%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifthen,color} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\Alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours Accès}, pdftitle = {2016}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours Accès} \lfoot{\small{14 avril 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{Concours Accès 14 avril 2016} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} durée de l'épreuve : 3~h \end{center} \textbf{Exercices \no 1 à 6 : Raisonnement logique} \begin{enumerate} \item $x$ collègues se rendent ensemble au restaurant. Chacun verse 20~\euro. Étant en groupe, ils bénéficient d'une réduction de 20\,\% sur l'addition. Lorsque la facture arrive, ils se rendent compte qu'il manque $y$~\euro. Chacun ajoute 3~\euro{} à la somme de départ. Ils paient et le serveur rend $z$~\euro{} au groupe. À partir de ces informations, on peut conclure que : \medskip \begin{enumerate} \item $23x + z = 20x + y$ \item Le groupe est composé de $\dfrac{y-z}{3}$ personnes. \item Le prix par personne est de $23 - \dfrac{z}{x}$~\euro \item Le prix par personne sans la réduction octroyée était de $25 + \dfrac{y}{0,8x}$~\euro. \end{enumerate} \medskip \item 3 collègues se rendent à leur entreprise. Noémie, Xavier et Yves utilisent 3 moyens de transport différents (Bus, Vélo ou à pied). Ils parcourent 3 distances différentes (2, 4 et 6 km). Xavier, qui parcourt plus de 4 km, ne se rend pas à pied à l'entreprise. La personne qui est à 2 km de l'entreprise et qui s'y rend à vélo n'est pas Yves. À partir de ces informations, on peut conclure que: \medskip \begin{enumerate} \item Yves parcourt 6 km. \item Celui qui roule à vélo parcourt plus de kilomètres que celui qui se rend à pied à l'entreprise. \item Noémie n'utilise pas le bus pour se rendre à l'entreprise. \item Celui qui vient en bus parcourt le plus de kilomètres. \end{enumerate} \medskip \item Si l'on considère vraie l'hypothèse \og Pour réussir, il faut travailler dur \fg, on peut conclure que : \medskip \begin{enumerate} \item Tous ceux qui réussissent travaillent dur. \item Ceux qui ne réussissent pas ne travaillent pas dur. \item Les gens qui travaillent dur réussissent toujours. \item Ceux qui ne travaillent pas dur ne peuvent pas réussir. \end{enumerate} \medskip \item Dans un pays, une étude sur la fécondité a été réalisée en interviewant \np{1000} femmes. En voici les résultats : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 20\,\% de ces femmes n'ont pas d'enfant. \item[$\bullet~~$] 25\,\% de ces femmes ont 1 enfant. \item[$\bullet~~$] 25\,\% de ces femmes ont 2 enfants. \item[$\bullet~~$] 15\,\% de ces femmes ont 3 enfants. \item[$\bullet~~$] 10\,\% de ces femmes ont 4 enfants. \item[$\bullet~~$] 5\,\% de ces femmes ont plus de 4 enfants. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} À partir de ces informations, on peut conclure que: \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les femmes ayant un ou plusieurs enfants, 50\,\% d'entre elles ont moins de 3 enfants. \item Ces \np{1000} femmes ont donné naissance à plus de \np{1800} enfants. \item Si on choisit au hasard une de ces \np{1000} femmes, la probabilité qu'elle ait au moins 3 enfants est de 30\,\%. \item 55\,\% des enfants de ces femmes ont au moins un frère ou une soeur. \end{enumerate} \medskip \item Arthur, Basile, Charly et Démosthène sont soupçonnés d'avoir commis un méfait. Nous avons, à leur sujet, les informations suivantes : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Si Arthur est innocent alors Démosthène est coupable. \item[$\bullet~~$]Si Arthur est coupable alors Charly l'est aussi. \item[$\bullet~~$]Si Démosthène est coupable alors Basile l'est aussi. \item[$\bullet~~$]Basile est innocent. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} À partir de ces informations, on peut conclure que : \medskip \begin{enumerate} \item Arthur est coupable. \item Démosthène est non coupable. \item Arthur et Démosthène sont coupables. \item Charly est non coupable. \end{enumerate} \medskip \item Dans un magasin animalier spécialisé on trouve 2 catégories de perroquets : des perroquets aux plumes blanches et des perroquets aux plumes jaunes. Certains ont le bec blanc, d'autres ont le bec noir. Au total, il y a 200 perroquets. 