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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche  surveillance}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche  surveillance session 2020
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

Remarque préliminaire:

-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.

-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.

\bigskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x > 3$ par 
\[f(x) = \ln (2x - 6),\]
 et on appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x\to 3$ et $x \to + \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variations.
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses au point A. Quelles sont les coordonnées de A ?
\item Déterminer une équation de la droite $(T)$ tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la droite $(D)$ d'équation $y = x$. Par symétrie axiale d'axe $D$, la courbe $\mathcal{C}_f$ se transforme en une courbe $\mathcal{C}_g$ représentative d'une fonction $g$ définie sur $\R$. 

On admet que pour tout réel $x$, la fonction $g(x)$ peut s'écrire sous la forme $g(x)= a + b\text{e}^x$ où $a$ et $b$ sont deux réels. 

La courbe $\mathcal{C}_g$ passe par le point A$'$ image de A par la symétrie axiale d'axe $D$. De
plus, la courbe admet au point A$'$ une tangente $(T')$ qui est l'image de $(T)$ par la symétrie d'axe $(D)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en justifiant, les valeurs de $a$ et $b$.
\item Calculer l'ordonnée exacte du point E appartenant à $\mathcal{C}_g$ et ayant pour abscisse 3. En déduire les coordonnées du point E$'$ image de E par rapport à $D$.
\item Déterminer la valeur de $\displaystyle\int_0^3 \left(3 + \dfrac{1}{2}\text{e}^x \right)\:\text{d}x$.
\item En déduire l'aire $A$, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E.
\item Expliquer comment on peut en déduire, sans calcul, la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{3+ \frac{1}{2}\text{e}^3} f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

Soient $a$ et $b$, deux suites réelles définies sur $\N$ par $a_0 = 4$ et $b_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ par:

\renewcommand\arraystretch{2}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&\dfrac{1}{4}\left(3a_n + b_n\right)\\
b_{n+l}&=&\dfrac{1}{4}\left(a_n + 3b_n\right)
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

$\Delta$ étant un axe rapporté au repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$, pour tout entier naturel $n$, on désigne par $A_n$ et $B_n$, les points de $\Delta$ d'abscisses $a_n$ et $b_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer $A_0$, $B_0$, $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$ sur $\Delta$.
\item Soit $u_n$ la suite réelle définie sur $\N$ par $u_n = a_n + b_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $u_n$ est constante.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, les segments $\left[A_nB_n\right]$ ont le même milieu I dont on déterminera l'abscisse.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite réelle $v_n$ définie sur $\N$ par $v_n= b_n - a_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_n$ est une suite géométrique. Déterminer sa limite si elle existe.
		\item Que peut-on dire de la distance $A_nB_n$ lorsque $n \to  +\infty$ ?
	\end{enumerate}	
\item Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ appartenant à $\N$.
\item Démontrer que $a_n$ et $b_n$ sont convergentes et ont la même limite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère le plan (P) d'équation $2x + y - z + 7 = 0$ et les points A$(4~;~1~;~-2)$, B$(-3~;~1~;~2)$ et C$(-1~;~3~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point B appartient au plan (P) et déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (BC).
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (Q) passant par A et orthogonal à (BC).
\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$ passant par A et orthogonale à (P).
\item Soient R le projeté orthogonal de A sur (P) et S le projeté orthogonal de A sur (BC), déterminer les coordonnées de R et S.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

Une urne contient 3 boules bleues et $n$ boules blanches ($n$ étant un entier naturel non nul),
indiscernables au toucher et ayant chacune la même probabilité d'être tirée.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On tire successivement 3 boules avec remise et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules bleues tirées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer E$(X)$ et déterminer $n$ pour que l'espérance mathématique soit égale à $1,5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Pour la suite de l'exercice on considère que $n = 2$.

On effectue un tirage successif et sans remise des 5 boules de l'urne. On désigne par $Z$ la variable aléatoire égale au rang de la première boule bleue tirée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $Z$.
\item Calculer l'espérance mathématique et la variance de $Z$.
\end{enumerate}
\end{document}