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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2015~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]23 février 2015\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R-\{1\}$ par:
\[f(x) = x + 2 + \dfrac{16}{x - 1}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminez les limites de $f$ en $+ \infty$, en $- \infty$ et en 1 (à droite et à gauche).
\item Démontrez que la droite d'équation $y = x + 2$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
\item Calculez la fonction dérivée $f'$ de $f$.
\item Déduisez-en le tableau de variations de $f$.
\item Déterminez une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

On considère trois vecteurs non coplanaires $\vect{\imath},\:\vect{\jmath}, \vect{k}$ et on définit :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\vect{u}& =&\phantom{3}\vect{\imath}-\vect{\jmath}+ 2\vect{k} \\
\vect{v}& =&3\vect{\imath}+ \vect{\jmath}\\ 
\vect{w}& =&\phantom{3\vect{\imath} +}\vect{\jmath} + 5\vect{k}
\end{array}\right.\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrez que $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ ne sont pas colinéaires.
\item Les vecteurs $\vect{u}, \vect{v}$ et  $\vect{w}$ sont-ils coplanaires ?
\end{enumerate}

Maintenant, considérons le plan $(P)$ dont $\vect{u}$ est un vecteur normal.

Soit A$(1~;~-1~;~0)$ un point du plan $(P)$ et B$\left(x_{\text{B}}~;~y_{\text{B}}~;~z_{\text{B}}\right)$ un point quelconque de l'espace.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donnez l'équation du plan $(P)$.
\item Comment savoir si le point B appartient au plan $(P)$ ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 3}

\bigskip

On considère un virus qui se propage en France: on constate que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt, elle peut être guérie, sinon elle est mortelle.

Une campagne de tests est menée sur un panel de population dont $1$\,\% est porteur de la maladie. Il se trouve que, si le sujet est malade, le test se révèle positif dans $95$\,\% des cas, tandis que si le sujet est sain, le test est négatif dans $99$\,\% des cas.

On admettra ces chiffres comme référence pour l'ensemble de la population.

On note 

$M$ l'évènement \og le sujet est atteint par la maladie \fg,

$P$ l'évènement \og le test est positif\fg{} et

$N$ l'évènement \og le test est négatif\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établissez un arbre de probabilités pondéré modélisant les données de l'étude.
\item Pour un sujet pris au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit malade et que le test se révèle positif ?
\item Pour un sujet pris au hasard, vérifiez que la probabilité pour que son test soit positif est \np{0,0194}.
\item Pour un sujet choisi parmi ceux dont le test est positif, quelle est la probabilité pour qu'il soit malade ?
\item On choisit maintenant $5$ personnes au hasard, dans une population de taille telle que chaque tirage puisse être assimilé à un tirage avec remise et chaque épreuve puisse être considérée comme indépendante des autres.

Quelle est la probabilité qu'au moins un des sujets obtienne un test positif ? 

(À toutes fins utiles, on donne :
\[\left.\np{0,9806}^3 \approx \np{0,9429}\quad ;\quad \np{0,9806}^4 \approx \np{0,9246}\quad ;\quad \np{0,9806}^5 \approx \np{0,9067}\quad  ;\quad \np{0,9806}^6 \approx \np{0,8891}\right)\]
\end{enumerate}

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrez par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$ :
\[\displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{(k-1)} = (n - 1)2^n + 1.\]

\item Calculez
\[\displaystyle\sum_{k=3}^{103}(3 k+ 1).\]
\end{enumerate}
\end{document}