30\,\% ont des plumes blanches et 45\,\% ont le bec blanc. On sait que le nombre de perroquets aux plumes blanches et au bec blanc est un nombre positif et multiple de 19. À partir de ces informations, on peut conclure que: \medskip \begin{enumerate} \item Il y a 110 perroquets au bec noir. \item Il y a 140 perroquets aux plumes jaunes. \item Le nombre de perroquets aux plumes blanches et au bec blanc est égal à 38. \item Le nombre de perroquets aux plumes jaunes et au bec blanc est égal à 52 ou à 71. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercices \no 7 à 12 : Raisonnement mathématique} \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{6} \item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $D$ par $f(x) = \ln \left(\dfrac{x-1}{x+3}\right)$. Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal (O, I,J). \begin{enumerate} \item $D =]- \infty~;~- 3 [\:\cup\: ]1~;~+\infty[$ \item $\mathcal{C}_f$ coupe la droite d'équation $y = 1$ en un seul point d'abscisse négative. \item $f$ est strictement croissante sur $]1~;~+\infty[$. \item L'axe des abscisses est une asymptote à Cf' \end{enumerate} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln^2 (x) + \ln (x)$. Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction [dans un repère orthogonal (O, I, J). La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points : A d'abscisse 1 et B d'abscisse $x_{\text{B}}$. \begin{enumerate} \item Le minimum de la fonction $f$ est $\dfrac{- 1}{4}$ \item $x_{\text{B}} > 1$ \item La tangente T à $\mathcal{C}_f$ au point B est parallèle à la droite d'équation $y = \text{e}- \text{e}^x$. \item La fonction $F$ définie pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = x\left(\ln^2 (x)\right) - x \ln (x) - x$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $\R$ par $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a, b, c$ et $d$ quatre réels. Soit $\mathcal{C}_f$ La courbe représentative de la fonction $f$ qui admet aux points A(1~;~2) et B$(0~;~-3)$ deux tangentes parallèles à la droite d'équation $y = x$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $x$ de $\R,\:f(x) = - 8x^3 + 12x^2 + x - 3$. \item Sur $]- \infty~;~0]$, la fonction $f$ a pour maximum $\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{42}}{12}$. \item La fonction $f$ est croissante sur [0~;~1]. \item L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $\R$. \end{enumerate} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $D$ par $f(x) = \dfrac{x - 1}{x}\ln (x)$. Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ de $D$ par $g(x) = x - 1 + \ln (x)$. \medskip \begin{enumerate} \item $g$ est positive sur $[1~;~+\infty[$. \item $g$ est convexe sur $D$. \item Pour tout $x$ de $D,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. \item $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de $\Gamma$, la courbe d'équation $y = \ln (x)$, sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $\R$ par $f(x) = \text{e}^x - \text{e}^{- x} + 2$. Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (O, I, J). Soit $\Omega(0~;~2)$ et Q le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $\ln (2)$. \medskip \begin{enumerate} \item La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point Q a pour coefficient directeur $\dfrac{7}{2}$. \item $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points. \item $\mathcal{C}_f$ admet $\Omega$ comme unique point d'inflexion. \item $\displaystyle\int_0^1 f (x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^2 -1}{\text{e}}$. \end{enumerate} \medskip \item On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$. $U_1$ contient $n$ boules blanches et 3 boules noires $(n > 0)$. $U_2$ contient 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire au hasard une boule de $U_1$ et on la met dans $U_2$, puis on tire au hasard une boule de $U_2$ et on la met dans $U_1$ ; l'ensemble de ces opérations constitue une épreuve. Soit $A$ l'évènement \og après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ \fg. Soit $B$ l'évènement \og après l'épreuve l'urne $U_2$ contient une seule boule blanche \fg. Un joueur mise 20~\euro{} et effectue une épreuve. À l'issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dans l'urne $U_2$ : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item Si $U_2$ contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit $2n$~\euro \item Si $U_2$ contient 2 boules blanches, le joueur reçoit $n$~\euro \item Si $U_2$ contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Soit $X_n$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs les gains algébriques (gains moins mises) du joueur. \medskip \begin{enumerate} \item $P(A) = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n + 3} \right)$. \item $P(B) = \dfrac{6}{4(n + 2)}$. \item L'espérance de $X_n$ est $E\left(X_n\right) = \dfrac{3n^2- 62n - 230}{4n + 12}$. \item Le jeu est favorable au joueur (l'espérance est positive pour le joueur) pour $n \geqslant 20$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercices \no 13 à 18 : Problème mathématique} \medskip \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Certaines questions peuvent être traitées indépendamment. D'autres peuvent}\\ \textbf{nécessiter les résultats obtenus dans les questions précédentes.