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%Tapuscrit  : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours entrée école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{avril  2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé Bron avril 2006~\decofourright}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 3
\end{center}
\vspace{0,25cm}

Avertissement : L'utilisation de calculatrices, de règles à calcul, de formulaires et de papier millimétré n'est pas autorisée. Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.

\emph{Le candidat traitera les trois exercices en respectant les notations du texte et la numérotation des questions.\\
Aucun document ne sera rendu avec la copie.} 

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 : \hfill 8 points}

\medskip 

Dire si les propositions des parties A cl B (qui sont indépendantes) sont vraies ou fausses.

Chaque réponse juste rapporte $1$ point. Chaque réponse fausse enlève $0,5$ point.

Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$. 

\textbf{Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $f$ et $g$ deux fonctions quelconques continues et positives sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item La fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $x \longmapsto \displaystyle\int_5^x f(t)\:\text{d}t$ a pour dérivée $f$.
\item La fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $x \longmapsto \displaystyle\int_5^x f(t)\:\text{d}t$ prend des valeurs toutes positives ou nulles.
\item Pour tous réels $a$ et $b$ de $[0~;~+ \infty[$,\:$\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)\:\text{d}x = \left(\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x\right)\left(\displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \cos x\:\text{d}x$.
\item $\displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{(\ln x)^2}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}$. 
\item $\displaystyle\int_0^{- \pi} \sin^4 \: x\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin^4 \: x\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 : \hfill 8 points}

\medskip 

$z$ étant un complexe, on note $(S)$ le système $\left\{\begin{array}{l c l}
|z|&=&|z - 6|\\
\text{arg}\left(z^2\right)&=&\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \: k \in \Z
\end{array}\right.$

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le module et un argument des trois complexes suivants : 

\[a = \sqrt{3} + \text{i}\quad  b = - 2 + 2\text{i}\quad c = 3 + 3\text{i}.\]

\item Parmi les complexes $a$, $b$ et $c$ quels sont ceux qui sont solutions du système $(S)$ ? (on justifiera la réponse).
\item $M$ étant le point d'affixe $z$ et A étant le point d'affixe $6$, traduire géométriquement les deux contraintes de $(S)$.
\item Résoudre le système $(S)$ par la méthode de votre choix.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 : \hfill 6 points}

\medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs définie par : $u_0 = 2$ et, pour tout $n$ de $\N$,\: $\ln \left(u_{n+1}\right) = 1+ \ln \left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Déterminer la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa limite.
\item Exprimer la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$ en fonction de $n$.
\item Exprimer la somme $\displaystyle\sum_{k=1}^n \ln \left(u_k\right)$  en fonction de $n$. 

En déduire le calcul de $u_1 \times u_2 \times \ldots \times u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{document}