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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales\\et de l'administration générale}}
\rfoot{\small{session 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 14 mars 2011~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet.\\
\emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par: 

\[f(x )= 1 - \text{e}^{-3x} \quad \text{pour tout } x \: \text{réel.}\]



Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij.

La courbe représentative de la fonction $f$ est notée $(\mathcal{C})$, la droite d'équation $y = x$ est notée $(D)$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ .
	\end{enumerate}	
\item On note $g$ la fonction définie par $g(x) = f (x) - x$ pour tout $x$ réel.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$, où $g'$ ,désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
		
Montrer que $g'(x) < 0$ équivaut à $x > \dfrac{\ln 3}{3}$.
		\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
		
L'étude des limites de la fonction $g$ n'est pas demandée mais on précisera les valeurs exactes de $g(0)$, $g(1)$.
		\item On note $\alpha$ l'unique nombre réel non nul tel que $g(\alpha) = 0$,avec $\alpha \in  ]0,94~;~0,95[$. 
		
Donner le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du nombre $x$ réel.

En déduire la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(D)$.
	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la droite $(T)$ tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point O.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par 

\[u_0 = 6 \quad \text{et }\quad u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2.\]

On pose $v_n = u_n - 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Déduire, en utilisant la question précédente, les limites, quand $n$ tend vers plus l'infini, de $v_n$ et de $u_n$.
	\end{enumerate}	
\item On constate que, pour tout $n$ appartenant à $\N$, $v_n$ est strictement positif et on pose $w_n = \ln \left(v_n\right)$.

Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme $w_0$ et la raison.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
		\item Pour quelle valeur de $n$ a-t-on : $w_n= - \ln \left(27^3\right) - \ln (9)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

A la kermesse de l'école, une tombola est organisée : $250$ billets, numérotés, de $1$ à $250$, sont vendus $2$ euros chacun à $250$ personnes différentes.

Après le tirage, on apprend que tous les billets dont le numéro finit par 3 rapportent $10$ euros, et que ceux dont les numéros finissent par $20$ ou $65$ rapportent $30$ euros.

\emph{Dans chacun des calculs demandés, donner des valeurs exactes sous forme décimale ou sous forme de fraction irréductible}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On interroge au hasard une personne ayant acheté un billet.

Quelle est la probabilité des évènements $A$, $B$ et $C$ suivants ?

$A$ : \og interroger une personne ayant un billet gagnant $30$~euros \fg.

$B$ : \og interroger une personne ayant un billet gagnant \fg.

$C$ : \og interroger une personne ayant reçu 30 euros sachant que cette personne avait un billet gagnant \fg.

\item À chaque personne ayant acheté un billet, on associe son gain $X$, la différence entre ce qu'elle reçoit et les 2 euros versés pour avoir un billet.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les différentes valeurs possibles de $X$ et établir la loi de probabilité du gain X 
		\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points

\[\text{A}(2~;~-3~;~5),\quad  \text{B}(4~;~3~;~7)\quad  \text{et} \quad  \text{C}(1~;~-6~;~4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
\item Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont ils colinéaires ?
\item Calculer les distances AB et AC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est positive sur [0 ~;~1].
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$.
\item $(\mathcal{C})$ est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé d'unité graphique $2$~cm.

Déterminer, en cm$^2$, l'aire du domaine compris entre $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
\end{enumerate}\end{document}