}\\ \hline \end{tabular} \medskip Une entreprise s'interroge sur les coûts de gestion liés à certains de ses produits et sur la possibilité de promouvoir et d'élargir cette gamme de produits. Pour cela, elle vous demande de réaliser différentes études. \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{12} \item Cette entreprise achète régulièrement un article à $10$~euros l'unité. Elle en utilise $10$ par jour, $250$jours par an. Cette entreprise recherche la quantité (notée $Q$) par commande qui lui permette de minimiser le coût de son stock sur une année (250 jours). Ce dernier (noté $C_T(Q)$ est égal à la somme de trois composantes: \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le coût d'achat des marchandises \item[$\bullet~~$] le coût des commandes \item[$\bullet~~$] le coût de stockage des marchandises qui est égal à $0,20Q$ \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Le nombre de commandes dans l'année est noté $N$ et le coût de chaque commande est égal à $20$~\euro. À partir des informations précédentes, on peut en conclure que: \medskip \begin{enumerate} \item $N = \dfrac{\np{2500}}{Q}$ \item $C_T(Q) = \np{25000} + \dfrac{50000}{Q} + 0,2Q$ \item $C_T$ est minimal si $Q = 600$ unités \item Le coût minimal du stock est égal à \np{25200}~\euro. \end{enumerate} \medskip \item Cette entreprise souhaite étudier le coût de fabrication de l'un de ses produits (noté $P$). Le coût de la matière première pour fabriquer ce produit, par jour de production, est égal à $C_m(x)$ où $x$ désigne les quantités produites. On sait que $C_m(x)$ s'écrit sous la forme $ax2 + bx$ (où $a$ et $b$ désignent deux réels). On dispose des données suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|p{1.cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline $x$&$C_m(x)$ en euros\\ \hline 1&3\\ \hline 2&8\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le directeur de l'entreprise constate qu'il paie chaque jour indépendamment du niveau de sa production \np{1000}~\euro{} de frais fixes. Par contre, chaque fois qu'il fabrique une unité de produit $P$, il récupère des déchets qu'il peut revendre $10$~\euro. On appelle $C(x)$ le coût total en euros. À partir des informations précédentes, on peut en conclure que : \medskip \begin{enumerate} \item $a = 1$ et $b = 2$ \item $C(x) = x^2 - 10x + \np{1000}$ \item Si $x = 2,\: C(x) = 988$~(\euro). \item La valeur de $x$ qui donne un coût total égal à \np{1048}~\euro{} est supérieure à $10$. \end{enumerate} \medskip \item Pour promouvoir le produit P, une action publicitaire est réalisée par le biais de deux supports : la télévision et la presse locale. On sait que : \medskip \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 18\,\% des consommateurs potentiels ont vu la publicité à la télévision \item[$\bullet~~$] 12\,\% des consommateurs potentiels ont vu la publicité dans la presse locale \item[$\bullet~~$] 10\,\% des consommateurs potentiels ont vu la publicité dans les deux supports \item[$\bullet~~$] 4 consommateurs potentiels sur 10 achètent le produit parmi ceux qui ont vu la publicité \item[$\bullet~~$] 1 consommateur potentiel sur 10 achète le produit parmi ceux qui n'ont pas vu la publicité \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} À partir des informations précédentes, on peut en conclure que : \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité pour qu'un consommateur potentiel ait vu la publicité est égale à $0,4$. \item La probabilité pour qu'un consommateur potentiel achète le produit est égale à $0,5$. \item La probabilité pour qu'un consommateur potentiel ne voit pas la publicité et achète le produit est égale à $0,08$. \item La probabilité pour qu'un consommateur qui a acheté le produit soit atteint par la publicité est égale à $0,5$. \end{enumerate} \medskip \item L'entreprise souhaite développer sa gamme de produits. Dans l'un de ses ateliers, elle peut fabriquer deux produits nouveaux $P_1$ et $P_2$ sur une machine qui est utilisée $100$~heures par mois. Les deux types de produits ne peuvent être fabriqués simultanément. 