A$: \og on obtient au moins un six \fg

$\bullet~~$ $B$: \og deux dés, au moins, donnent un résultat identique \fg.

On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$.

Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des évènements: $\overline{A},\: \overline{B},\:A, \:B$.
\item Décrire l'événement $\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$ puis calculer sa probabilité.
\item En remarquant que: $\overline{A} = \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap  B\right)$, déduire de 2. la probabilité de l'évènement $\left(\overline{A} \cap B\right)$.
\item Par une méthode semblable, calculer la probabilité de l'évènement $A \cap B$.
\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x)= \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.\]

La courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère
orthogonal est donnée ci-après. Cette figure est à reproduire sur votre copie. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f(x)- \dfrac{1}{3}x$ en $+ \infty$.
		
Que peut-on dire de la droite $(D)$ d'équation $y = \dfrac{1}{3}x$ par rapport à la courbe $(C)$,

%Tracer $(D)$.
		\item %Étudier la position relative de $(D)$ et de $(C)$.
On a $f(x) - \dfrac{1}{3}x = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$.

Or quel que soit $x \in \R$, \: $\text{e}^{-x} > 0$, donc $1 + \text{e}^{-x} > 1$ et par croissance de la fonction logarithme népérien $\ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) > \ln 1$ ou encore $\ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) > 0$ : ceci signifie que quel que soit $x \in \R$, \: la courbe $(C)$ est au dessus de la droite $(D)$.
		\item %Montrer que pour tout réel $x$,\: $f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$.
Quel que soit $x \in \R$, \: $f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right) + \dfrac{1}{3}x = \ln \left(\dfrac{\text{e}^{x} + 1}{\text{e}^{x}}\right) + \dfrac{1}{3}x = $

$\ln \left(\text{e}^{x} + 1\right) - \ln \left( \text{e}^{x}\right) + \dfrac{1}{3}x$.
Or $\ln \left( \text{e}^{x}\right) = x$.

Donc $f(x) = \ln \left(\text{e}^{x} + 1\right) - x +\dfrac{1}{3}x = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$.
		\item %En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout $x$ réel,

$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x-2}{3\left(\text{e}^x+1\right)}$.

En déduire les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe $(C)$. 

On note $(T)$ la tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient directeur de $(T)$ puis construire $(T)$ sur le graphique reproduit sur votre copie.
\item Soient M et N deux points de la courbe $(C)$ d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite $(T)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-1)(5,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{5}{1 2.71828 x exp div 1 add ln  x 3 div add}
\uput[u](5.4,0){$x$}\uput[r](0,3.4){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x)= \ln \left(1 + x\e^{-x}\right)\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $C$ est représentée ci-après.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.
\item Justifier que, pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $A(\lambda) = \displaystyle\int_0^{\lambda} f(x)\:\text{d}x$.

On se propose de majorer $A(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes.

\medskip

\textbf{Première méthode}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire sur votre copie le graphique ci-dessous et y représenter la partie du plan dont l'aire en unité d'aire est égale à $A(\lambda)$.
\item Justifier que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $A(\lambda) \leqslant \lambda f(1)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Seconde méthode}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $x \longmapsto  -(x + 1) \e^{-x}$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto  x \text{e}^{-x}$ sur $\R^{+}$.

Calculer ensuite $\displaystyle\int_0^{\lambda}  x \e^{-x} \:\text{d}x$ en fonction de $\lambda$.

\item On admet que, pour tout nombre réel positif $u$,\: $\ln (1 + u)\leqslant u$.

Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif :

$A(\lambda) \leqslant - \lambda \text{e}^{-\lambda} - \e^{-\lambda} + 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Application numérique}

\medskip

Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $A(5)$, arrondi au centième.

Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? 

On donnera comme valeurs approchantes: $\e^{-5} \approx 0,007$ et 
$\ln \left(1 + \dfrac{1}{\e} \right) \approx 0,31$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6.25,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
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\uput[u](5.4,0){$x$}\uput[r](0,0.9){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

Je ne pensais pas à 80 ans, habitant à Dax depuis plus de 50 ans prendre une amende pour ne pas avoir payé le parking, place de la cathédrale à Dax. Après mon infarctus de fin février mon médecin m'a trouvé une cruralgie qui m'handicapait fortement et je suis arrivé à 12 h près de la la pharmacie Umbricht pour prendre mes médicaments anti-douleurs. 
À cet heure je pensais le stationnement gratuit et étant revenu depuis sur les lieux de mon « crime » j'ai pu constater que nulle part n'est indiqué que le stationnement est payant jusqu'à 12 h 30.
Deuxième motif : je suis resté un petit moment (à peu près 15 minutes)  à la pharmacie et si j'avais su j'aurais pris un ticket me donnant une demi-heure gratuite.
Je trouve donc que mon amende n'est pas justifiée et demande son annulation
Denis Vergès