\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{arydshln} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2017\\},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2017~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]20 février 2017\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes.

Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires.

Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On dispose d'un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. 

On le lance une fois; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de l'urne B.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'obtenir une boule noire.
		\item Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir?
		\item Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ?
	\end{enumerate}	
\item On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l'on pose chaque fois devant l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og la troisième boule tirée est noire \fg.
		\item L'évènement \og la première boule tirée est noire \fg{} a-t-il une probabilité supérieure à l'évènement \og la troisième boule tirée est noire\fg{} ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par: $u_0 = 0$,\: $u_1 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les termes $u_2,\: u_3$ et $u_4$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$  vérifie, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1}= 4u_n + 1$.
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n =u_n + \dfrac13$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soient 
\begin{center}A(1~;~2~;~0),\qquad B(2~;~2~;~0), \qquad C(1~;~3~;~0) \quad et \quad D(1~;~2~;~1) \end{center}

quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk.

$(P)$ désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A.

$(Q)$ désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A.

$(R)$ désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le plan $(P)$ a pour équation cartésienne $x - y + 1= 0$.
\item On admet que le plan $(Q)$ a pour équation cartésienne $-y+ z+ 2 = 0$ et que le plan $(R)$ a pour équation cartésienne $- x + z + 1= 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système:
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
x- y + 1 &=& 0\\
- y + z + 2&=&0\\
-x +z + 1 &=&0
\end{array}\right.\]

		\item En déduire que l'intersection des trois plans $(P)$, $(Q)$ et $(R)$ est une droite $(d)$ passant par le point E(2~;~3~;~1).
		\item Vérifier que la droite $(d)$ est orthogonale au plan (BCD).
		
En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $g$.
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle
[1,27~;~1,28]. 

On note $\alpha$ cette solution. (On prendra $\text{e}^{1,27} \approx 3,56$ et $\text{e}^{1,28} \approx 3,59$). 
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $]-\infty~;~0[$.
		
Justifier que $g(x) > 0$ sur $]0~;~\alpha[$ et $g(x)< 0$ sur $]\alpha~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} + 2.\]

On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
		\item Démontrer que la droite $(d)$ d'équation $y=x + 2$ est une asymptote pour $\mathcal{C}_f$.
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $(d)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ a même signe que la fonction $g$ étudiée dans la question 1.
\item Montrer qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $f(\alpha)= p\alpha + q$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{document}