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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2018~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]19 février 2018\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\textbf{N. B.: Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

Une épreuve consiste à lancer une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées \og 1 \fg, \og 2 \fg{} et \og 3 \fg.

Deux concurrents, A et B, sont en présence. On admet qu'à chaque lancer, chacun d'eux
atteint une seule case et que les lancers sont indépendants.

Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1, 2, 3 sont respectivement :
$\dfrac{1}{12},\:\dfrac13$ et $\dfrac{7}{12}$.

Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le concurrent A lance la fléchette trois fois. Les résultats des trois lancers sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il atteigne chaque fois la case 3 ?
		\item Quelle est la probabilité qu'il atteigne, dans l'ordre, la case 1, puis la case 2, et enfin la case 3 ?
		\item Quelle est la probabilité qu'il atteigne, sans ordre défini, les cases 1,2 et 3 ?
	\end{enumerate}	
\item On choisit l'un des deux concurrents. La probabilité de choisir A est égale à deux fois la probabilité de choisir B.
	\begin{enumerate}
		\item Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité que la case 3 soit atteinte?
		\item Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte. Quelle est la probabilité que ce soit le concurrent A qui ait lancé la fléchette ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient trois plans $(P)$, $(Q)$, $(R)$, définis respectivement par les équations cartésiennes suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
2x - \phantom{2}y - 3z &=&1\\
3x + 2y - 2z&=&-4\\
- x- 4y+ 6z&=&22
\end{array}\right.\]

Calculer l'intersection des plans $(P)$, $(Q)$, $(R)$, si elle existe.

Dans ce cas, indiquer s'il s'agit d'un point ou d'une droite.
\item Soient trois plans $(S)$, $(T)$, $(U)$, définis respectivement par les équations cartésiennes suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 2z&=&1\\
x - y - 4z&=&3\\
2x + 3y - 3z&=&1
\end{array}\right.\]

Calculer l'intersection des plans $(S)$, $(T)$, $(U)$, si elle existe. 

Dans ce cas, indiquer s'il s'agit d'un point ou d'une droite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par : $u_0 = 1$ et pour tout $n  \in \N$,
\[u_{n+1} = \dfrac13 u_n + n- 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,\: u_2$ et $u_3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4,\: u_n \geqslant 0$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5 ,\: u_n \geqslant n - 3$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $n\in \N$,on définit la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ par $v_n = - 2u_n +3n - \dfrac{21}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
		\item En déduire que, pour tout $n \in \N,\: u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac13 \right)^n + \dfrac 32 n- \dfrac{21}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = 1 + \ln (1 + x).\]

\smallskip

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij.

On note $D$ la droite d'équation $y = x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
	\end{enumerate}	
\item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par 
\[g(x) = f(x) - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 1} g(x)$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}$.
		
En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x)$.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$, puis dresser son tableau de variations.
		\item Montrer que sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ ,avec $\alpha$ négative et $\beta$ appartenant à l'intervalle [2~;~3]. (on donne $\ln (3) \approx 1,09$ et $\ln (4) \approx 1,38$).
		\item À l'aide des questions précédentes, déterminer le signe de $g(x)$.
		
En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}