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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2020~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt] février 2020\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Une étude est menée sur la population française, 5\,\% de la population est porteur d'un gène qui a muté. Le but de l'exercice est d'étudier un test de dépistage.

La probabilité que le test de dépistage soit positif sachant que l'individu est porteur du gène est $0,8$.

La probabilité que le test de dépistage soit négatif sachant que l'individu n'est pas porteur du gène est $0,9$.

On choisit un individu au hasard et on lui fait faire le test. 

On note :

$A$ l'évènement: \og l'individu est porteur du gène \fg

$T$ l'évènement: \og le test est positif \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $P(T)= 0,135$.
		\item Quelle est la probabilité que le test donne un résultat erroné ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par
\[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\]

Dresser en le justifiant le tableau de variation de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ puis la limite de $f$ en $+\infty$.
\item On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

Démontrer que, pour tout réel $x$,
\[f'(x) = \text{e}^{-x} g(x).\]

\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.

Démontrer que $- 1< \alpha < 0$.
\item Démontrer que la droite $T$ d'équation $y = 2 x + 1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

On admettra pour la suite que $T$ est au-dessus de $\mathcal{C}$ sur $\R$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par
\[H(x) = -(x + 1)\text{e}^{-x}.\]

Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par 
\[h(x) = x\text{e}^{-x}.\]

\item On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.

Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\bigskip

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

On considère les points 
\begin{center}A(0~;~4~;~1),\qquad  B(1~;~3~;~0),\qquad  C$(2~;~-1~;~-2)$ \quad et \quad D$(7~;~-1~;~4)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}\phantom{-}2\\-1\\\phantom{-}3\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
		\item En déduire une équation cartésienne de plan (ABC).
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item Soit $P_1$ le plan d'équation $x + y + z= 0$ et $P_2$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0
$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
		
On admettra pour la dernière question que la droite $d$, intersection des plans $P_1$ et $P_2$, a pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t - 2\\
y&=& \phantom{-4}t\\
z&=&\phantom{-}3t + 2
\end{array}\right.\:t \in \R\]

		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite 
$\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2010 + n)$. 

En 2010, la forêt possède \np{50000} arbres.

Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000}~arbres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la situation peut être modélisée par $u_0 = 50$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation :
\[u_{n+1} = 0,95u_n + 3.\]

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = 60 - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95.
		\item Calculer $v_0$. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
\[u_n = 60 - 10 \times (0,95)^n.\]
	\end{enumerate}
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\end{document}