50 unités de $P_1$ ou 25 unités de $P_2$ peuvent être réalisés à l'heure. En raison de prix dégressifs consentis aux clients, le prix de chaque article décroit avec la quantité vendue. Ainsi le prix de vente unitaire du produit $P_1$ est égal à $(200 - 0,02x)$~euros lorsque l'on en vend $x$ unités par mois et le prix de vente unitaire du produit $P_2$ est égal à $(100 - 0,01y)$~euros lorsque l'on en vend $y$ unités par mois. Tous les produits fabriqués sont vendus. Le chiffre d'affaires est égal au prix de vente unitaire multiplié par les quantités vendues. À partir des informations précédentes, on peut en conclure que: \medskip \begin{enumerate} \item Si l'on vend \np{1000}~unités de $P_1$, le chiffre d'affaires mensuel relatif à ce produit est égal à \np{180000}~\euro. \item $\dfrac{x}{50} + \dfrac{y}{25} = 100$ \item Le chiffre d'affaires mensuel pour les deux produits est égal à $\np{500000} + 300y - 0,09y^2$. \item Si $x = \np{3000}$ unités, le chiffre d'affaires mensuel pour les deux produits est égal à \np{500000}~\euro. \end{enumerate} \medskip \item L'essor commercial de cette entreprise est actuellement freiné par sa capacité de production. L'achat d'une nouvelle chaîne (pour fabriquer le produit $P_3$) est programmé. Son prix d'achat est égal à \np{500000}~\euro. La demande est telle que l'on doit produire \np{30000}~unités de produit $P_3$ par an. On dispose des éléments suivants: \medskip \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le prix de vente unitaire du produit $P_3$ est égal à $60$~\euro \item[$\bullet~~$] le coût des matières premières et des pièces utilisées pour une unité produite est égal à $15$~\euro \item[$\bullet~~$] le coût de distribution est de $9$~\euro{} par unité produite \item[$\bullet~~$] le produit $P_3$ est fabriqué dans deux ateliers : l'atelier $U$ pour l'usinage et l'atelier $F$ pour la finition. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip On nous communique les renseignements suivants concernant les coûts de production pour chaque atelier et pour une unité de $P_3$ : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Atelier &Nombre d'heures &Coût de l'heure en euros\\ \hline $U$ &3 &4\\ \hline $F$ &2 &6\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La marge sur coût variable est la différence entre le prix et le coût total (coûts des matières premières, de production et de distribution). À partir des informations précédentes, on peut en conclure que : \medskip \begin{enumerate} \item Le coût de production total d'une unité de $P_3$ est égal à de 24\euro. \item Si l'entreprise abandonne la fabrication du produit $P_2$, les quantités annuelles vendues de produit $P_1$ sont égales à un cinquième de la demande annuelle pour le produit $P_3$. \item La marge sur coût variable annuelle totale du produit $P_3$ est égale à \np{360000}~\euro. \item Si l'entreprise réussissait à diminuer de 25\,\% le coût de l'heure dans l'atelier U, la marge sur coût variable annuelle totale de $P_3$ augmenterait de \np{90000}~\euro. \end{enumerate} \medskip \item L'année suivante, l'entreprise souhaite placer ses capitaux disponibles à un taux d'intérêt annuel (noté $i$) sur $n$ années. Si on appelle $S_0$ la somme placée à l'origine, la somme acquise à la fin du placement est notée $S_n$ et vérifie : \[S_n = S_0 \times (1 + i)^n.\] Le montant des intérêts de ce placement est alors égal à $S_n - S_0$. À partir des informations précédentes, on peut en conclure que : \medskip \begin{enumerate} \item Si l'entreprise place la marge sur coût variable annuelle totale du produit $P_3$ (calculée à la question 17) pendant 2 ans à un taux d'intérêt de 2\,\%, le montant des intérêts sera égal à \np{14544}~\euro. Pour la suite de l'exercice, on suppose que l'entreprise n'achète pas la chaîne pour fabriquer le produit $P_3$ mais place le montant correspondant au prix d'achat de cette chaîne. \item Si l'entreprise récupère \np{600000}~\euro, 5 ans plus tard, alors $i = \left(\dfrac{6}{5}\right)^{\frac{1}{5}} - 1$. \item Si elle place le montant à un taux d'intérêt de 2\,\% et si $S_n = \np{541216}$~\euro{} alors $n = \dfrac{\ln (\np{541216}) - \ln (\np{500000})}{\ln (1,02)}$ \item Si elle place le montant à un taux d'intérêt de 2\,\% les trois premières années puis à 4\,\% les trois années suivantes alors $S_n = \np{500000} \times (1,03)^6$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}