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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[6pt]Option surveillance session 2013}}

\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice \no 1 :}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n = \dfrac{4n-2}{n+2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, par calcul, les valeurs approchées au centième de $u_0$ à $u_{10}$ et $u_{100}$.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, on a $-1 \leqslant u_n \leqslant 4$. 

On dit (remplir les blancs) que la suite $\left(u_n\right)$ est \ldots \ldots par $(- 1)$ et  \ldots \ldots  par $(4)$.
\item Étudier le sens de variation de $\left(u_n\right)$.
\item Démontrer que, pour $n$ suffisamment grand, on a $u_n> 3,999$. Que peut-on penser de
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 2 :}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = ax+ b+ 3 \ln (x + 1)\]

où $a$ et $b$ désignent deux réels que l'on déterminera dans la question 1. 

On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

$\mathcal{C}_f$ vérifie les conditions suivantes : elle passe par le point A(0~;~7) où elle admet une tangente horizontale et est monotone de part et d'autre de cet extremum.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ et $b$.
\item En utilisant les données de l'énoncé, que peut-on dire du sens de variation de $f$ ? (sans étudier le signe de la dérivée).
\item On suppose désormais que la fonction $f$ est définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par:

\[f(x )=-3x + 7 + 3 \ln (x + 1)\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $-1$. Interpréter graphiquement le résultat.
x
		\item En admettant que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 0$, calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$.

Dresser le tableau de variation.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = (x + 1) \ln (x + 1) - x.\]

Calculer $g'(x)$ et en déduire l'expression de la primitive de $f$ s'annulant pour $x = 0$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 3 :}

\medskip

Un concours des douanes compte \np{11000} inscrits dont 40\,\% sont des femmes. On dénombre 30\,\% des hommes et 40\,\% des femmes qui parlent une langue étrangère.

Partant du principe qu'on interroge l'un de ces \np{11000} candidats:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que cette personne soit une femme parlant une langue étrangère.
\item Calculer la probabilité que cette personne soit une femme ne parlant aucune langue étrangère.
\item Sachant que la personne parle une langue étrangère, quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une femme ?
\end{enumerate}
\end{document}