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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2023
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :
\begin{itemize}
\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}
\end{itemize}}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \text{e}^x - \ln (x).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
\[g(x) = x\text{e}^{x} - 1.\]




\item En déduire qu'il existe un réel unique $\alpha$ tel que $\alpha\text{e}^{\alpha} = 1$.

On admet que $0,567 < \alpha < 0,568$.
\item Étudier le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier son signe sur $]0~;~+\infty[$.
\item En déduire les variations de $f$ $]0~;~+\infty[$.
\item Montrer que $f$ admet un minimum $m$ égal à $\alpha + \alpha^{-1}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a <b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$.

On suppose connus les résultats suivants:

\[\displaystyle\int_a^b [f(t) + g(t)]\:\text{d}t = \displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t  + \displaystyle\int_a^b g(t)\text{d}t,\]

et si pour $t \in [a~;~b],f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t\geqslant 0$.

Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],\: f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_a^b g(t)\:\text{d}t.$

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $f_n$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f_n(x ) = \ln \left(1 + x^n\right)\]

et on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x$.

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f_1$ en $+\infty$.
		\item Étudier les variations de $f_1$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1$ et interpréter graphiquement le résultat.
		
Pour le calcul de $I_1$ on pourra utiliser le résultat suivant : 

pour tout
\[x \in [0~;~1],\quad \dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ , on a: $0 \leqslant I_n \leqslant \ln (2)$.
		\item Étudier les variations de la suite $\left(I_n\right)$.
		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[g(x) = \ln(1 + x) - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		
Montrer alors que pour tout entier naturel $n$ non nul, et pour tout $x$ réel positif, on a :
\[\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n.\]
		\item En déduire la limite de $\left(I_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par:

\begin{center}$u_0 = 1$\quad et pour tout \quad $n \in \N, \:\: u_{n+1} = \dfrac13 u_n + n - 2$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1, u_2$ et $u_3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4, \: u_n \geqslant 0$ ;
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5, \:u_n \geqslant n - 3$
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$
	\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ par : 
\begin{center}pour tout $n \in \N, \quad  v_n = - 2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
		\item En déduire que: pour tout $n \in \N,\:$
		\[ u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac13\right)^n + \dfrac32 n - \dfrac{21}{4}.\]
		\item Soit la somme $S_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $S_n = \displaystyle\sum_{k = 0}^n u_k$.
		
Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de
 départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours.
 
La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de \np{1400}~mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R$_{1}$ et R$_{2}$.

Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à \np{2500}~mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R$_{3}$, ou atteindre le sommet directement.

\medskip
 
\parbox[c]{0.58\textwidth}{La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R$_1$ est 
égale à $\dfrac{1}{3}$.\\
La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_1$ est égale à 
$\dfrac{3}{4}$.\\
La probabilité de monter directement au sommet en partant de 
R$_2$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.\\}
\parbox[c]{0.32\textwidth}{\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,5)
%\psgrid
\pscurve(0.4,1)(0.7,1.7)(1,2)(1.3,2.5)(1.5,2.7)(2,3.2)(2.5,3.8)(3,4.3)(3.4,4.7)
\pscurve(3,0.4)(2.5,0.5)(2.1,1)(2,1.2)(1.7,1.5)(1.5,1.6)(1.4,1.7)(1.4,1.9)(1.5,2.2)
(2,2.7)(2.3,3)(2.5,3.1)(2.7,3.3)(2.8,3.7)(2.9,4)(3,4)(3.3,4.4)(3.4,4.7)
\pscurve(3,0.4)(3.4,1)(3.6,1.1)(3.7,1.5)(3.9,1.8)(4,2)(3.7,2.5)(3.5,3)(3.4,3.5)
(3.3,4)(3.3,4.4)
\pscurve(1.4,1.9)(1.5,2)(1.7,2.1)(2,2.3)(2.4,2.5)(3,2.7)(3.1,3)(3.2,3.8)(3.3,4.4)
\pscurve(3.9,1.8)(3.8,2)(3.6,2.2)(3,2.7)
\pscurve(5,0.7)(4.7,1.3)(4.6,1.8)(4.2,2)(4,3)(3.8,3.8)(3.4,4.7)
\rput(2.55,3.5){5,5} \rput(3,3.5){2} \rput(3.53,3.5){6} 
\rput(2.1,2.1){4} \rput(3.2,2){4,5} \rput(1.5,1.1){5}
\rput(3.9,1.1){4} 
\rput(3.6,4.7){S} \rput(3,2.4){R$_{3}$} \rput(1.2,1.7){R$_{1}$} 
\rput(4.2,1.7){R$_{2}$} \rput(3,0.2){D}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du
 départ D jusqu'au sommet S.
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E$_1$ : \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ sachant qu'ils ont
passé la nuit au refuge R$_1$ \fg{} ;

E$_2$ \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;

E$_3$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_1$ sachant qu'ils ont
fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;

E$_4$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_2$ sachant que, le
deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S \fg.
\item On note $d(M,~ N)$ la distance, en km, à parcourir pour se rendre
du point $M$ au point $N$.

On donne $d$(D, R$_1$) = 5 \:;~$d$(D, R$_2$) = 4 \:;~$d$(R$_1$,~ R$_3$) = 
4 \:;~$d$(R$_2$,~R$_3$) = 4,5 \:;

$d$(R$_3$, S) = 2 \:;~$d$(R$_1$,~S) = 5,5 \:;~ $d$(R$_2$,~S) = 6.

Soit $X$ la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les
randonneurs pour aller du départ D au sommet S.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}