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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 27 février 2012~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. \emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1} \quad (voir dans Concours branche surveillance 2015)

\medskip

On considère $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$,deux suites définies par $u_0 = 9$ et, pour tout $n \in \N$ ,par :

\begin{center}$u_{n+1} = \dfrac12 u_n - 3$\quad et \quad $v_n = u_n + 6$\end{center}

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ou géométrique ?

Justifiez votre réponse et précisez quelle est la raison de cette suite.
\item Exprimez $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$, puis $S'_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminez les limites de $\left(S_n\right)$ et $\left(S'_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.
\end{enumerate}

On définit, pour tout $n \in \N$ , la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n = \ln \left(v_n\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrez que $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique et précisez sa raison.
\item Exprimez $S''_n = w_0 + w_1 + \ldots + w_n$ en fonction de $n$, puis calculer la limite de $\left(S''_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.
\item Calculez le produit $P_n= v_0v_1\ldots v_n$ en fonction de $n$.

Déduisez-en la limite de $\left(P_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = x\e^{-x + 2}.\]

On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe $(\mathcal{C})$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer l'allure de la courbe $(\mathcal{C})$ ainsi que celle de la courbe de la fonction logarithme népérien que l'on notera $L$.
		
Déduire du graphique réalisé, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \ln x$ sur $[1~;~+\infty[$.
		\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \ln (x) - f (x)$ est strictement croissante sur $[1~;~ +\infty[$.

En déduire que l'équation $f(x) = \ln x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~ +\infty[$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par 
\[h(x) = \e^x\left(4 - \e^x\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et en $+\infty$ 

\item Soit $h'$ la dérivée de $h$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$.
		\item Résoudre l'inéquation $2 - \e^x > 0$ et en déduire le signe de $h'(x)$ et le sens de variations de $h$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $h$ 
\item On considère l'équation $h(x) = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $x = 0$ est solution de cette équation.
		\item Vérifier la relation $h(x) - 3 = \left(\e^x -3\right) \left(1 - \e^x \right)$ et en déduire la valeur de la solution non nulle, $\lambda$, de l'équation $h(x) = 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On réalise une enquête portant sur la réussite à un concours administratif (qui ne comporte
qu'une seule épreuve).

Cette enquête montre que :

\begin{itemize}
\item avant de s'y présenter, 75\,\% des candidats ont travaillé très sérieusement ce concours;
\item lorsqu'un candidat a travaillé très sérieusement ce concours, il l'obtient dans 80\,\% des cas;
\item lorsqu'un candidat n'a pas beaucoup travaillé ce concours, il ne l'obtient pas dans 70\,\% des cas.
\end{itemize}

On interroge au hasard un candidat qui vient de passer le concours (on suppose que les résultats sont connus dès la fin de l'unique épreuve).

On considère les évènements suivants:

T l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement\fg{} ;

R l'évènement \og le candidat est reçu à ce concours \fg{} ;

Les résultats seront donnés sous forme de décimales (en utilisant des puissances, le cas échéant).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement et est reçu au concours \fg
		\item Montrer que la probabilité $P(R)$ qu'un candidat soit reçu à ce concours est égale à $0,675$.
	\end{enumerate}
\item Le candidat interrogé vient d'échouer au concours. Quelle est la probabilité qu'il ait travaillé très sérieusement?
\item À la sortie de l'épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats.

Calculer la probabilité $P3$ d'interroger au moins une personne ayant échoué au concours.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Un marchand de guitares vend le même jour cinq guitares identiques à des particuliers.

Ce marchand accorde les guitares avant de les remettre à ses clients.

La probabilité qu'une guitare de ce type soit toujours accordée 6 mois après la vente est de 0,8.

Calculer les probabilités pour que:

\medskip

\begin{enumerate}
\item les cinq guitares soient toujours accordées 6 mois après la vente ;
\item les cinq guitares soient désaccordées 6 mois après la vente ;
\item trois guitares soient désaccordées 6 mois après la vente ;
\item deux guitares au plus soient désaccordées 6 mois après la vente.
\end{enumerate}
\end{document}