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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2019~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]février 2019\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

On considère deux urnes $U_1$ et $U_2$.

L’urne $U_1$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.

L'urne $U_2$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. 

On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :

\textbf{Étape 1 :} On tire au hasard une boule dans $U_1$ on note sa couleur et on la remet dans $U_1$.

\textbf{Étape \boldmath$n \:(n \geqslant 2$) :}\unboldmath
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si la boule tirée à l’étape $(n - 1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_1$ on note sa couleur et on la remet dans $U_1$.
\item[$\bullet~~$]Si la boule tirée à l’étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_2$ on note sa couleur et on la remet dans $U_2$.
\end{itemize}

\smallskip

On note $A$ l’évènement \og le tirage a lieu dans l’urne $U_1$ à l’étape $n$ \fg{}  et $p_n$ sa probabilité.

On a donc $p_1 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p_2$.
\item Montrer que pour tout $n$  entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8p_n + 0,05$.

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
\item Calculer $p_3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n, \: p_n  \geqslant 0,25$.
		\item Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente vers un réel noté 
$\ell$.
		\item Justifier que $\ell$ vérifie l’équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$.

En déduire la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = 1 + x\ln x \]
où $\ln x$ est le logarithme népérien de $x$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij.

Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le but est de déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les deux droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.

On note M et N les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives 1 et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est positive sur [1~;~2].
		\item Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est $2 \ln 2$.
		\item Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{\text{e}}$.
		
Montrer que sur l'intervalle [1~;~2], le point E est l'unique point de $\mathcal{C}_f$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à (MN).

On rappelle que la dérivée $f'$ de $f$ en $x$ donne le coefficient
directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x$.
		\item On appelle $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point E.

Montrer qu'une équation de $T$ est $y = (2\ln 2)x + 1 - \dfrac{4}{\e}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~2] par 
\[g(x) = f(x) - (2\ln 2)x + \dfrac{4}{\e} - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [1~;~2], $g'(x) = 1 + \ln \left(\frac x4\right)$.
		\item Étudier les variations de $g$ sur [1,2] et en déduire la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item Soient M$'$ et N$'$ les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite $T$.

On admet que la courbe $\mathcal{C}_f$ reste sous la droite (MN) sur l'intervalle [1~;~2] et que les points M$'$ et N$'$ ont des ordonnées strictement positives.
	\begin{enumerate}
		\item On cherche à calculer les aires des trapèzes MNQP et M$'$N$'$QP.
		
On rappelle que l'aire d'un trapèze rectangle est $\dfrac{(\text{petitebase} + \text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}$.

Calculer $\dfrac{\text{PM} + \text{QN})\times \text{PQ}}{2}$ et $\dfrac{(\text{PM}' + \text{QN}')\times \text{PQ}}{2}$.
		\item Si on pose $\ln 2 \approx 0,69$ et $\dfrac{4}{\text{e}} \approx 1,47$, donner un encadrement de A d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item  Le but est de déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{x = 1}^{x = 2} x \ln (x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x)= \dfrac{\ln (x + 3)}{x + 3}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

Étudier le signe de sa dérivée $f'$, sa limite éventuelle en $+\infty$. 

Que pouvez-vous en conclure pour $f$ sur l'intervalle ?
\item On définit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ par son terme général
\[u_n = \displaystyle\int_n^{n+1} f(t)\:\text{d}t.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, si $n \leqslant x \leqslant n + 1$, alors $f(n + 1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$.
		\item Montrer, sans chercher à calculer $u_n$ que pour tout entier naturel $n,$
		
$f(n + 1) \leqslant u_n \leqslant f(n)$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x) = [\ln (x + 3)]^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier la dérivabilité sur $[0~;~+\infty[$ de la fonction $F$ et déterminer, pour tout réel positif $x$, le nombre $F'(x)$.
		\item On pose, pour tout entier naturel $n,\: I_n = \displaystyle\int_0^n  f(x)\:\text{d}x$.
		
Calculer $I_n$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $S_n= u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1}$.

Calculer $S_n$.

La suite $\left(S_n\right)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}
\end{document}